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第1讲函数的图象与性质考情考向分析1.高考对函数的三要素，函数的表示方法等内容的考查以基础知识为主，难度中等偏下.2.对图象的考查主要有两个方面：一是识图，二是用图，即利用函数的图象，通过数形结合的思想解决问题.3.对函数性质的考查，主要是将单调性、奇偶性、周期性等综合在一起考查，既有具体函数也有抽象函数常以选择题、填空题的形式出现，且常与新定义问题相结合，难度较大热点一函数的性质及应用1单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质利用定义证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、判断符号、下结论复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则2奇偶性(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反(2)在公共定义域内：两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数；两个偶函数的和函数、积函数都是偶函数；一个奇函数、一个偶函数的积函数是奇函数(3)若f(x)是奇函数且在x0处有定义，则f(0)0.(4)若f(x)是偶函数，则f(x)f(x)f(|x|)(5)图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称3周期性定义：周期性是函数在定义域上的整体性质若函数在其定义域上满足f(ax)f(x)(a0)，则其一个周期T|a|.常见结论：(1)若f(xa)f(x)，则函数f(x)的最小正周期为2|a|，a0.(2)若f(xa)，则函数f(x)的最小正周期为2|a|，a0.(3)若f(ax)f(bx)，则函数f(x)的图象关于直线x对称例1(1)(2018贵州省黔东南州模拟)设函数f(x)的最大值为M，最小值为N，则(MN1)2 018的值为()A1 B2 C22 018 D32 018答案A解析由已知xR，f(x)1，令g(x)，易知g(x)为奇函数，由于奇函数在对称区间上的最大值与最小值的和为0，MNf(x)maxf(x)ming(x)max1g(x)min12，(MN1)2 0181，故选A.(2)(2018上饶模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足：函数yf(x1)的图象关于点(1,0)对称，且x0时恒有f(x2)f(x)，当x0,1时，f(x)ex1，则f(2 017)f(2 018)_.答案1e解析因为函数yf(x1)的图象关于点(1,0)对称，所以yf(x)的图象关于原点对称，又定义域为R，所以函数yf(x)是奇函数，因为x0时恒有f(x2)f(x)，所以f(2 017)f(2 018)f(2 017)f(0)f(1)f(0)(e11)(e01)1e.思维升华(1)可以根据函数的奇偶性和周期性，将所求函数值转化为给出解析式的范围内的函数值(2)利用函数的单调性解不等式的关键是化成f(x1)f(x2)的形式跟踪演练1(1)(2018全国)设函数f(x)则满足f(x1)f(2x)的x的取值范围是()A(，1 B(0，)C(1,0) D(，0)答案D解析方法一当即x1时，f(x1)f(2x)即为2(x1)22x，即(x1)2x，解得x1.因此不等式的解集为(，1当时，不等式组无解当即1x0时，f(x1)f(2x)即122x，解得x0时，f(x1)1，f(2x)1，不合题意综上，不等式f(x1)f(2x)的解集为(，0)故选D.方法二f(x)函数f(x)的图象如图所示由图可知，当x10且2x0时，函数f(x)为减函数，故f(x1)2x.此时x1.当2x0时，f(2x)1，f(x1)1，满足f(x1)f(2x)此时1x0.综上，不等式f(x1)0，则x1或x1时，f(x)ln(x1)x为增函数，当x2时，f(2)ln(|2|1)220，所以a0在R上恒成立，所以函数f(x)在定义域内单调递增，不是选项C中的图象，故选C.思维升华(1)根据函数的解析式判断函数的图象，要从定义域、值域、单调性、奇偶性等方面入手，结合给出的函数图象进行全面分析，有时也可结合特殊的函数值进行辅助推断，这是判断函数图象问题的基本方法(2)判断复杂函数的图象，常借助导数这一工具，先对原函数进行求导，再利用导数判断函数的单调性、极值或最值，从而对选项进行筛选要注意函数求导之后，导函数发生了变化，故导函数和原函数定义域会有所不同，我们必须在原函数的定义域内研究函数的极值和最值跟踪演练2(1)(2018河北省衡水中学调研)函数f(x)sin的图象大致为()答案B解析由于x0，故排除A.f(x)sinf(x)，又函数f(x)的定义域为(1，)(，1)，所以函数为奇函数，图象关于原点对称，排除C.f(2)sinsin(ln 3)0且a0时，f(x)x2，当且仅当x时等号成立，当x0时，f(x)x在(，0)上为减函数，故可能；对于D，当x0且a0且a0，a1)与对数函数ylogax(a0，a1)的图象和性质，分0a1两种情况，着重关注两函数图象中的公共性质2幂函数yx的图象和性质，主要掌握1,2,3，1五种情况例3(1)(2018安庆模拟)设x，y，z均大于1，且，令a，b，c，则a，b，c的大小关系是()Aabc BbcaCcab Dcba答案D解析令t，则t0，x()t，y()t，z()t，2332，即ab，3453，即bc，abc，故选D.