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单元质检九解析几何(时间:100分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.(2018全国,文4)已知椭圆C:x2a2+y24=1的一个焦点为(2,0),则C的离心率为()A.13B.12C.22D.223答案C解析因为椭圆C的一个焦点为(2,0),所以其焦点在x轴上,c=2,所以a2-4=c2,所以a2=8,a=22,所以椭圆C的离心率e=ca=22.2.到直线3x-4y+1=0的距离为3,且与此直线平行的直线方程是()A.3x-4y+4=0B.3x-4y+4=0或3x-4y-2=0C.3x-4y+16=0D.3x-4y+16=0或3x-4y-14=0答案D解析设所求直线方程为3x-4y+m=0,由|m-1|5=3,解得m=16或m=-14.即所求直线方程为3x-4y+16=0或3x-4y-14=0.3.与圆x2+(y-2)2=1相切,且在两坐标轴上截距相等的直线共有()A.2条B.3条C.4条D.6条答案C解析过原点与圆x2+(y-2)2=1相切的直线有2条;斜率为-1且与圆x2+(y-2)2=1相切的直线也有2条,且此两条切线不过原点,由此可得与圆x2+(y-2)2=1相切,且在两坐标轴上截距相等的直线共有4条.4.若双曲线的顶点和焦点分别为椭圆x22+y2=1的焦点和顶点,则该双曲线的方程为()A.x2-y2=1B.x22-y2=1C.x2-y22=1D.x23-y22=1答案A解析椭圆x22+y2=1的焦点位于x轴,且a2=2,b2=1,c2=a2-b2=1,据此可知,椭圆的焦点坐标为(1,0),x轴上的顶点坐标为(2,0),结合题意可知,双曲线的焦点位于x轴,且c=2,a=1,b=1,则该双曲线方程为x2-y2=1.5.已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)与双曲线x2m2-y2n2=1(m0,n0)有相同的焦点(-c,0)和(c,0),若c是a,m的等比中项,n2是2m2与c2的等差中项,则椭圆的离心率是()A.33B.22C.14D.12答案D解析由题意可知2n2=2m2+c2,又m2+n2=c2,所以m=c2.因为c是a,m的等比中项,所以c2=am,代入m=c2,解得e=ca=12.6.过点A(0,3),被圆(x-1)2+y2=4截得的弦长为23的直线方程是()A.y=-43x+3B.x=0或y=-43x+3C.x=0或y=43x+3D.x=0答案B解析当弦所在的直线斜率不存在时,即弦所在直线方程为x=0;此时被圆(x-1)2+y2=4截得的弦长为23.当弦所在的直线斜率存在时,设弦所在直线l的方程为y=kx+3,即kx-y+3=0.因为弦长为23,圆的半径为2,所以弦心距为22-(3)2=1.由点到直线距离公式得|k+3|k2+(-1)2=1,解得k=-43.综上所述,所求直线方程为x=0或y=-43x+3.7.(2018吉林长春第二次质量监测)已知椭圆x24+y23=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F2且垂直于长轴的直线交椭圆于A,B两点,则ABF1内切圆的半径为()A.43B.1C.45D.34答案D解析由x24+y23=1得a=2,c=1,根据椭圆的定义可知ABF1的周长为4a=8,ABF1的面积为12|F1F2|yA-yB|=1223=3=128r,解得r=34,故选D.8.(2018山东德州期末)若双曲线的中心为原点,F(0,-2)是双曲线的焦点,过F的直线l与双曲线相交于M,N两点,且MN的中点为P(3,1),则双曲线的方程为()A.x23-y2=1B.y2-x23=1C.y23-x2=1D.x2-y23=1答案B解析由题意设该双曲线的标准方程为y2a2-x2b2=1(a0,b0),M(x1,y1),N(x2,y2),则y12a2-x12b2=1,且y22a2-x22b2=1,则(y1+y2)(y1-y2)a2=(x1+x2)(x1-x2)b2,即2(y1-y2)a2=6(x1-x2)b2,则y1-y2x1-x2=6a22b2=1-(-2)3-0=1,即b2=3a2,则c2=4a2=4,所以a2=1,b2=3,即该双曲线的方程为y2-x23=1.故选B.9.