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1.3.1推出与充分条件、必要条件学习目标1.理解充分条件、必要条件、充要条件的定义.2.会求某些简单问题成立的充分条件、必要条件、充要条件.3.能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明知识点一充分条件与必要条件1当命题“如果p，则q”经过推理证明判定为真命题时，我们就说，由p可推出q，记作pq，并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件这几种形式的表达，讲的是同一个逻辑关系，只是说法不同而已2若pq，但qp，称p是q的充分不必要条件，若qp，但pq，称p是q的必要不充分条件知识点二充要条件1一般地，如果pq，且qp，就记作pq，此时，我们说，p是q的充分且必要条件，简称充要条件p是q的充要条件，又常说成q当且仅当p，或p与q等价2从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件.若AB，则p是q的充分条件，若AB，则p是q的充分不必要条件若BA，则p是q的必要条件，若BA，则p是q的必要不充分条件若AB，则p，q互为充要条件若AB且BA，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件其中p：Ax|p(x)成立，q：Bx|q(x)成立1若p是q的充分条件，则p是唯一的()2“若p，则q”是真命题，而“若q，则p”是假命题，则p是q的充分不必要条件()3q不是p的必要条件时，“pq”成立()4若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题()5若p是q的充分不必要条件，则綈p是綈q的必要不充分条件()题型一充分、必要、充要条件的判断例1下列各题中，p是q的什么条件？(指充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要条件)(1)p：x1或x2，q：x1；(2)p：m0，q：x2xm0有实根；(3)p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形考点充要条件的概念及判断题点充要条件的判断解(1)因为x1或x2x1，x1x1或x2，所以p是q的充要条件(2)因为m0方程x2xm0的判别式14m0，即方程有实根，方程x2xm0有实根，即14m0m0，所以p是q的充分不必要条件(3)p是q的既不充分也不必要条件反思感悟充分条件、必要条件的两种常用的判断方法(1)定义法：确定谁是条件，谁是结论；尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件；尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件(2)命题判断法：如果命题：“若p，则q”为真命题，那么p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；如果命题：“若p，则q”为假命题，那么p不是q的充分条件，同时q也不是p的必要条件跟踪训练1下列各题中，试分别指出p是q的什么条件(1)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等；(2)p：f(x)x，q：f(x)在(，)上为增函数；(3)p：AB，q：ABA；(4)p：ab，q：acbc.考点充要条件的概念及判断题点充要条件的判断解(1)两个三角形相似两个三角形全等，但两个三角形全等两个三角形相似，p是q的必要不充分条件(2)f(x)xf(x)在(，)上为增函数，但f(x)在(，)上为增函数f(x)x，p是q的充分不必要条件(3)pq，且qp，p是q的充要条件(4)pq，且qp，p是q的既不充分也不必要条件题型二充分条件、必要条件、充要条件的应用命题角度1由充分条件、必要条件求参数范围例2已知p：2x10，q：1mx1m(m0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围考点充分、必要条件的综合应用题点由充分、必要条件求参数的范围解p：2x10，q：1mx1m(m0)因为p是q的必要不充分条件，所以q是p的充分不必要条件，即x|1mx1mx|2x10，故有或解得m3.又m0，所以实数m的取值范围为m|00)因为p是q的充分不必要条件，设p代表的集合为A，q代表的集合为B，所以AB.所以或解不等式组得m9或m9，所以m9，即实数m的取值范围是9，)2若本例中p，q不变，是否存在实数m使p是q的充要条件？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由解因为p：2x10，q：1mx1m(m0)若p是q的充要条件，则m不存在反思感悟由条件关系求参数的取值(范围)的步骤(1)根据条件关系建立条件构成的集合之间的关系(2)根据集合端点或数形结合列方程或不等式(组)求解跟踪训练2(1)“不等式(ax)(1x)0成立”的一个充分不必要条件是“2x1”，则实数a的取值范围是_考点充分、必要条件的综合应用题点由充分、必要条件求参数的范围答案(2，)解析不等式变形为(x1)(xa)0，因为当2x1时不等式成立，所以不等式的解集是axa，即a2.(2)已知Px|a4xa4，Qx|1xax对于一切实数x都成立的充要条件考点充要条件的概念及判断题点寻求充要条件解由题意可知，关于x的一元二次不等式ax21ax对于一切实数x都成立，等价于对于方程ax2ax10中，0a4.反思感悟求一个问题的充要条件，就是利用等价转化的思想，使得转化前后的两个命题所对应的解集是两个相同的集合，这就要求我们转化的时候思维要缜密跟踪训练3直线xym0与圆(x1)2(y1)22相切的充要条件是m_.考点充要条件的概念及判断题点寻求充要条件答案4或0解析由题意知，直线与圆相切等价于圆心(1,1)到直线xym0的距离等于半径，即，得m4或0.充要条件的证明典例求证：一元二次方程ax2bxc0有一正根和一负根的充要条件是ac0.证明充分性(由ac0推证方程有一正根和一负根)，ac0，原方程一定有两不等实根，不妨设为x1，x2，则x1x20，原方程的两根异号，即一元二次方程ax2bxc0有一正根和一负根必要性(由方程有一正根和一负根推证ac0)，一元二次方程ax2bxc0有一正根和一负根，不妨设为x1，x2，由根与系数的关系得x1x20，即ac0，满足原方程有两个不等实根综上可知，一元二次方程ax2bxc0有一正根和一负根的充要条件是ac0.