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3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义学习目标1.理解并掌握复数代数形式的加减运算法则.2.了解复数代数形式的加法、减法的几何意义，掌握不同数集中加减运算法则的联系与区别.3.在研究复数代数形式的加法、减法的几何意义时，充分利用向量加法、减法的性质知识点一复数代数形式的加减法思考1类比多项式的加减法运算，想一想复数如何进行加减法运算？答案两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)，即(abi)(cdi)(ac)(bd)i.思考2若复数z1，z2满足z1z20，能否认为z1z2?答案不能，如2ii0，但2i与i不能比较大小梳理(1)运算法则设z1abi，z2cdi是任意两个复数，那么(abi)(cdi)(ac)(bd)i，(abi)(cdi)(ac)(bd)i.(2)加法运算律对任意z1，z2，z3C，有z1z2z2z1，(z1z2)z3z1(z2z3)知识点二复数加减法的几何意义思考1复数与复平面内的向量一一对应，你能从向量加法的几何意义出发讨论复数加法的几何意义吗？答案如图，设，分别与复数abi，cdi对应，则(a，b)，(c，d)，由平面向量的坐标运算，得(ac，bd)，所以与复数(ac)(bd)i对应，复数的加法可以按照向量的加法来进行思考2怎样作出与复数z1z2对应的向量？答案z1z2可以看作z1(z2)因为复数的加法可以按照向量的加法来进行所以可以按照平行四边形法则或三角形法则作出与z1z2对应的向量(如图)图中对应复数z1，对应复数z2，则对应复数z1z2.梳理复数加法的几何意义复数z1z2是以，为邻边的平行四边形的对角线所对应的复数复数减法的几何意义复数z1z2是从向量的终点指向向量的终点的向量所对应的复数1两个虚数的和或差可能是实数()2在进行复数的加法时，实部与实部相加得实部，虚部与虚部相加得虚部()3复数的减法不满足结合律，即(z1z2)z3z1(z2z3)可能不成立()类型一复数的加、减法运算例1计算：(1)；(2)(32i)(2)i；(3)(63i)(32i)(34i)(2i)考点复数的加减运算法则题点复数加减法的综合应用解(1)原式ii.(2)(32i)(2)i3(22)i3i.(3)(63i)(32i)(34i)(2i)633(2)32(4)1i82i.反思与感悟(1)复数的加减运算就是实部与实部相加减，虚部与虚部相加减(2)当一个等式中同时含有|z|与z时，一般用待定系数法，设zxyi(x，yR)跟踪训练1(1)若复数z满足zi33i，则z_.(2)(abi)(2a3bi)3i_(a，bR)(3)已知复数z满足|z|z13i，则z_.考点复数的加减运算法则题点复数加减法的综合应用答案(1)62i(2)a(4b3)i(3)43i解析(1)zi33i，z62i.(2)(abi)(2a3bi)3i(a2a)(b3b3)ia(4b3)i.(3)设zxyi(x，yR)，|z|，|z|z(x)yi13i，解得z43i.类型二复数加、减法的几何意义例2已知复数z12i，z212i.(1)求z1z2；(2)在复平面内作出z1z2的运算结果所对应的向量考点复数的加减运算法则题点复数加减法与向量的对应解(1)z1z2(2i)(12i)1i.(2)在复平面内作z1z2的运算结果所对应的向量，如图中所示的.反思与感悟复数的减法可以用向量来运算，同样可以运用平行四边形法则和三角形法则进行运算跟踪训练2已知z12i，z212i，则复数zz2z1在复平面内对应的点位于()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限考点复数的加减法运算法则题点复数加减法与点的对应答案C解析zz2z1(12i)(2i)13i，故复数z在复平面内对应的点的坐标为(1，3)，故选C.类型三复数加、减法及其几何意义的综合运用例3已知复数z的模为2，求复数1iz的模的最大值、最小值考点复数加减法的几何意义的应用题点与加减法几何意义有关的模的最值问题解由已知得，在复平面内复数z对应的点Z在以原点为圆心，半径为2的圆上设w1iz，zw1i，|z|w(1i)|2，在复平面内复数w对应的点在以(1，)为圆心，半径为2的圆上，且该圆过点(0,0)，故|1iz|max4，|1iz|min0.反思与感悟在复平面内，任何向量所对应的复数，总是这个向量的终点所对应的复数减去起点所对应的复数所得的差，即所对应的复数是zBzA，所对应的复数是zAzB，不可把被减数与减数弄错跟踪训练3在平行四边形ABCD中，点A，B，C对应的复数分别为4i,34i,35i，则点D对应的复数是()A23iB48iC48iD14i考点复数的加减法运算法则题点复数加减法与点的对应答案C解析对应的复数为(34i)(4i)(34)(41)i13i.设点D对应的复数为z，则对应的复数为(35i)z.又，13i(35i)z，z(35i)(13i)(31)(53)i48i.1计算(3i)(2i)的结果为()A1BiC52iD1i考点复数的加减法运算法则题点复数加减法的运算法则答案A解析(3i)(2i)1.2在复平面内，向量对应的复数是54i，向量对应的复数是54i，则对应的复数是()A108iB108iC0D108i考点复数的加减法运算法则题点复数加减法与向量的对应答案C解析(5，4)(5,4)(0,0)，故对应的复数为0.3已知z1，z2C，|z1z2|2，|z1|2，|z2|2，则|z1z2|等于()A1B.C2D2考点复数的加减法运算法则题点复数加减法的综合应用答案D解析由复数加法、减法的几何意义知，在复平面内，以z1，z2所对应的向量为邻边的平行四边形为正方形，所以|z1z2|2.4若z1x1y1i，z2x2y2i(x1，x2，y1，y2R)，则|z2z1|_.