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圆的第二定义阿波罗尼斯圆一、问题背景苏教版数学必修2P112第12题：已知点M(x，y)与两个定点O(0,0)，A(3,0)的距离之比为，那么点M的坐标应满足什么关系？画出满足条件的点M所构成的曲线二、阿波罗尼斯圆公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯(Apollonius)在平面轨迹一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆如图，点A，B为两定点，动点P满足PAPB.则1时，动点P的轨迹为直线；当1时，动点P的轨迹为圆，后世称之为阿波罗尼斯圆证：设AB2m(m0)，PAPB，以AB中点为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，则A(m,0)，B(m,0)又设P(x，y)，则由PAPB得，两边平方并化简整理得(21)x22m(21)x(21)y2m2(12)当1时，x0，轨迹为线段AB的垂直平分线；当1时，2y2，轨迹为以点为圆心，为半径的圆上述课本习题的一般化情形就是阿波罗尼斯定理三、阿波罗尼斯圆的性质1满足上面条件的阿波罗尼斯圆的直径的两端是按照定比内分AB和外分AB所得的两个分点2直线CM平分ACB，直线CN平分ACB的外角3.4CMCN.5当1时，点B在圆O内；当01时，点A在圆O内6若AC，AD是切线，则CD与AO的交点即为B.7若过点B做圆O的不与CD重合的弦EF，则AB平分EAF.四、范例欣赏例1设A(c,0)，B(c,0)(c0)为两定点，动点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值a(a0)，求P点的轨迹解设动点P的坐标为(x，y)，由a(a0)，得a.化简得(1a2)x22c(1a2)xc2(1a2)(1a2)y20.当a1时，得x2xc2y20，整理得2y22.当a1时，化简得x0.所以当a1时，P点的轨迹是以为圆心，为半径的圆；当a1时，P点的轨迹为y轴例2如图，圆O1与圆O2的半径都是1，O1O24，过动点P分别作圆O1，圆O2的切线PM，PN(M，N分别为切点)，使得PMPN，试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程解以O1O2的中点O为原点，O1O2所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，则O1(2,0)，O2(2,0)，由已知PMPN，得PM22PN2，因为两圆的半径均为1，所以PO12(PO1)，设P(x，y)，则(x2)2y212(x2)2y21即(x6)2y233，所以所求轨迹方程为(x6)2y233.例3如图所示，在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l：y2x4，设圆C的半径为1，圆心在l上(1)若圆心C也在直线yx1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；(2)若圆C上存在点M，使MA2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围解(1)联立得圆心为C(3,2)切线的斜率存在，设切线方程为ykx3.dr1，得k0或k.故所求切线方程为y3或3x4y120.(2)设点M(x，y)，由MA2MO，知2，化简得x2(y1)24.即点M的轨迹为以(0，1)为圆心，2为半径的圆，可记为圆D.又因为点M在圆C上，故圆C与圆D的关系为相交或相切故1CD3，其中CD.解得0a.例4在x轴正半轴上是否存在两个定点A，B，使得圆x2y24上任意一点到A，B两点的距离之比为常数？如果存在，求出点A，B坐标；如果不存在，请说明理由解假设在x轴正半轴上存在两个定点A，B，使得圆x2y24上任意一点到A，B两点的距离之比为常数，设P(x，y)，A(x1,0)，B(x2,0)，其中x2x10.即对满足x2y24的任何实数对(x，y)恒成立，整理得，2x(4x1x2)x4x3(x2y2)，将x2y24代入得，2x(4x1x2)x4x12，这个式子对任意x2,2恒成立，所以一定有因为x2x10，所以解得x11，x24.所以在x轴正半轴上存在两个定点A(1,0)，B(4,0)，使得圆x2y24上任意一点到A，B两点的距离之比为常数.五、跟踪演练1满足条件AB2，ACBC的ABC的面积的最大值是_答案2解析以AB中点为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，则A(1,0)，B(1,0)，设C(x，y)，由ACBC，得.平方化简整理得y2x26x1(x3)288.|y|2，则SABC2|y|2，SABC的最大值是2.2在ABC中，边BC的中点为D，若AB2，BCAD，则ABC的面积的最大值是_答案4解析以AB中点为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，则A(1,0)，B(1,0)，由BDCD，BCAD知，ADBD，D的轨迹为阿波罗尼斯圆，方程为(x3)2y28，设C(x，y)，得D，所以点C的轨迹方程为228，即(x5)2y232.所以SABC2|y|y|4，故SABC的最大值是4.3在平面直角坐标系xOy中，设点A(1,0)，B(3,0)，C(0，a)，D(0，a2)，若存在点P，使得PAPB，PCPD，则实数a的取值范围是_答案21,21解析设P(x，y)，则，整理得(x5)2y28，即动点P在以(5,0)为圆心，2为半径的圆上运动另一方面，由PCPD知动点P在线段CD的垂直平分线ya1上运动，因而问题就转化为直线ya1与圆(x5)2y28有交点所以|a1|2，故实数a的取值范围是21，214.如图，在等腰ABC中，已知ABAC，B(1,0)，AC边的中点为D(2,0)，则点C的轨迹所包围的图形的面积等于_答案4解析因为AB2AD，所以点A的轨迹是阿波罗尼斯圆，易知其方程为(x3)2y24(y0)设C(x，y)，由AC边的中点为D(2,0)，知A(4x，y)，所以C的轨迹方程为(4x3)2(y)24，即(x1)2y24(y0)，所求的面积为4.5如图，已知平面平面，A，B是平面与平面的交线上的两个定点，DA，CB，且DA，CB，AD4，BC8，AB6，在平面上有一个动点P，使得APDBPC，求PAB的面积的最大值解DA，PA，DAPA，在RtPAD中，tanAPD，同理tanBPC.APDBPC，BP2AP.在平面上以线段AB的中点为原点，AB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，则A(3,0)，B(3,0)，设P(x，y)，则有2(y0)化简得(x5)2y216，y216(x5)216.|y|4.PAB的面积为SPAB|y|AB3|y|12，当且仅当x5，y4时取得等号，则PAB的面积的最大值是12.6已知O：x2y21和点M(4,2)(1)过点M向O引切线l，求直线l的方程；(2)求以点M为圆心，且被直线y2x1截得的弦长为4的M的方程；(3)设P为(2)中M上任一点，过点P向O引切线，切点为Q，试探究：平面内是否存在一定点R，使得为定值？若存在，请举出一例，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由解(1)直线l的斜率存在，设切线l方程为y2k(x4)，易得1，解得k.切线l的方程为y2(x4)(2)圆心到直线y2x1的距离为，设圆的半径为r，则r222()29，M的方程为(x4)2(y2)29.(3)假设存在这样的点R(a，b)，点P的坐标为(x，y)，相应的定值为.根据题意可得PQ，即x2y212(x2y22ax2bya2b2)(*)又点P在圆M上，(x4)2(y2)29，即x2y28x4y11，代入(*)式得8x4y122(82a)x(42b)y(a2b211)，若系数对应相等，则等式恒成立，解得a2，b1，或a，b，可以找到这样的定点R，使得为定值，如点R的坐标为(2,1)时，比值为，点R的坐标为时，比值为.
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