(2)已知函数f(x)满足对任意x1x2，都有0成立，则a的取值范围是()A. B(1,2C(1,3) D.答案A解析由bc BbacCcba Dcab答案D解析clog35，alog3，又ylog3x在(0，)上是增函数，log35log3log331，ca1.yx在(，)上是减函数，01，即bab.故选D.(2)对任意实数a，b定义运算“”：ab设f(x)3x1(1x)，若函数f(x)与函数g(x)x26x在区间(m，m1)上均为减函数，则实数m的取值范围是()A1,2 B(0,3C0,2 D1,3答案C解析由题意得f(x)函数f(x)在(0，)上单调递减，函数g(x)(x3)29在(，3上单调递减，若函数f(x)与g(x)在区间(m，m1)上均为减函数，则得0m2，故选C.真题体验1(2018全国改编)函数yx4x22的图象大致为_(填序号)答案解析方法一f(x)4x32x，则f(x)0的解集为，此时f(x)单调递增；f(x)2，所以排除.2(2017天津改编)已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)xf(x)若ag(log25.1)，bg(20.8)，cg(3)，则a，b，c的大小关系为_答案bac解析依题意ag(log25.1)(log25.1)f(log25.1)log25.1f(log25.1)g(log25.1)因为f(x)在R上是增函数，可设0x1x2，则0f(x1)f(x2)从而x1f(x1)x2f(x2)，即g(x1)0,20.80,30，且log25.1log283,20.8213，而20.821log24log25.120.80，所以cab.3(2017山东改编)设f(x)若f(a)f(a1)，则f_.答案6解析若0a0，则x0)f(2)2232212.方法二f(2)f(2)2(2)3(2)212.押题预测1在同一直角坐标系中，函数f(x)xa(x0)，g(x)logax的图象可能是()押题依据指数、对数、幂函数的图象识别问题是高考命题的热点，旨在考查其基本性质的灵活运用，题目难度一般不大，位于试卷比较靠前的位置答案D解析方法一分a1,0a1时，yxa与ylogax均为增函数，但yxa递增较快，排除C；当0a1时，yxa为增函数，ylogax为减函数，排除A.由于yxa递增较慢，故选D.方法二幂函数f(x)xa的图象不过(0,1)点，排除A；B项中由对数函数g(x)logax的图象知0a1，而此时幂函数g(x)xa的图象应是增长越来越快的变化趋势，故C错2设函数yf(x)(xR)为偶函数，且xR，满足ff，当x2,3时，f(x)x，则当x2,0时，f(x)等于()A|x4| B|2x|C2|x1| D3|x1|押题依据利用函数的周期性、奇偶性求函数值是高考的传统题型，考查学生思维的灵活性答案D解析由ff，可得f(x2)f(x)，则当x2，1时，x42,3，f(x)f(x4)x4x13；当x1,0时，x0,1，2x2,3，f(x)f(x)f(2x)2x3x1，故选D.3已知函数f(x)，则yf(x)的图象大致为()押题依据图象的识别和变换是高考的热点，此类问题既考查了基础知识，又考查了学生的灵活变换能力答案B解析取特殊值，用排除法求解，f(2)0，排除A.f0时，h(x)若h(t)h(2)，则实数t的取值范围为_押题依据分段函数是高考的必考内容，利用函数的单调性求解参数的范围，是一类重要题型，是高考考查的热点本题恰当地应用了函数的单调性，同时考查了函数的奇偶性的性质答案(2,0)(0,2)解析因为当x0时，h(x)所以函数h(x)在(0，)上单调递减，因为函数h(x)(x0)为偶函数，且h(t)h(2)，所以h(|t|)h(2)，所以0|t|2，所以即解得2t0或0t2.综上，所求实数t的取值范围为(2,0)(0,2)A组专题通关1(2018北京石景山区模拟)下列函数中既是奇函数，又在区间(0，)上是减函数的为()Ay Byx3Cy Dyx答案B解析由题意得，对于函数y和函数y都是非奇非偶函数，排除A，C. 又函数yx在区间(0,1)上单调递减，在区间(1，)上单调递增，排除D，故选B.2(2018合肥质检)已知函数f(x)是奇函数，则f(a)的值等于()A B3C或3 D.或3答案C解析函数f(x)为奇函数，则f(x)f(x)，即在定义域内恒成立，整理可得，即a21恒成立，a1，当a1时，函数f(x)的解析式为f(x)，ff，当a1时，函数f(x)的解析式为f(x)，ff3.