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2.3.1双曲线的标准方程学习目标1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程及其求法.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题.知识点一双曲线的定义把平面内与两个定点F1，F2距离的差的绝对值等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫做双曲线，两个定点F1，F2叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.知识点二双曲线的标准方程思考如图，类比椭圆中a，b，c的意义，你能在y轴上找一点B，使OBb吗？答案以双曲线与x轴的交点A为圆心，以线段OF2为半径画圆交y轴于点B，此时OBb.梳理焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)焦点F1(c,0)，F2(c,0)F1(0，c)，F2(0，c)焦距F1F22c，c2a2b21.在双曲线标准方程中，a，b，c之间的关系同椭圆中a，b，c之间的关系相同.()2.点A(1,0)，B(1,0)，若ACBC4，则点C的轨迹是双曲线.()3.在双曲线标准方程1中，a0，b0且ab.()4.双曲线1的焦距为4.()类型一求双曲线的标准方程例1求下列双曲线的标准方程：(1)与椭圆1有公共焦点，且过点(2，)；(2)焦距为26，且经过点M(0,12)；(3)过点P，Q，且焦点在坐标轴上.考点双曲线的标准方程的求法题点定义法、待定系数法求双曲线的标准方程解(1)椭圆1的焦点为F1(0，3)，F2(0,3).设双曲线的标准方程为1(a0，b0)，则有解得故所求双曲线的标准方程为1.(2)因为双曲线经过点M(0,12)，所以M(0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y轴上，且a12.又2c26，所以c13，所以b2c2a225.所以双曲线的标准方程为1.(3)设双曲线方程为mx2ny21(mn0).因为点P，Q在双曲线上，所以解得故所求双曲线的标准方程为1.反思与感悟待定系数法求方程的步骤(1)定型：即确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴.(2)设方程：根据焦点位置设出相应的标准方程的形式，若不知道焦点的位置，则进行讨论，或设双曲线的方程为Ax2By21(AB0，b0)，c，b2c2a26a2.由题意知1，1，解得a25或a230(舍).b21，双曲线的标准方程为y21.(2)设双曲线方程为mx2ny21(mn0).点P(4，2)和点Q(2，2)在双曲线上，解得双曲线的标准方程为1.(3)椭圆1的焦点坐标为F1(0，3)，F2(0,3)，故可设双曲线的标准方程为1.由题意，知解得双曲线的标准方程为1.类型二由双曲线方程求参数值或范围例2方程1表示双曲线，那么m的取值范围为_.考点双曲线的标准方程题点由双曲线方程求参数答案m|3m2或m3解析依题意有或解得3m2或m3.m的取值范围为m|3m2或m3.反思与感悟方程表示双曲线的条件及参数范围求法(1)对于方程1，当mn0，n0时，表示焦点在x轴上的双曲线；当m0时，表示焦点在y轴上的双曲线.(2)对于方程1，当mn0时，表示双曲线，且当m0，n0时，表示焦点在x轴上的双曲线；当m0，n0时，方程可化为1，则c2kk，即26，故k6.当k0，b0)，点A，B均在双曲线的右支上，线段AB经过双曲线的右焦点F2，ABm，F1为双曲线的左焦点，则ABF1的周长为_.考点双曲线的定义题点双曲线的焦点三角形答案4a2m解析由双曲线的定义，知AF1AF22a，BF1BF22a.又AF2BF2AB，所以ABF1的周长为AF1BF1AB4a2AB4a2m.(2)已知双曲线1的左、右焦点分别是F1，F2，若双曲线上一点P使得F1PF260，则F1PF2的面积为_.考点双曲线的定义题点双曲线的焦点三角形答案16解析由1，得a3，b4，c5.由定义和余弦定理，得PF1PF26，F1FPFPF2PF1PF2cos60，所以102(PF1PF2)2PF1PF2，所以PF1PF264.PF1PF2sin606416.引申探究在本例(2)中，若F1PF290，其他条件不变，求F1PF2的面积.解由双曲线方程知a3，b4，c5.由双曲线的定义得|PF1PF2|2a6，所以PFPF2PF1PF236.在RtF1PF2中，由勾股定理，得PFPFF1F(2c)2100.将代入，得PF1PF232，所以PF1PF216.反思与感悟求双曲线中焦点三角形面积的方法(1)方法一：根据双曲线的定义求出|PF1PF2|2a；利用余弦定理表示出PF1，PF2，F1F2之间满足的关系式；通过配方，利用整体的思想求出PF1PF2的值；利用公式PF1PF2sinF1PF2，求得面积.(2)方法二：利用公式F1F2|yP|(yP为P点的纵坐标)，求得面积.特别提醒：利用双曲线的定义解决与焦点有关的问题，一是要注意定义条件|PF1PF2|2a的变形使用，特别是与PFPF，PF1PF2间的关系.跟踪训练3已知F1，F2分别为双曲线C：x2y21的左、右焦点，点P在C上，F1PF260，则PF1PF2_.考点双曲线的定义题点双曲线的焦点三角形答案4解析设PF1m，PF2n，由余弦定理，得F1Fm2n22mncosF1PF2，即m2n2mn8，(mn)2mn8，mn4，即PF1PF24.1.