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第三讲 柯西不等式与排序不等式复习课学习目标1.梳理本专题主要知识，构建知识网络.2.进一步理解柯西不等式，熟练掌握柯西不等式的各种形式及应用技巧.3.理解排序不等式及应用.4.进一步体会柯西不等式与排序不等式所蕴含的数学思想及方法1二维形式的柯西不等式(1)二维形式的柯西不等式：若a，b，c，d都是实数，则(a2b2)(c2d2)(acbd)2.(2)柯西不等式的向量形式：设，是两个向量，则|，当且仅当是零向量，或存在实数k，使k时，等号成立(3)二维形式的三角不等式：设x1，y1，x2，y2R，那么.2一般形式的柯西不等式设a1，a2，a3，an，b1，b2，b3，bn是实数，则(aaa)(bbb)(a1b1a2b2anbn)2.当且仅当bi0(i1,2，n)或存在一个数k，使得aikbi(i1,2，n)时，等号成立3排序不等式设a1a2an，b1b2bn为两组实数，c1，c2，cn是b1，b2，bn的任一排列，则a1bna2bn1anb1a1c1a2c2ancna1b1a2b2anbn.类型一利用柯西不等式证明不等式例1已知a，b，c，d为不全相等的正数，求证：.证明由柯西不等式知，2，于是.等号成立abcd.又已知a，b，c，d不全相等，则中等号不成立即.反思与感悟利用柯西不等式证题的技巧(1)柯西不等式的一般形式为(aaa)(bbb)(a1b1a2b2anbn)2(ai，biR，i1,2，n)，形式简洁、美观、对称性强，灵活地运用柯西不等式，可以使一些较为困难的不等式的证明问题迎刃而解(2)利用柯西不等式证明其他不等式的关键是构造两组数，并向着柯西不等式的形式进行转化，运用时要注意体会跟踪训练1若n是不小于2的正整数，求证：1.证明12，所以求证式等价于.由柯西不等式，有(n1)(n2)2nn2，于是，又由柯西不等式，有.综上，1.类型二利用排序不等式证明不等式例2设A，B，C表示ABC的三个内角弧度数，a，b，c表示其对边，求证：.证明不妨设0abc，于是ABC.由排序不等式，得aAbBcCaAbBcC，aAbBcCbAcBaC，aAbBcCcAaBbC.相加，得3(aAbBcC)(abc)(ABC)(abc)，得.引申探究若本例条件不变，求证：.证明不妨设0abc，于是ABC.由0bca,0abc,0acb，有0A(bca)C(abc)B(acb)a(BCA)b(ACB)c(ABC)a(2A)b(2B)c(2C)(abc)2(aAbBcC)得.反思与感悟利用排序不等式证明不等式的策略(1)在利用排序不等式证明不等式时，首先考虑构造出两个合适的有序数组，并能根据需要进行恰当地组合这需要结合题目的已知条件及待证不等式的结构特点进行合理选择(2)根据排序不等式的特点，与多变量间的大小顺序有关的不等式问题，利用排序不等式解决往往很简捷跟踪训练2设a，b，c为正数，求证：a10b10c10.证明由a，b，c的对称性，不妨设abc，于是a12b12c12，.由排序不等式，得.又因为a11b11c11，再次由排序不等式，得.由得a10b10c10.类型三利用柯西不等式或排序不等式求最值例3(1)求实数x，y的值使得(y1)2(xy3)2(2xy6)2达到最小值(1)解由柯西不等式，得(122212)(y1)2(3xy)2(2xy6)21(y1)2(3xy)1(2xy6)21，即(y1)2(xy3)2(2xy6)2，当且仅当，即x，y时，上式取等号故x，y.(2)设a1，a2，a3，a4，a5是互不相同的正整数，求Ma1的最小值解设b1，b2，b3，b4，b5是a1，a2，a3，a4，a5的一个排列，且b1b2b3b4b5.因此b11，b22，b33，b44，b55.又1.由排序不等式，得a1b11123451.即M的最小值为.反思与感悟利用柯西或排序不等式求最值的技巧(1)有关不等式问题往往要涉及对式子或量的范围的限定，其中含有多变量限制条件的最值问题往往难以处理在这类题目中，利用柯西不等式或排序不等式处理往往比较容易(2)在利用柯西不等式或排序不等式求最值时，要关注等号成立的条件，不能忽略跟踪训练3已知正数x，y，z满足xyzxyz，且不等式恒成立，求的取值范围解.故的取值范围是.1函数y2的最大值为()A.BC3D3答案D解析y2(1)2()212()2()2339.y3，y的最大值为3.2已知实数a，b，c，d满足abcd3，a22b23c26d25，则a的最大值是()A1B2C3D4答案B解析(2b23c26d2)(bcd)2，即2b23c26d2(bcd)2.5a2(3a)2.解得1a2.验证：当a2时，等号成立3已知2x3y4z10，则x2y2z2取到最小值时的x，y，z的值为()A.，B.，C1，D1，答案B解析由柯西不等式得(223242)(x2y2z2)(2x3y4z)2，即x2y2z2.