素养评析(1)一般地，证明“p成立的充要条件为q”时，在证充分性时应以q为“已知条件”，p是该步中要证明的“结论”，即qp；证明必要性时则是以p为“已知条件”，q为该步中要证明的“结论”，即pq.(2)通过论证数学命题，学会有逻辑地思考问题，探索和表述论证过程，能很好的提升学生的逻辑思维品质1“2x1或x1”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C既不充分也不必要条件D充要条件答案C解析2x1或x1或x12x1，“2x1或x1”的既不充分也不必要条件2设命题p：x23x20，q：0，则p是q的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案A解析命题p：1x2；命题q：1x2，故p是q的充分不必要条件3“0”是“sin0”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案A解析由于当“0”时，一定有“sin0”成立，反之不成立，所以“0”是“sin0”的充分不必要条件4记不等式x2x60的解集为集合A，函数ylg(xa)的定义域为集合B.若“xA”是“xB”的充分条件，则实数a的取值范围为_答案(，3解析由于Ax|x2x60x|3xa，而“xA”是“xB”的充分条件，则有AB，则有a3.5“a0”是“直线l1：x2ay10与l2：2x2ay10平行”的_条件答案充要解析(1)a0，l1：x10，l2：2x10，l1l2，即a0l1l2.(2)若l1l2，当a0时，l1：yx，l2：yx.令，方程无解当a0时，l1：x10，l2：2x10，显然l1l2.a0是直线l1与l2平行的充要条件充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件反映了条件p和结论q之间的因果关系，在结合具体问题进行判断时，常采用如下方法：(1)定义法：分清条件p和结论q，然后判断“pq”及“qp”的真假，根据定义下结论(2)等价法：将命题转化为另一个与之等价的又便于判断真假的命题(3)集合法：写出集合Ax|p(x)及集合Bx|q(x)，利用集合之间的包含关系加以判断.一、选择题1“ab0”是“直线axbyc0与两坐标轴都相交”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案C解析ab0，即a0且b0，此时直线axbyc0与两坐标轴都相交；又当axbyc0与两坐标轴都相交时，a0且b0.2下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的充分条件的命题个数为()若f(x)是周期函数，则f(x)sinx；若x5，则x2；若x290，则x3.A0B1C2D3答案B解析中，周期函数还有很多，如ycosx，所以中p不是q的充分条件；很明显中p是q的充分条件；中，当x290时，x3或x3，所以中p不是q的充分条件所以p是q的充分条件的命题的个数为1，故选B.3已知向量a，b为非零向量，则“ab”是“|ab|ab|”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案C解析|ab|2|ab|2a2b22aba2b22abab0.4已知圆O：x2y21，直线l：axbyc0，则a2b2c2是圆O与直线l相切的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案C解析由直线与圆相切得1，即a2b2c2；a2b2c2时也有1成立，即直线与圆相切5若a，b，c是常数，则“a0且b24ac0”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案A解析当a0且b24ac0成立，即充分性成立反之，则不一定成立如当a0，b0，且c0时，对任意xR，ax2bxc0成立综上，“a0且b24ac0”的充分不必要条件6设函数f(x)|log2x|，则f(x)在区间(m,2m1)(m0)内不是单调函数的充要条件是()A0mB0m1C.m1答案B解析f(x)f(x)的图象在(0,1)内单调递减，在(1，)内单调递增f(x)在(m,2m1)(m0)上不是单调函数等价于0m0和a2x2b2xc20的解集分别是集合M和N，那么“”是“MN”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案D解析若0，则MN，即MN；反之，若MN，即两个一元二次不等式的解集为空集时，只要求判别式10，20(a10，a20)，而与系数之比无关二、填空题9设nN，一元二次方程x24xn0有整数根的充要条件是n_.答案3或4解析由于方程有整数根，由判别式164n0.得1n4，逐个分析，当n1,2时，方程没有整数解；而当n3时，方程有正整数解1,3；当n4时，方程有正整数解2.故n3或4.10设p：1x4，q：xb”是“3a3b”的充分不必要条件；“”是“cosb”是“3a3b”的充要条件，故错误；2，cos2cos，cos cos ；cos cos 2，2，cos .“”是“coscos”的既不充分也不必要条件，故错误；“a0”是“函数f(x)x3ax2(xR)为奇函数”的充要条件，正确三、解答题12已知条件p：Ax|2axa21，条件q：Bx|x23(a1)x2(3a1)0，若p是q的充分条件，求实数a的取值范围解化简Bx|(x2)x(3a1)0，当a时，Bx|2x3a1；当a0，q：xa(a为实数)若綈q的一个充分不必要条件是綈p，则实数a的取值范围是_答案1，)解析将x22x30化为(x1)(x3)0，所以p：x1或x0两种情况，当xy0时，不妨设x0，得|xy|y|，|x|y|y|，等式成立当xy0，即x0，y0或x0，y0，y0时，|xy|xy，|x|y|xy，等式成立当x0，y0时，|xy|(xy)，|x|y|xy(xy)，等式成立总之，当xy0时，|xy|x|y|成立必要性：若|xy|x|y|且x，yR，得|xy|2(|x|y|)2，即x22xyy2x2y22|x|y|，|xy|xy，xy0.综上可知，xy0是等式|xy|x|y|成立的充要条件
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