已知双曲线中的a5，c7，则该双曲线的标准方程为_.考点双曲线的标准方程的求法题点定义法、待定系数法求双曲线的标准方程答案1或12.椭圆1与双曲线1有相同的焦点，则a_.考点双曲线的标准方程的求法题点定义法、待定系数法求双曲线的标准方程答案1解析由a0,0a24，且4a2a2，可得a1.3.若方程1表示双曲线，则k的取值范围为_.考点双曲线的标准方程题点由双曲线方程求参数答案(5,10)解析由题意得(10k)(5k)0，解得5k0，b0)，则有a2b2c28.因为过点(3，)，所以1，解得a23，b25，所以所求双曲线的标准方程为1.1.在双曲线定义中|PF1PF2|2a(2ab不一定成立，要注意与椭圆中a，b，c的区别.在椭圆中a2b2c2，在双曲线中c2a2b2.3.用待定系数法求双曲线的标准方程时，要先判断焦点所在的位置，设出标准方程后，由条件列出a，b，c的方程组.如果焦点不确定要分类讨论，采用待定系数法求方程或用形如mx2ny21(mn0)的形式求解.一、填空题1.过点(1,1)，且的双曲线的标准方程是_.考点双曲线的标准方程的求法题点定义法、待定系数法求双曲线的标准方程答案y21或x21解析由于，b22a2.当焦点在x轴上时，设双曲线方程为1，代入(1,1)点，得a2.此时双曲线的标准方程为y21；同理求得当焦点在y轴上时，双曲线的标准方程为x21.2.“k2”是“方程1表示双曲线”的_条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)考点双曲线的标准方程题点由双曲线方程求参数答案充分不必要解析k2方程1表示双曲线，而方程1表示双曲线(4k)(k2)0k4.所以“k5，则c2mm59，m7；当焦点在y轴上时，有m0，b0)，则由解得所以所求双曲线的标准方程为y21.8.已知双曲线1，直线l过其左焦点F1，交双曲线左支于A，B两点，且AB4，F2为双曲线的右焦点，ABF2的周长为20，则m的值为_.考点双曲线的定义题点双曲线定义的应用答案9解析由已知，ABAF2BF220.又AB4，则AF2BF216.根据双曲线的定义，2aAF2AF1BF2BF1，所以4aAF2BF2(AF1BF1)16412，即a3，所以ma29.9.设F1，F2是双曲线1的左、右焦点，P是双曲线左支上一点.若PF1，PF2，F1F2成等差数列，且公差大于0，则F1PF2_.考点双曲线的定义题点双曲线的焦点三角形答案120解析由PF1F1F22PF2，PF2PF14，得PF16，PF210.又F1F214，由余弦定理，可得cosF1PF2，F1PF2120.10.设F1，F2分别是双曲线y21的左、右焦点，点P在双曲线上，当F1PF2的面积为1时，的值为_.答案0解析不妨设P(xP，yP)(xP0，yP0).由2cyP1，得yP，P，0.二、解答题11.已知在周长为48的RtMPN中，MPN90，tanPMN，求以M，N为焦点，且过点P的双曲线的标准方程.考点双曲线的标准方程的求法题点待定系数法求双曲线的标准方程解由RtMPN的周长为48，且tanPMN，设PN3k，PM4k，则MN5k,3k4k5k48，得k4，则PN12，PM16，MN20.以MN中点为坐标原点，以MN所在直线为x轴，以线段MN的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，由PMPN42a，得a2，a24，由MN20，得2c20，c10，则b2c2a296，所以双曲线的标准方程为1.12.已知方程kx2y24，其中kR，试就k的不同取值讨论方程所表示的曲线类型.考点双曲线的标准方程的求法题点定义法、待定系数法求双曲线的标准方程解(1)当k0时，方程变为y2，表示两条与x轴平行的直线；(2)当k1时，方程变为x2y24，表示圆心为原点，以2为半径的圆；(3)当k0时，方程变为1，表示焦点在y轴上的双曲线；(4)当0k1时，方程变为1，表示焦点在y轴上的椭圆.13.已知双曲线过点(3，2)且与椭圆4x29y236有相同的焦点.(1)求双曲线的标准方程；(2)若点M在双曲线上，F1，F2为左、右焦点，且MF1MF26，试判断MF1F2的形状.考点双曲线的定义题点双曲线的焦点三角形解(1)椭圆方程可化为1，焦点在x轴上，且c，故设双曲线方程为1.则有解得a23，b22，所以双曲线的标准方程为1.(2)不妨设点M在双曲线的右支上，则有MF1MF22，又MF1MF26，解得MF14，MF22.又F1F22，因此在MF1F2中，MF1边最长，而cosMF2F10)的右顶点为A，若该双曲线右支上存在两点B，C使得ABC为等腰直角三角形，则实数m的取值范围为_.考点双曲线的标准方程题点由双曲线方程求参数答案(0,1)解析由题意可知，点A的坐标为，设直线AB的方程为ytan45，即xy，与双曲线方程联立，可得则(m1)y22y0，解得y0或y.由题意知y为B点的纵坐标，且满足0，即0m1.15.已知0180，当变化时，方程x2cosy2sin1表示的曲线怎样变化？考点双曲线的标准方程题点由双曲线方程求参数解(1)当090时，方程为1.当045时，0，方程表示焦点在y轴上的椭圆；当45时，方程表示圆x2y2；当450，方程表示焦点在x轴上的椭圆；(2)当90时，方程为y21，方程表示两条平行直线y1.(3)当90180时，方程为1，方程表示焦点在y轴上的双曲线.
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