考点复数的加减法运算法则题点复数加减法的综合应用答案解析z1x1y1i，z2x2y2i，z2z1(x2x1)(y2y1)i，|z2z1|.5若复数z1z234i，z1z252i，则2z1_.考点复数的加减法运算法则题点复数加减法的运算法则答案82i解析两式相加得2z182i.1复数代数形式的加减法满足交换律、结合律，复数的减法是加法的逆运算2复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则，复数减法的几何意义就是向量减法的三角形法则一、选择题1实数x，y满足z1yxi，z2yix，且z1z22，则xy的值是()A1B2C2D1考点复数的加减法运算法则题点复数加减法的综合应用答案A解析z1z2(yx)(xy)i2，即xy1，则xy1.2已知复数z1(a22)3ai，z2a(a22)i，若z1z2是纯虚数，那么实数a的值为()A1B2C2D2或1考点复数的加减法运算法则题点复数加减法的综合应用答案C解析z1z2(a2a2)(a23a2)i，由题意知解得a2.3设复数z满足关系式z|z|2i，那么z等于()AiB.iCiD.i考点复数的加减法运算法则题点复数加减法的综合应用答案D解析设zabi(a，bR)，则z|z|(a)bi2i，则解得zi.4已知z134i，z212i，则复数zz1z2在复平面内对应的点位于()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限考点复数的加减法运算法则题点复数加减法与点的对应答案D解析zz1z234i(12i)22i，z在复平面内对应的点的坐标为(2，2)，位于第四象限5已知复数z对应的向量如图所示，则复数z1对应的向量是()考点复数的加减法运算法则题点复数加减法与向量的对应答案A解析由题图可知z2i，所以z11i，故选A.6已知zC，且|z1|zi|0，则|zi|的最小值为()A0B1C.D.考点复数的加减法运算法则题点复数加减法的综合应用答案C解析由|z1|zi|知，在复平面内，复数z对应的点的轨迹是直线yx，|zi|表示直线yx上的点到点(0，1)的距离，故所求最小值等于点(0，1)到直线yx的距离.7复数zxyi(x，yR)满足|z4i|z2|，则2x4y的最小值为()A2B4C4D8考点复数的加减法运算法则题点复数加减法的综合应用答案C解析|z4i|z2|，且zxyi，|x(y4)i|x2yi|，x2(y4)2(x2)2y2，x2y3，2x4y22y34y8y4y4，当且仅当8y4y，即y时，等号成立二、填空题8计算：(27i)|34i|512i|i34i_.考点复数的加减法的运算法则题点复数加减法的运算法则答案16i解析原式27i513i34i(253)(7134)i16i.9如果一个复数与它的模的和为5i，那么这个复数是z_.考点复数相等题点复数相等的条件答案i解析设这个复数为zxyi(x，yR)，xyi5i，zxyii.10已知z1(3xy)(y4x)i，z2(4y2x)(5x3y)i(x，yR)若zz1z2，且z132i，则z1_，z2_.考点复数的加减法的运算法则题点复数加减法的运算法则答案59i87i解析zz1z2(3xy)(y4x)i(4y2x)(5x3y)i(5x3y)(x4y)i，又z132i，所以解得所以z1(321)(142)i59i，z2(422)(5231)i87i.11在平行四边形OABC中，各顶点对应的复数分别为zO0，zA2i，zB2a3i，zCbai，a，bR，则ab_.考点复数的加减法运算法则题点复数加减法与点的对应答案4解析因为，所以2i(bai)2a3i，所以解得故ab4.三、解答题12(1)设z1x2i，z23yi(x，yR)，且z1z256i，求xyi；(2)已知复数z1(a22)(a4)i，z2a(a22)i(aR)，且z1z2为纯虚数，求实数a的值考点复数的加减法运算法则题点复数加减法的运算法则解(1)z1z2x3(2y)i，又z1z256i，xyi28i.(2)z1z2(a2a2)(a4a22)i(aR)为纯虚数，解得a1.13复数z12mi，z2mm2i，mR.若z1z20，求实数m的值考点复数的加减法运算法则题点复数加减法的运算法则解z1z2(2mi)(mm2i)(m)(m22m)i.z1z20，z1z2为实数且大于0，解得m2.四、探究与拓展14已知z1a(a1)i，z23b(b2)i(a，bR)，若z1z24，则ab_.考点复数的加减法的运算法则题点复数加减法的运算法则答案3解析z1z2a(a1)i3b(b2)i(a1)(b2)i(ab1)i4，解得ab3.15设z为复数，D为满足条件|z|1|z|10的点Z所构成图形的边界(1)若复数z12i(其中zD)，试证明表示复数的点在某一个圆上运动，并写出此圆的复数方程；(2)若满足条件的点所构成的图形D与D有两个公共点A，B，OA，OB的倾斜角分别为，(O为原点)，求cos()的值考点复数加减法几何意义的应用题点与加减法几何意义有关的综合应用解(1)由已知得|z|1|(|z|1)，|z|10，即|z|1，|z|1.又z12i，12iz，|(12i)|z|，所对应的点在以(1，2)为圆心，为半径的圆上运动圆的复数方程为|(12i)|.(2)设zxyi(x，yR)，|z|1，x2y21.由，得x3y2.把代入整理得10y212y30.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y2，y1y2.又x2y21，设x1cos，x2cos，y1sin，y2sin，sinsiny1y2，coscosx1x2(3y12)(3y22)9y1y26(y1y2)4.cos().
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