综上可得f的值为或3.3(2018安庆模拟)函数f(x)loga(0a0时，f(x)(1x2)，f(x)在(0，)上单调递减，f(x)是偶函数，f(x)在(，0)上单调递增，又f(x)的定义域为R，f(x)f(2x1)等价于|x|2x1|，两边平方，化为3x24x10，解得x1，故x的取值范围是，故选C.5已知函数f(x)xsin x，若af(3)，bf(2)，cf，则a，b，c的大小关系为()Aabc BcbaCbac Dbca答案D解析由于f(x)f(x)，且定义域为R，故函数f(x)为奇函数，由于f(x)1cos x0，故函数f(x)为定义域上的增函数，而2log263，所以bca，故选D.6若函数f(x)在R上是增函数，则a的取值范围为()A2,3 B2，)C1,3 D1，)答案A解析由题意得a2,3，故选A.7(2018上饶模拟)函数y的图象大致为()答案B解析令y0，可得x2，即函数y有唯一的零点x2，四个选项中，只有选项B符合题意，故选B.8(2018德阳二诊)已知log2xlog3ylog5z0，则，的大小排序为()A. B.C. D.答案A解析x，y，z 为正实数，且log2xlog3ylog5z0，令log2xlog3ylog5zk(k0，函数f(x)x1k在(0，)上单调递增，1的x的取值范围是_答案解析由题意知，对不等式分x0,0三段讨论当x0时，原不等式为x1x1，解得x，x0.当01，显然成立当x时，原不等式为2x2x1，显然成立综上可知，x的取值范围是.10已知定义在R上的函数f(x)满足：函数f(x)的图象的对称中心为(1,0)，且对称轴为x1；当x1,1时，f(x)则f_.答案解析由题意作出f(x)的部分图象如图所示，则f.11(2018全国)已知函数f(x)ln(x)1，f(a)4，则f(a)_.答案2解析f(x)f(x)ln(x)1ln(x)1ln(1x2x2)22，f(a)f(a)2，f(a)2.12已知函数f(x)是奇函数，当x0且a1)对x恒成立，则实数a的取值范围是_答案解析由已知得当x0时，f(x)x2x，故x22logax对x恒成立，即当x时，函数yx2的图象不在y2logax图象的上方，由图(图略)知0a1且2loga，解得a1.B组能力提高13(2018郑州模拟)已知yf(x)满足f(x1)f(x1)2，则以下四个选项一定正确的是()Af(x1)1是偶函数Bf(x1)1是奇函数Cf(x1)1是偶函数Df(x1)1是奇函数答案D解析方法一根据题干条件可知函数f(x)关于点(1,1)中心对称，故f(x1)关于点(0,1)中心对称，则f(x1)1关于点(0,0)中心对称，是奇函数方法二f(x1)f(x1)2，f(x1)1f(x1)1f(x1)1，f(x1)1是奇函数14(2018江西省分宜中学、玉山一中、临川一中等九校联考)若函数yf(x)，xM对于给定的非零实数a，总存在非零常数T，使得定义域M内的任意实数，都有af(x)f(xT)恒成立，此时T为f(x)的类周期，函数yf(x)是M上的a级类周期函数，若函数yf(x)是定义在区间0，)内的3级类周期函数且T2，当x0,2)，f(x) 函数g(x)2ln xx2xm，若x16,8，x2(0，)使g(x2)f(x1)0成立，则实数m的取值范围是()A. B(，12C(，39 D12，)答案C解析根据题意，对于函数f(x)，当x0,2)时，f(x)分析可得：当0x1时，f(x)2x2，此时f(x)的最大值f(0)，最小值f(1)，当1x2时，f(x)f(2x)，函数f(x)的图象关于直线x1对称，则此时有f(x)，又由函数yf(x)是定义在区间0，)内的3级类周期函数，且T2，则在x6,8)上，f(x)33f(x6)，则有f(x)，则f(8)27f(2)81f(0)，则函数f(x)在区间6,8上的最大值为，最小值为；对于函数g(x)2ln xx2xm，g(x).分析可得：在(0,1)上，g(x)0，函数g(x)为增函数，则函数g(x)在(0，)上有最小值g(1)m，若x16,8，x2(0，)，使g(x2)f(x1)0成立，必有g(x)minf(x)max，即m，得m的取值范围为(，3915(2018安阳二模)已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)g(x)，若g(x5)g2且x0且x1解析因为f(x)g(x)，所以f(x)g(x)，即f(x)g(x)，因此g(x).因为g(x)g 1，所以由g(x5)gg(x)g，得1，即2，结合分母不为零得x的取值范围是x|x2且x0且x116(2018天津)已知aR，函数f(x)若对任意x3，)，f(x)|x|恒成立，则a的取值范围是_答案解析如图所示，若对任意x3，)，要使函数yf(x)的图象恒在y|x|图象的下方，则必有且在(0，)内直线yx与yx22x2a相切或相离，所以xx22x2a有两个相等实根或无实根，即对于方程x2x2a0，(1)242a0，解得a.由得96a23且a20，所以a2.综上，a2.
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