资源描述
第2讲计数原理、随机变量、数学归纳法考情考向分析1.考查分类计数原理、分步计数原理与排列、组合的简单应用，B级要求. 2.考查n次独立重复试验的模型及二项分布、离散型随机变量的数学期望与方差，B级要求.3.考查数学归纳法的简单应用，B级要求热点一 计数原理与二项式定理例1(2018苏州调研)已知fn(x)n，nN*.(1)当a1时，求f5(x)展开式中的常数项；(2)若二项式fn(x)的展开式中含有x7的项，当n取最小值时，展开式中含x的正整数次幂的项的系数之和为10，求实数a的值解二项式n的展开式通项为Tr1CnrrC(3a)rx2n5r (r0,1,2，n)，(1)当n5，a1时，f(x)的展开式的常数项为T39C90.(2)令2n5r7，则rN，所以n的最小值为6，当n6时，二项式6的展开式通项为Tr1C(3a)rx125r (r0,1,2，6)，则展开式中含x的正整数次幂的项为T1，T2，T3，它们的系数之和为CC(3a)C(3a)2135a218a110，即15a22a10，解得a或.思维升华涉及二项式定理的试题要注意以下几个方面：(1)某一项的二项式系数与这一项的系数是两个不同的概念，必须严格加以区别(2)根据所给式子的结构特征，对二项式定理的逆用或变用，注意活用二项式定理是解决二项式问题应具备的基本素质(3)关于x的二项式(abx)n(a，b为常数)的展开式可以看成是关于x的函数，且当x给予某一个值时，可以得到一个与系数有关的等式，所以，当展开式涉及到与系数有关的问题时，可以利用函数思想来解决跟踪演练1(2018江苏丹阳高级中学期中)设n3，nN*，在集合的所有元素个数为2的子集中，把每个子集的较大元素相加，和记为a，较小元素之和记为b.(1)当n3时，求a，b的值；(2)求证：对任意的n3，nN*，为定值(1)解当n3时，集合的所有元素个数为2的子集为， ，所以a2338, b1124.(2)证明当n3，nN*时，依题意，b1C2C3C，a2C3C4CCnC 213243n.则CCCC CCCCCCCC，所以a2C.又ab(n1)(123n)3C，所以bC.故.热点二随机变量及其概率分布例2(2018南京师大附中考前模拟)如图，设P1，P2，P6为单位圆上逆时针均匀分布的六个点现任选其中三个不同点构成一个三角形，记该三角形的面积为随机变量S.(1)求S的概率；(2)求S的概率分布及数学期望E(S)解(1)从六个点中任选三个不同点构成一个三角形共有C种不同选法，其中S的为有一个角是30的直角三角形，(如P1P4P5)，共6212种，所以P.(2)S的所有可能取值为，.S的为顶角是120的等腰三角形(如P1P2P3)，共6种，所以P.S的为等边三角形(如P1P3P5)，共2种，所以P.又由(1)知P，故S的概率分布为SP所以E(S).思维升华求解一般的随机变量的数学期望的基本方法先根据随机变量的意义，确定随机变量可以取哪些值，然后根据随机变量取这些值的意义求出取这些值的概率，列出概率分布，根据数学期望公式计算跟踪演练2(2018南通、徐州、扬州等六市模拟)在某公司举行的年终庆典活动中，主持人利用随机抽奖软件进行抽奖：由电脑随机生成一张如图所示的33表格，其中1格设奖300元，4格各设奖200元，其余4格各设奖100元，点击某一格即显示相应金额某人在一张表中随机不重复地点击3格，记中奖的总金额为X元(1)求概率P；(2)求X的概率分布及数学期望E(X)解(1)从33表格中随机不重复地点击3格，共有C种不同情形，则事件“X600”包含两类情形：第一类是3格各得奖200元；第二类是1格得奖300元，一格得奖200元，一格得奖100元，其中第一类包含C种情形，第二类包含CCC种情形P.(2)X的所有可能值为300,400,500,600,700.则P，P，P，P(X600)，P.X的概率分布为X300400500600700PE300400500600700500.热点三数学归纳法例3(2018江苏姜堰、溧阳、前黄中学联考)已知数列满足anC，nN*.(1)求a1, a2, a3的值；(2)猜想数列的通项公式，并证明解(1)a12, a24, a38.(2)猜想： an2n(nN*)证明如下：当n1时，由(1)知结论成立； 假设当nk(kN*，k1)时结论成立，则有akC2k.则当nk1时，ak1C.由CCC得ak1C2k2k 2k.又CC，ak12k，于是ak12kak1.所以ak12k1,故nk1时结论也成立由得，an2n ，nN*.思维升华在数学归纳法中，归纳奠基和归纳递推缺一不可在较复杂的式子中，注意由nk到nk1时，式子中项数的变化应仔细分析，观察通项同时还应注意，不用假设的证法不是数学归纳法跟踪演练3(2018常州期末)记(n2且nN*)的展开式中含x项的系数为Sn，含x2项的系数为Tn.