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(八)随机变量及其概率分布1袋中装有大小相同的黑球和白球共9个,从中任取2个都是白球的概率为.现甲、乙两人从袋中轮流摸球,甲先取,乙后取,然后甲再取,每次摸取1个球,取出的球不放回,直到其中有一人取到白球时终止用X表示取球终止时取球的总次数(1)求袋中原有白球的个数;(2)求随机变量X的概率分布及数学期望E(X)解(1)设袋中原有n个白球,则从9个球中任取2个球都是白球的概率为,由题意知,化简得n2n300,解得n6或n5(舍去),故袋中原有白球的个数为6.(2)由题意,X的可能取值为1,2,3,4.P(X1),P(X2),P(X3),P(X4).所以取球次数X的概率分布为X1234P所求数学期望E(X)1234.2某射击小组有甲、乙两名射手,甲的命中率为P1,乙的命中率为P2,在射击比武活动中每人射击两发子弹则完成一次检测在一次检测中,若两人命中次数相等且都不少于一发,则称该射击小组为“先进和谐组”(1)若P2,求该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率;(2)在2018年每月进行1次检测,设这12次检测中该小组获得“先进和谐组”的次数为,如果E()5,求P2的取值范围解(1)所求概率P.(2)该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率为PCP2(1P2)PP2P.而B(12,P),所以E()12P,由E()5知,125,解得P2.又0P21,P21.3(2018南通调研)从集合1,2,3,4,5的所有非空子集中,等可能地取出m个(1)若m1,求所取子集的元素既有奇数又有偶数的概率;(2)若m2,记所取子集的元素个数之差的绝对值为,求的概率分布及数学期望E()解(1)当m1时,记事件A:“所取子集的元素既有奇数又有偶数”则集合1,2,3,4,5的非空子集数为25131,其中非空子集的元素全为奇数的子集数为2317,全为偶数的子集数为2213,所以P(A).(2)当m2时,的所有可能取值为0,1,2,3,4,则P(0),P(1),P(2),P(3),P(4),所以的概率分布为01234P所以的数学期望E()01234.4(2018启东模拟)如图,已知正六棱锥SABCDEF的底面边长为2,高为1.现从该棱锥的7个顶点中随机选取3个点构成三角形,设随机变量X表示所得三角形的面积(1)求概率P(X)的值;(2)求X的概率分布,并求其数学期望E(X)解(1)从7个顶点中随机选取3个点构成三角形,共有C35(种)取法其中X的三角形如ABF,这类三角形共有6个因此P(X).(2)由题意知,X的可能取值为,2,2,3.其中X的三角形如ABF,这类三角形共有6个;其中X2的三角形有两类,如SAD(3个),SAB(6个),共有9个;其中X的三角形如SBD,这类三角形共有6个;其中X2的三角形如CDF,这类三角形共有12个;其中X3的三角形如BDF,这类三角形共有2个因此P(X),P(X2),P(X),P(X2),P(X3).所以随机变量X的概率分布为X223P(X)所求数学期望E(X)223.
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