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课时分层作业 十二函数模型及其应用一、选择题(每小题5分,共25分)1.在某种新型材料的研制中,实验人员获得了下列一组实验数据:x1.99345.16.12y1.54.047.51218.01现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律,其中最接近的一个是()A.y=2x-2B.y=(x2-1)C.y=log3xD.y=2x-2【解析】选B.把表格中的数据代入选择项的解析式中,易得最接近的一个函数是y=(x2-1).2.某电视新产品投放市场后第一个月销售100台,第二个月销售200台,第三个月销售400台,第四个月销售790台,则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数x之间关系的是()A.y=100xB.y=50x2-50x+100C.y=502xD.y=100log2x+100【解析】选C.根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知,应为指数型函数模型,代入数据验证即可得.3.某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系是y=3 000+ 20x-0.1x2(0x0),小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20分钟,在乙地休息10分钟后,他又以匀速从乙地返回到甲地用了30分钟,则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为()【解析】选D.y为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移,故排除A,C.又因为小王在乙地休息10分钟,故排除B.5.根据统计,一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位:分钟)为f(x)=(A,c为常数).已知工人组装第4件产品用时30分钟,组装第A件产品用时15分钟,那么c和A的值分别是 ()A.75,25B.75,16C.60,25D.60,16【解析】选D.由函数解析式可以看出,组装第A件产品所需时间为=15,故组装第4件产品所需时间为=30,解得c=60,将c=60代入=15,得A=16.二、填空题(每小题5分,共15分)6.拟定甲、乙两地通话m分钟的电话费(单位:元)由f(m)=1.06(0.5m+1)给出,其中m0,m是不超过m的最大整数(如3=3,3.7=3,3.1=3),则甲、乙两地通话6.5分钟的电话费为_元.【解析】因为m=6.5,所以m=6,则f(m)=1.06(0.56+1)=4.24.答案:4.247.(2018唐山模拟)某人计划购买一辆A型轿车,售价为14.4万元,购买后轿车一年的保险费、汽油费、年检费、停车费等约需2.4万元,同时汽车年折旧率约为10%(即这辆车每年减少它的价值的10%),试问,大约使用_年后,花费在该车上的费用(含折旧费)达到14.4万元?【解析】设使用x年后花费在该车上的费用达到14.4万元,依题意可得,14.4(1-0.9x)+2.4x=14.4.化简得:x-60.9x=0,令f(x)=x-60.9x.因为f(3)=-1.3740,所以函数f(x)在(3,4)上应有一个零点.故大约使用4年后,花费在该车上的费用达到14.4万元.答案:48.某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储藏温度x(单位:)满足函数关系y=ekx+b(e=2.718为自然对数的底数,k,b为常数).若该食品在0 的保鲜时间是192小时,在22 的保鲜时间是48小时,则该食品在33 的保鲜时间是_小时.【解析】由 得e11k=.当x=33时,y=e33k+b=(e11k)3eb=192=24.答案:24三、解答题(每小题10分,共20分)9.某种出口产品的关税税率为t,市场价格x(单位:千元)与市场供应量p(单位:万件)之间近似满足关系式:p=,其中k,b均为常数.当关税税率t=75%时,若市场价格为5千元,则市场供应量为1万件;若市场价格为7千元,则市场供应量约为2万件.(1)试确定k,b的值.(2)市场需求量q(单位:万件)与市场价格x近似满足关系式:q=2-x,当p=q时,市场价格称为市场平衡价格,当市场平衡价格不超过4千元时,试确定关税税率的最大值.【解析】(1)由已知 解得b=5,k=1.(2)当p=q时,=2-x,所以(1-t)(x-5)2=-xt=1+=1+.而f(x)=x+在(0,4上单调递减,所以当x=4时,f(x)有最小值,故当x=4时,关税税率有最大值为500%.10.(2018衡水模拟)某企业生产A,B两种产品,根据市场调查与预测,A产品的利润与投资成正比,其关系如图1;B产品的利润与投资的算术平方根成正比,其关系如图2(注:利润和投资单位:万元).(1)分别将A,B两种产品的利润表示为投资的函数关系式.(2)已知该企业已筹集到18万元资金,并将全部投入A,B两种产品的生产.