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专题突破训练(一)导数与不等式时间 /45分钟分值 /72分基础热身1.(12分)2019安徽皖中模拟 已知f(x)=-x2-3,g(x)=2xlnx-ax.(1)若函数f(x)与g(x)的图像在x=1处的切线平行,求函数g(x)的图像在点(1,g(1)处的切线方程;(2)当x(0,+)时,若g(x)-f(x)0恒成立,求实数a的取值范围.2.(12分)2019唐山摸底 设f(x)=2xlnx+1.(1)求f(x)的最小值;(2)证明:f(x)x2-x+1x+2lnx.能力提升3.(12分)2018马鞍山二模 已知函数f(x)=ex-ax,aR.(1)若f(x)在定义域内无极值点,求实数a的取值范围;(2)求证:当0a0时,f(x)1恒成立.4.(12分)2018河南新乡二模 已知函数f(x)=3ex+x2,g(x)=9x-1.(1)求函数(x)=xex+4x-f(x)的单调区间;(2)比较f(x)与g(x)的大小,并加以证明.5.(12分)2018东北三省三校二模 已知函数f(x)=x-alnx-1,曲线y=f(x)在点(1,0)处的切线经过点(e,0).(1)证明:f(x)0;(2)若当x1,+)时,f1x(lnx)2p+lnx,求p的取值范围.难点突破6.(12分)2018江淮十校三联 已知函数f(x)=axlnx.(1)当a=2时求函数f(x)的单调递减区间;(2)若方程f(x)=1有两个不相等的实数根x1,x2,证明:x1+x22e.专题突破训练(一)1.解:(1)f(x)=-2x,g(x)=2lnx+2-a,因为函数f(x)与g(x)的图像在x=1处的切线平行,所以f(1)=g(1),解得a=4,所以g(1)=-4,g(1)=-2,所以函数g(x)的图像在点(1,g(1)处的切线方程为2x+y+2=0.(2)当x(0,+)时,由g(x)-f(x)0恒成立得,2xlnx-ax+x2+30恒成立,即a2lnx+x+3x恒成立.设h(x)=2lnx+x+3x,则h(x)=x2+2x-3x2=(x+3)(x-1)x2(x0),当x(0,1)时,h(x)0,h(x)单调递增,所以h(x)min=h(1)=4,所以a4,即a的取值范围为(-,4.2.解:(1)f(x)=2(lnx+1).当x0,1e时,f(x)0,f(x)单调递增.所以当x=1e时,f(x)取得极小值,也是最小值,最小值为f1e=1-2e.(2)证明:令F(x)=x2-x+1x+2lnx-f(x)=x(x-1)-x-1x-2(x-1)lnx=(x-1)x-1x-2lnx.令g(x)=x-1x-2lnx,则g(x)=1+1x2-2x=(x-1)2x20,所以g(x)在(0,+)上单调递增,又因为g(1)=0,所以当0x1时,g(x)0,当x1时,g(x)0,F(x)0,当x=1时,F(x)=0,所以F(x)=(x-1)x-1x-2lnx0,即f(x)x2-x+1x+2lnx.3.解:(1)f(x)的定义域为x|x0,对函数f(x)=ex-ax求导,得f(x)=ex(x-1)+ax2.令g(x)=ex(x-1)+a,则g(x)=xex,当x0时,g(x)0时,g(x)0,则g(x)在(0,+)上单调递增.因为g(0)=a-1,且f(x)在定义域内无极值点,所以a1.(2)证明:f(x)=ex(x-1)+ax2,由(1)可知g(x)=ex(x-1)+a在(0,+)上单调递增,又当0a1时,g(0)=a-10,所以存在x0(0,1),使得g(x0)=0,即f(x0)=0,且当0xx0时,f(x)x0时,f(x)0,故f(x)在(0,x0)上单调递减,在(x0,+)上单调递增,所以f(x)f(x0).由g(x0)=ex0(x0-1)+a=0知f(x0)=ex01,所以当0a0时,f(x)1恒成立.4.解:(1)(x)=(x-2)(ex-2),令(x)=0,得x1=ln2,x2=2.令(x)0,得x2;令(x)0,得ln2xg(x).证明如下:设h(x)=f(x)-g(x)=3ex+x2-9x+1,因为h(x)=3ex+2x-9为增函数,且h(0)=-60,所以存在x0(0,1),使得h(x0)=0.当xx0时,h(x)0;当xx0时,h(x)0,所以h(x)min0,所以f(x)g(x).5.解:(1)证明:f(x)=1-ax(x0),由题知曲线y=f(x)在点(1,0)处的切线方程为y=f(1)(x-1),即y=(1-a)(x-1),又切线经过点(e,0),所以0=(1-a)(e-1),解得a=1.所以f(x)=x-lnx-1,从而f(x)=1-1x=x-1x(x0).因为当x(0,1)时,f(x)0,所以f(x)在区间(0,1)上是减函数,在区间(1,+)上是增函数,从而f(x)f(1)=0.(2)由题意知,当x1,+)时,p+lnx0,所以p0,从而当x1,+)时,p+lnx0,由题意知1x+lnx-1(lnx)2p+lnx,即(p-1)x+1lnx-px+p0,其中x1,+).设g(x)=(p-1)x+1lnx-px+p,其中x1,+),设h(x)=g(x),即h(x)=(p-1)lnx+1x-1,其中x1,+),则h(x)=(p-1)x-1x2,其中x1,+).当p2时,因为当x1,+)时,h(x)0,所以h(x)是增函数,从而当x1,+)时,h(x)h(1)=0,所以g(x)是增函数,从而g(x)g(1)=0.故当p2时符合题意.当1p2时,因为当x1,1p-1时,h(x)0,所以h(x)在区间1,1p-1上是减函数,从而当x1,1p-1时,h(x)h(1)=0,所以g(x)在1,1p-1上是减函数,从而g1p-1g(1)=0,故当1p2时不符合题意.当0p1时,因为当x1,+)时,h(x)0,所以h(x)是减函数,从而当x1,+)时,h(x)h(1)=0,所以g(x)是减函数,从而g(x)g(1)=0,故当0p1时不符合题意.综上,p的取值范围是2,+).6.解:(1)f(x)的定义域为(0,1)(1,+),当a=2时,f(x)=2(lnx-1)(lnx)2,由f(x)2x1x2,所以要证x1+x22e,只需证x1x2e2,即证lnx1+lnx22,即证lnx1+lnx2=a(x1+x2)=(x1+x2)ln x1-ln x2x1-x22,不妨设x1x2,则只需证lnx1x22(x1-x2)x1+x2,令x1x2=t1,则只需证lnt2(t-1)t+1.令g(t)=lnt-2(t-1)t+1=lnt+4t+1-2(t1),则易知g(t)=1t-4(t+1)20在(1,+)上恒成立,所以g(t)在(1,+)上单调递增,g(t)g(1)=0,所以lnt2(t-1)t+1,即x1+x22e.
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