设双曲线x2a2-y2b2=1的两条渐近线与直线x=a2c分别交于A,B两点,F为该双曲线的右焦点.若60AFB90,则该双曲线的离心率的取值范围是()A.(1,2)B.(2,2)C.(1,2)D.(2,+)答案B解析双曲线x2a2-y2b2=1的两条渐近线方程为y=bax,当x=a2c时,y=abc,所以不妨令Aa2c,abc,Ba2c,-abc.因为60AFB90,所以33kFB1,即33abcc-a2c1,即33ab1.所以13a2c2-a21,即1e2-13,故2e0)与双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的两条渐近线分别交于两点A,B(A,B异于原点),抛物线的焦点为F.若双曲线的离心率为2,|AF|=7,则p=()A.3B.6C.12D.42答案B解析因为双曲线的离心率为2,所以e2=c2a2=a2+b2a2=4,即b2=3a2,所以双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的两条渐近线方程为y=3x,代入y2=2px(p0),得x=23p或x=0,故xA=xB=23p.又因为|AF|=xA+p2=23p+p2=7,所以p=6.12.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦点为F,短轴的一个端点为M,直线l:3x-4y=0交椭圆E于A,B两点.若|AF|+|BF|=4,点M到直线l的距离不小于45,则椭圆E的离心率的取值范围是()A.0,32B.0,34C.32,1D.34,1答案A解析如图,取椭圆的左焦点F1,连接AF1,BF1.由椭圆的对称性知四边形AF1BF是平行四边形,则|AF|+|BF|=|AF1|+|AF|=2a=4.故a=2.不妨设M(0,b),则|30-4b|32+(-4)245,即b1.所以e=ca=1-ba21-122=32.因为0e1,所以00).又直线被抛物线截得的线段长为4,所以4a=4,即a=1.所以抛物线的焦点坐标为(1,0).14.在平面直角坐标系xOy中,双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右支与焦点为F的抛物线x2=2py(p0)交于A,B两点,若|AF|+|BF|=4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为.答案y=22x解析抛物线x2=2py的焦点F0,p2,准线方程为y=-p2.设A(x1,y1),B(x2,y2),则|AF|+|BF|=y1+p2+y2+p2=y1+y2+p=4|OF|=4p2=2p.所以y1+y2=p.联立双曲线与抛物线方程得x2a2-y2b2=1,x2=2py,消去x,得a2y2-2pb2y+a2b2=0.所以y1+y2=2pb2a2=p,所以b2a2=12.所以该双曲线的渐近线方程为y=22x.15.设抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,已知点C在l上,以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A,若FAC=120,则圆的方程为.答案(x+1)2+(y-3)2=1解析抛物线y2=4x的焦点F(1,0),准线l的方程为x=-1,由题意可设圆C的方程为(x+1)2+(y-b)2=1(b0),则C(-1,b),A(0,b).FAC=120,kAF=tan120=-3,直线AF的方程为y=-3x+3.点A在直线AF上,b=3.则圆的方程为(x+1)2+(y-3)2=1.16.若关于x,y的方程x24-t+y2t-1=1所表示的曲线C,给出下列四个命题:若C为椭圆,则1t4或t1;曲线C不可能是圆;若C表示椭圆,且长轴在x轴上,则1t0,t-10,且4-tt-1,解得1t4,且t52,所以不正确;若C为双曲线,则有(4-t)(t-1)4或tt-10,解得1t0).设抛物线W的焦点在直线AB的下方.(1)求k的取值范围;(2)设C为W上一点,且ABAC,过B,C两点分别作W的切线,记两切线的交点为D,判断四边形ABDC是否为梯形,并说明理由.解(1)抛物线y=x2的焦点为0,14.由题意,得直线AB的方程为y-1=k(x-1),令x=0,得y=1-k,即直线AB与y轴相交于点(0,1-k).