(1)求Sn；(2)若an2bnc对n2,3,4成立，求实数a，b，c的值；(3)对(2)中的实数a，b，c用数学归纳法证明：对任意n2且nN*, an2bnc都成立(1)解Sn .(2)解， ， ，则解得a， b， c，(3)证明当n2时，由(2)知等式成立；假设nk(kN*，且k2)时，等式成立，即k2k.当nk1时，由f(x)，知Tk1Sk Tk，所以 ，又2 ，等式也成立；综上可得，对任意n2且nN*，都有成立1(2018全国大联考江苏卷)(1)求4C7C(nk，且n，kN*)的值(2)设f(n)1C32C32nC3n(nN*)，求方程f(n)3 840的所有解解(1)因为4C435140, 7C720140，kCk nnC(nk，且n，kN*)所以4C7C1.(2)由(1)知kCnC对1kn，且n，kN*成立所以f(n)n(C3C32C3n)，所以f(n)3n(CC3C3n1)3n(13)n13n4n1(nN*)又因为 41，即f(n1)f(n)对nN*成立，所以f(n)是关于n(nN*)的递增函数又因为f(n)3 8403544f(5)，所以当且仅当n5时才满足条件，即n5是方程f(n)3 840的唯一解2(2018江苏)设nN*，对1,2，n的一个排列i1i2in，如果当st时，有isit，则称(is，it)是排列i1i2in的一个逆序，排列i1i2in的所有逆序的总个数称为其逆序数例如：对1,2,3的一个排列231，只有两个逆序(2,1)，(3,1)，则排列231的逆序数为2.记fn(k)为1,2，n的所有排列中逆序数为k的全部排列的个数(1)求f3(2)，f4(2)的值；(2)求fn(2)(n5)的表达式(用n表示)解(1)记(abc)为排列abc的逆序数，对1,2,3的所有排列，有(123)0，(132)1，(213)1，(231)2，(312)2，(321)3，所以f3(0)1，f3(1)f3(2)2.对1,2,3,4的排列，利用已有的1,2,3的排列，将数字4添加进去，4在新排列中的位置只能是最后三个位置因此，f4(2)f3(2)f3(1)f3(0)5.(2)对一般的n(n4)的情形，逆序数为0的排列只有一个：12n，所以fn(0)1.逆序数为1的排列只能是将排列12n中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，所以fn(1)n1.为计算fn1(2)，当1,2，n的排列及其逆序数确定后，将n1添加进原排列，n1在新排列中的位置只能是最后三个位置因此，fn1(2)fn(2)fn(1)fn(0)fn(2)n.当n5时，fn(2)fn(2)fn1(2)fn1(2)fn2(2)f5(2)f4(2)f4(2)(n1)(n2)4f4(2)，因此，当n5时，fn(2).3已知实数数列an满足：a13，an(an12)，n2.证明：当n2时，an是单调减数列证明当n1时，有an1anan(n3nan)下面用数学归纳法证明：an1(n2，nN*)(1)当n2时，a2(32)1；(2)假设当nk(kN*，k2)时，结论成立，即ak1.那么，ak1(ak2)11.故由(1)(2)知，an1(n2，nN*)因此，当n2，nN*时，an1an(n3nan)；当n3时，.猜测：当n2时，.以下用数学归纳法加以证明：当n2时，结论成立假设当nk(k2，kN*)时，则当nk1时，.由k3可知，3k27k30，即.综合，可得当n2时，.8设|，n为正整数，数列an的通项公式ansin tann，其前n项和为Sn.(1)求证：当n为偶数时，an0；当n为奇数时，an(1)tann. (2)求证：对任意正整数n，S2nsin 21(1)n1tan2n证明(1)因为ansin tann.当n为偶数时，设n2k(kN*)，ana2ksin tan2ksin ktan2k0，an0.当n为奇数时，设n2k1(kN*)，ana2k1sin tan2k1sintan2k1.当k2m(mN*)时，ana2k1sintan4m1sintan4m1tan4m1，此时2m1，ana2k1tan4m1(1)2m1tan4m1(1)tann.当k2m1(mN*)时，ana2k1sintan4m3sintan4m3tan4m3，此时2m2，ana2k1tan4m3(1)2m2tan4m3(1)tann.综上，当n为偶数时，an0；当n为奇数时，an(1)tann.(2)当n1时，由(1)得S2a1a2tan ，sin 21(1)n1tan2nsin 2(1tan2)sin cos tan .故当n1时，命题成立假设当nk(kN*，k1)时命题成立，即S2ksin 21(1)k1tan2k当nk1时，由(1)得S2(k1)S2ka2k1a2k2S2ka2k1sin 21(1)k1tan2k(1)ktan2k1sin 2sin 2sin 2sin 21(1)k2tan2k2即当nk1时命题成立综上所述，对正整数n，命题成立
展开阅读全文