当且仅当时，等号成立，所以联立可得x，y，z.4设a，b，c都是正数，求证：abc.证明不妨设abc0，则，abacbc，abc，abc.1对于柯西不等式要特别注意其向量形式的几何意义，从柯西不等式的几何意义出发就得到了三角形式的柯西不等式，柯西不等式的一般形式也可以写成向量形式2参数配方法是由旧知识得到的新方法，注意体会此方法的数学思想3对于排序不等式要抓住它的本质含义：两实数序列同方向单调(同时增或同时减)时所得两两乘积之和最大，反方向单调(一增一减)时所得两两乘积之和最小，注意等号成立条件是其中一序列为常数序列4数学建模是数学学习中的一种新形式，它为学生提供了自己学习的空间，有助于学生了解数学在实际生活中的应用，体会数学与日常生活及其他学科的联系一、选择题1已知a，b是给定的正数，则的最小值为()A2a2b2B2abC(2ab)2D4ab答案C解析(sin2cos2)2(2ab)2，当且仅当sin cos时，等号成立故的最小值为(2ab)2.2已知a，b，c为正数且abc3，则的最小值为()A4B4C6D6答案C解析a，b，c为正数，ab.同理bc，ca，相加得()2(bca)6，即6，当且仅当abc时取等号3已知(x1)2(y2)24，则3x4y的最大值为()A21B11C18D28答案A解析根据柯西不等式，得(x1)2(y2)232423(x1)4(y2)2(3x4y11)2，(3x4y11)2100.可得3x4y21，当且仅当时取等号4已知x，y，z是非负实数，若9x212y25z29，则函数u3x6y5z的最大值是()A9B10C14D15答案A解析(3x6y5z)212()2()2(3x)2(2y)2(z)29(9x212y25z2)81，当且仅当3x2yz时，等号成立故u3x6y5z的最大值为9.5已知x，y，zR，且1，则x的最小值为()A5B6C8D9答案D解析由柯西不等式知，(111)29，因为1，所以x9.即x的最小值为9.6设c1，c2，cn是a1，a2，an的某一排列(a1，a2，an均为正数)，则的最小值是()AnB.C.D2n答案A解析不妨设a1a2an0，则，由排序不等式知，a1a2ann.二、填空题7设a，b，c，d，m，nR，P，Q，则P，Q的大小关系为_答案PQ解析由柯西不等式得PQ，当且仅当时，等号成立，PQ.8设x，y，zR，若x2y2z24，则x2y2z的最小值为_答案6解析由柯西不等式，得(x2y2z2)12(2)222(x2y2z)2，故(x2y2z)24936.当且仅当k，k时，上式取得等号，当k时，x2y2z取得最小值6.9已知点P是边长为2的等边三角形内一点，它到三边的距离分别为x，y，z，则x，y，z所满足的关系式为_，x2y2z2的最小值是_答案xyz33解析利用三角形面积相等，得2(xyz)(2)2，即xyz3.由(111)(x2y2z2)(xyz)29，得x2y2z23，当且仅当xyz1时取等号10若a，b，cR，设xa3b3c3，ya2bb2cc2a，则x，y的大小关系为_答案xy解析取两组数a，b，c；a2，b2，c2.不管a，b，c的大小顺序如何，a3b3c3都是顺序和，a2bb2cc2a都是乱序和，a3b3c3a2bb2cc2a.三、解答题11(2018江苏)若x，y，z为实数，且x2y2z6，求x2y2z2的最小值解由柯西不等式，得(x2y2z2)(122222)(x2y2z)2.因为x2y2z6，所以x2y2z24，当且仅当时，不等式取等号，此时x，y，z，所以x2y2z2的最小值为4.12已知a，b，c为正数，求证：abc.证明考虑到正数a，b，c的对称性，不妨设abc0，则，bccaab，由排序不等式知，顺序和乱序和，即abc.a，b，c为正数，两边同乘以，得abc.13设a，b，c，dR，令S，求证：1S2.证明首先证明(ab0，m0)因为0，所以S2，所以S2.又S1，所以1S2.四、探究与拓展14已知5a23b2，则a22abb2的最大值为_答案1解析(a)2(b)22(ab)2a22abb2，当且仅当5a3b，即a，b时取等号(5a23b2)a22abb2.a22abb2(5a23b2)1.a22abb2的最大值为1.15已知a，b，c均为实数，且abc22m0，a2b2c2m10.(1)求证：a2b2c2；(2)求实数m的取值范围(1)证明由柯西不等式得(122232)(abc)2，当且仅当abc时，等号成立，即14(abc)2，a2b2c2.(2)解由已知得abc2m2，a2b2c21m，由(1)可知，14(1m)(2m2)2，即2m23m50，解得m1.又a2b2c21m0，m1，m1.即实数m的取值范围为.
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