若平均投入生产两种产品,可获得多少利润?问:如果你是厂长,怎样分配这18万元投资,才能使该企业获得最大利润?其最大利润约为多少万元?【解析】(1)设A,B两种产品分别投资x万元,x万元,x0,所获利润分别为f(x)万元、g(x)万元.由题意可设f(x)=k1x,g(x)=k2.根据图象可解得f(x)=0.25x(x0).g(x)=2(x0).(2)由(1)得f(9)=2.25,g(9)=2=6.所以总利润y=8.25万元.设B产品投入x万元,A产品投入(18-x)万元,该企业可获总利润为y万元.则y=(18-x)+2,0x18.令=t,t0,3,则y=(-t2+8t+18)=-(t-4)2+.所以当t=4时,ymax =8.5,此时x=16,18-x=2.所以当A,B两种产品分别投入2万元、16万元时,可使该企业获得最大利润,约为8.5万元.1.(5分)2005年至2017年某市电影放映场次(单位:万次)的情况如图所示,下列函数模型中,最不适合近似描述这13年间电影放映场次逐年变化规律的是 ()A.f(x)=ax2+bx+cB.f(x)=aex+b C.f(x)=eax+b D.f(x)=aln x+b【解析】选D.由题可得,这13年间电影放映场次逐年变化的规律是随着x的增大,f(x)逐渐增大,图象逐渐上升.对于A,f(x)=ax2+bx+c,取a0,-0,b0,可得满足条件的函数;对于C,取a0,b0,可得满足条件的函数;对于D,a0时,为“上凸函数”,不符合图象的特征,当a0时,为单调递减函数,不符合图象的特征,当a=0时,显然不满足.2.(5分)(2018秦皇岛模拟)某地区要建造一条防洪堤,其横断面为等腰梯形,腰与底边夹角为60(如图),考虑防洪堤坚固性及石块用料等因素,设计其横断面要求面积为9平方米,且高度不低于米.记防洪堤横断面的腰长为x米,外周长(梯形的上底线段BC与两腰长的和)为y米.要使防洪堤横断面的外周长不超过10.5米,则其腰长x的范围为()A.2,4B.3,4C.2,5D.3,5【解析】选B.根据题意知,9=(AD+BC)h,其中AD=BC+2=BC+x,h=x,所以9=(2BC+x)x,得BC=-,由得2x6.所以y=BC+2x=+(2x6),由y=+10.5,解得3x4.因为3,42,6),所以腰长x的范围为3,4.3.(5分)已知甲、乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所示.假设某商人持有资金120万元,他可以在t1至t4的任意时刻买卖这两种商品,且买卖能够立即成交(其他费用忽略不计).如果他在t4时刻卖出所有商品,那么他将获得的最大利润是_.【解析】甲6元时该商人全部买入甲商品,可以买1206=20(万份),在t2时刻全部卖出,此时获利202=40(万元),乙4元时该商人买入乙商品,可以买(120+40)4=40(万份),在t4时刻全部卖出,此时获利402=80(万元),共获利40+80=120(万元).答案:120万元4.(12分)(2018锦州模拟)“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明:“活水围网”养鱼时,某种鱼在一定的条件下,每尾鱼的平均生长速度v(单位:千克/年)是养殖密度x(单位:尾/立方米)的函数.当x不超过4尾/立方米时,v的值为2千克/年;当4x20时,v是x的一次函数,当x达到20尾/立方米时,因缺氧等原因,v的值为0千克/年. (1)当0x20时,求函数v关于x的函数解析式.(2)当养殖密度x为多大时,鱼的年生长量(单位:千克/立方米)可以达到最大?并求出最大值.【解析】(1)由题意得当0x4时,v=2;当4x20时,设v=ax+b,显然v=ax+b在(4,20内是减函数,由已知得解得所以v=-x+,故函数v=(2)设年生长量为f(x)千克/立方米,依题意并由(1)可得f(x)=当0x4时,f(x)为增函数,故f(x)max =f(4)=42=8;当4x20时,f(x)=-x2+x=-(x2-20x)=-(x-10)2+,f(x)max =f(10)=12.5.所以当01). (1)为准确研究其价格走势,应选哪种价格模拟函数(不必说明理由)?(2)若f(0)=4,f(2)=6.求出所选函数f(x)的解析式(注:函数定义域是0,5,其中x=0表示8月1日,x=1表示9月1日,以此类推);为保证养殖户的经济效益,当地政府计划在价格下跌期间积极拓宽外销,请你预测该海鲜将在哪几个月内价格下跌.【解析】 (1)因为上市初期和后期价格呈持续上涨态势,而中期又将出现价格连续下跌,所以在所给出的函数中应选模拟函数f(x)=x(x-q)2+p.(2)对于f(x)=x(x-q)2+p,由f(0)=4,f(2)=6,可得p=4,(2-q)2=1,又q1,所以q=3,所以f(x)=x3-6x2+9x+4(0x5).因为f(x)=x3-6x2+9x+4(0x5),所以f(x)=3x2-12x+9,令f(x)0,得1x3.所以函数f(x)在(1,3)内单调递减,所以可以预测这种海鲜将在9月、10月两个月内价格下跌.
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