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3.1.2用二分法求方程的近似解课后篇巩固提升基础巩固1.以下每个图象表示的函数都有零点,但不能用二分法求函数零点的是()解析根据二分法的思想,函数f(x)在区间a,b上的图象连续不断,且f(a)f(b)0,即函数的零点是变号零点,才能将区间(a,b)一分为二,逐步得到零点的近似值,对各图象分析可知,A,B,D都符合条件,而选项C不符合,因为图象经过零点时函数值的符号没有发生变化,因此不能用二分法求函数零点.答案C2.若函数f(x)=x2-4x+m存在零点,且不能用二分法求该函数的零点,则m的取值范围是()A.(4,+)B.(-,4)C.4D.4,+)解析易知方程x2-4x+m=0有根,且=16-4m=0,知m=4.答案C3.用二分法求函数f(x)=2x-3的零点时,初始区间可选为()A.-1,0B.0,1C.1,2D.2,3解析f(-1)=-520,f(0)=-20,f(1)=-10,f(3)=50,则f(1)f(2)0,f(2)=-20,可得方程的根落在区间32,2内.故选C.答案C5.在用二分法求函数f(x)零点的近似值时,第一次取的区间是-2,4,则第三次所取的区间可能是()A.1,4B.-2,1C.-2,2.5D.-0.5,1解析第二次取区间的中点x1=-2+42=1,故零点所在区间为-2,1或1,4;第三次取中点x1=-2+12=-0.5,或x2=1+42=2.5.所以零点所在区间为-2,-0.5或-0.5,1或1,2.5或2.5,4,故选D.答案D6.某方程在区间(2,4)内有一个实根,若用二分法求此根的精确度为0.1的近似值,则应将此区间二等分的次数为()A.2B.3C.4D.5解析等分1次,区间长度为1;等分2次,区间长度变为0.5;等分4次,区间长度变为0.125;等分5次,区间长度为0.062 50.1,符合题意,故选D.答案D7.用二分法求方程x3-2x-5=0在区间2,3内的实根,取区间中点x0=2.5,那么下一个有根区间为.解析因为f(2)0,f(3)0,所以f(2)f(2.5)0.所以下一个有根区间应为2,2.5.答案2,2.58.在用二分法求方程f(x)=0在(0,1)内的近似解时,经计算f(0.625)0,f(0.687 5)0,则可得出方程的一个近似解为(精确度0.1).解析因为|0.75-0.687 5|=0.062 50.1,所以(0.687 5,0.75)内的任意一个值都可作为方程的近似解.答案0.75(答案不唯一)9.已知方程2x+2x=5.(1)判断该方程解的个数以及所在区间;(2)用二分法求出方程的近似解(精确度0.1).参考数值:x1.187 51.1251.251.312 51.3751.52x2.2782.1812.3782.4842.5942.83解(1)令f(x)=2x+2x-5.因为函数f(x)=2x+2x-5在R上是增函数,所以函数f(x)=2x+2x-5至多有一个零点.因为f(1)=21+21-5=-10,所以函数f(x)=2x+2x-5的零点在(1,2)内.(2)用二分法逐次计算,列表如下:区间中点的值中点函数值符号(1,2)1.5f(1.5)0(1,1.5)1.25f(1.25)0(1.25,1.375)1.312 5f(1.312 5)0(1.25,1.312 5)因为|1.375-1.25|=0.1250.1,且|1.312 5-1.25|=0.062 50),在用二分法寻找零点的过程中,依次确定了零点所在的区间为0,a2、0,a4、0,a8,则下列说法正确的是()A.函数f(x)在区间0,a16中有零点B.函数f(x)在区间0,a16或a16,a8中有零点C.函数f(x)在区间a16,a中无零点D.函数f(x)在区间0,a16或a16,a8中有零点,或零点是a16答案D2.已知函数f(x)=ln(x+1)+2x-m(mR)的一个零点附近的函数值的参考数据如表:x00.50.531 250.562 50.6250.751f(x)-1.307-0.084-0.0090.0660.2150.5121.099由二分法求得方程ln(x+1)+2x-m=0的近似解(精确度0.05)可能是()A.0.625B.-0.009C.0.562 5D.0.066解析设近似解为x0,因为f(0.531 25)0,所以x0(0.531 25,0.562 5).因为0.562 5-0.531 25=0.031 250.05,所以方程的近似解可取为0.562 5,故选C.答案C3.已知f(x)=3x+3x-8,用二分法求方程3x+3x-8=0在区间(1,2)内的近似解的过程中得到f(1)0,f(1.25)0,则方程的根落在区间()A.(1,1.25)B.(1.25,1.5)C.(1.5,2)D.不能确定解析f(1)0,f(1.25)0,f(1.25)f(1.5)0,因此方程的根落在区间(1.25,1.5)内,故选B.答案B4.工作人员不慎将63枚真纪念币和一枚假纪念币混在了一起,从其外形无法分辨,仅仅知道假纪念币的质量要比真纪念币稍轻一点点,现用一台天平,通过比较质量的方法来找出那枚假纪念币,则最多只需称量()A.4次B.5次C.6次D.7次解析利用二分法的思想将这些纪念币不断地分成两组,根据这两组的质量确定出假的在哪里,直至找出那枚假的为止.求解时需将64枚纪念币均分为两组,分别称其质量,假的一定在轻的那一组,再将这一组(共32枚)均分为两组,称其质量,这样一直均分下去,6次就能找出那枚假的,即最多只需称量6次.答案C5.若函数f(x)的图象是连续不断的,根据下面的表格,可以断定f(x)的零点所在的区间为.(只填序号)(-,11,22,33,44,55,66,+)x123456f(x)136.12315.542-3.93010.678-50.667-305.678解析根据零点存在定理,f(x)在2,3,3,4,4,5内都有零点.答案6.如图,一块电路板的线路AB之间有64个串联的焊接点(不含端点A,B),如果线路不通的原因是由于焊口脱落所致,要想检验出哪一处的焊口脱落,则至多需要检测次.解析第1次取中点把焊点数减半为642=32,第2次取中点把焊点数减半为322=16,第3次取中点把焊点数减半为162=8,第4次取中点把焊点数减半为82=4,第5次取中点把焊点数减半为42=2,第6次取中点把焊点数减半为22=1,所以至多需要检测的次数是6.答案67.用二分法求函数f(x)=(x+1)(x-2)(x-3)-1在区间(-1,0)内的零点的近似值(精确到0.1).解f(-1)=-10,可取区间-1,0作为计算的初始区间.用二分法逐步计算,列表如下:端点或中点横坐标计算端点或中点的函数值定区间a0=-1,b0=0f(-1)=-1,f(0)=5-1,0x1=-1+02=-0.5f(x1)=3.3750-1,-0.5x2=-1-0.52=-0.75f(x2)=1.578 1250-1,-0.75x3=-1-0.752=-0.875f(x3)0.392 60-1,-0.875x4=-1-0.8752=-0.937 5f(x4)-0.277 10,f(-0.5)=13-2+1=1-330,x0(-0.5,0).用二分法求解列表如下:中点值中点(端点)函数值及符号选取区间f(-0.5)0(-0.5,0)-0.25f(-0.25)0.426 50(-0.5,-0.25)-0.375f(-0.375)0.062 30(-0.5,-0.375)-0.437 5f(-0.437 5)-0.159 30(-0.437 5,-0.375)|-0.437 5-(-0.375)|=0.062 50.1,原方程的近似解可取为-0.437 5.
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