因为抛物线W的焦点在直线AB的下方,所以1-k14,解得k0,所以0kb0)的右焦点为F(2,0),以原点O为圆心,OF为半径的圆与椭圆在y轴右侧交于A,B两点,且AOB为正三角形.(1)求椭圆方程;(2)过圆外一点M(m,0)(ma),作倾斜角为56的直线l交椭圆于C,D两点,若点F在以线段CD为直径的圆E的内部,求m的取值范围.解(1)AOB为正三角形,且A,B关于x轴对称,OF=2,OA=OF=2.yA=1,xA=3,即点A(3,1),3a2+1b2=1,又c=2,解得a2=6,b2=2,故椭圆方程为x26+y22=1.(2)易知直线l:y=-33(x-m)(m6),联立x26+y22=1,y=-33(x-m)消去y得2x2-2mx+m2-6=0,由0,得4m2-8(m2-6)0,即-23m23.设C(x1,y1),D(x2,y2),则x1+x2=m,x1x2=m2-62,y1y2=-33(x1-m)-33(x2-m)=13x1x2-m3(x1+x2)+m23.又FC=(x1-2,y1),FD=(x2-2,y2),则FCFD=(x1-2)(x2-2)+y1y2=43x1x2-m+63(x1+x2)+m23+4=43m2-62-m+63m+m23+4=2m(m-3)3,F在圆E的内部,FCFD0,2m(m-3)30,解得0m3,又6m23,6m0),p2=2,解得p=4.抛物线E的方程为y2=8x.(2)2|BC|是|AB|与|CD|的等差中项,|BC|=2r,|AB|+|CD|=4|BC|=42r=8.|AD|=|AB|+|BC|+|CD|=10.讨论:若l垂直于x轴,则l的方程为x=2,代入y2=8x,解得y=4.此时|AD|=8,不满足题意;若l不垂直于x轴,则设l的斜率为k(k0),此时l的方程为y=k(x-2),由y=k(x-2),y2=8x,得k2x2-(4k2+8)x+4k2=0.设A(x1,y1),D(x2,y2),则x1+x2=4k2+8k2.抛物线E的准线方程为x=-2,|AD|=|AF|+|DF|=(x1+2)+(x2+2)=x1+x2+4,4k2+8k2+4=10,解得k=2.当k=2时,k2x2-(4k2+8)x+4k2=0化为x2-6x+4=0.(-6)2-4140,x2-6x+4=0有两个不相等实数根.k=2满足题意.存在满足要求的直线l:2x-y-4=0或2x+y-4=0.22.(12分)已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左焦点为F(-c,0),右顶点为A,点E的坐标为(0,c),EFA的面积为b22.(1)求椭圆的离心率;(2)设点Q在线段AE上,|FQ|=32c,延长线段FQ与椭圆交于点P,点M,N在x轴上,PMQN,且直线PM与直线QN间的距离为c,四边形PQNM的面积为3c.求直线FP的斜率;求椭圆的方程.解(1)设椭圆的离心率为e.由已知,可得12(c+a)c=b22.又由b2=a2-c2,可得2c2+ac-a2=0,即2e2+e-1=0.又因为0e0),则直线FP的斜率为1m.由(1)知a=2c,可得直线AE的方程为x2c+yc=1,即x+2y-2c=0,与直线FP的方程联立,可解得x=(2m-2)cm+2,y=3cm+2,即点Q的坐标为(2m-2)cm+2,3cm+2.由已知|FQ|=32c,有(2m-2)cm+2+c2+3cm+22=3c22,整理得3m2-4m=0,所以m=43,即直线FP的斜率为34.由a=2c,可得b=3c,故椭圆方程可以表示为x24c2+y23c2=1.由得直线FP的方程为3x-4y+3c=0,与椭圆方程联立3x-4y+3c=0,x24c2+y23c2=1,消去y,整理得7x2+6cx-13c2=0,解得x=-13c7(舍去)或x=c.因此可得点Pc,3c2,进而可得|FP|=(c+c)2+3c22=5c2,所以|PQ|=|FP|-|FQ|=5c2-3c2=c.由已知,线段PQ的长即为PM与QN这两条平行直线间的距离,故直线PM和QN都垂直于直线FP.因为QNFP,所以|QN|=|FQ|tanQFN=3c234=9c8,所以FQN的面积为12|FQ|QN|=27c232,同理FPM的面积等于75c232,由四边形PQNM的面积为3c,得75c232-27c232=3c,整理得c2=2c,又由c0,得c=2.所以,椭圆的方程为x216+y212=1.
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