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第二章 推理与证明章末复习学习目标1.理解合情推理与演绎推理的区别与联系，会利用归纳与类比推理进行简单的推理.2.加深对直接证明和间接证明的认识，会应用其解决一些简单的问题1合情推理(1)归纳推理：由部分到整体、由个别到一般的推理(2)类比推理：由特殊到特殊的推理(3)合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理2演绎推理(1)演绎推理：由一般到特殊的推理(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：大前提已知的一般原理小前提所研究的特殊情况结论根据一般原理，对特殊情况作出的判断3直接证明和间接证明(1)直接证明的两类基本方法是综合法和分析法综合法是从已知条件推出结论的证明方法分析法是从结论追溯到条件的证明方法(2)间接证明的一种方法是反证法，是从结论反面成立出发，推出矛盾的方法1归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确()2“所有3的倍数都是9的倍数，某数m是3的倍数，则m一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的()3综合法是直接证明，分析法是间接证明()4反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾()类型一合情推理的应用例1(1)有一个奇数列1,3,5,7,9，现在进行如下分组：第一组含一个数1；第二组含两个数3,5；第三组含三个数7,9,11；第四组含四个数13,15,17,19；，试观察每组内各数之和并猜想f(n)(nN)与组的编号数n的关系式为_答案f(n)n3解析由于113，35823，79112733，131517196443，猜想第n组内各数之和f(n)与组的编号数n的关系式为f(n)n3.(2)在平面几何中，对于RtABC，ACBC，设ABc，ACb，BCa，则a2b2c2；cos2Acos2B1；RtABC的外接圆半径为r.把上面的结论类比到空间写出相类似的结论；试对其中一个猜想进行证明解选取3个侧面两两垂直的四面体作为直角三角形的类比对象设3个两两垂直的侧面的面积分别为S1，S2，S3，底面面积为S，则SSSS2.设3个两两垂直的侧面与底面所成的角分别为，则cos2cos2cos21.设3个两两垂直的侧面形成的侧棱长分别为a，b，c，则这个四面体的外接球的半径为R.下面对的猜想进行证明如图在四面体ABCD中，AB，AC，AD两两垂直，平面ABC，平面ABD，平面ACD为三个两两垂直的侧面设ABa，ACb，ADc，则在RtABC中，BC，SRtABCab.同理，CD，SRtACDbc.BD，SRtABDac.SBCD.经检验，SSSS.即所证猜想为真命题反思与感悟(1)归纳推理中有很大一部分题目是数列内容，通过观察给定的规律，得到一些简单数列的通项公式是数列中的常见方法(2)类比推理重在考查观察和比较的能力，题目一般情况下较为新颖，也有一定的探索性跟踪训练1如图是由火柴棒拼成的图形，第n个图形由n个正方形组成通过观察可以发现：第4个图形中有_根火柴棒；第n个图形中有_根火柴棒考点归纳推理的应用题点归纳推理在图形中的应用答案133n1解析设第n个图形中火柴棒的根数为an，可知a413.通过观察得到递推关系式anan13(n2，nN)，所以an3n1.类型二综合法与分析法例2试用分析法和综合法分别推证下列命题：已知(0，)，求证：2sin 2.考点分析法和综合法的综合应用题点分析法和综合法的综合应用证明分析法要证2sin 2成立，只需证4sin cos ，(0，)，sin 0，只需证4cos ，1cos 0，4cos (1cos )1，可变形为4cos24cos 10，只需证(2cos 1)20，显然成立综合法4(1cos )4，当且仅当cos ，即时取等号，4cos .(0，)，sin 0，4sin cos ，2sin 2.反思与感悟分析法和综合法是两种思路相反的推理方法：分析法是倒溯，综合法是顺推，二者各有优缺点分析法容易探路，且探路与表述合一，缺点是表述易错；综合法条件清晰，易于表述，因此对于难题常把二者交互运用，互补优缺，形成分析综合法，其逻辑基础是充分条件与必要条件跟踪训练2设a0，b0，ab1，求证：8.试用综合法和分析法分别证明证明(综合法)因为a0，b0，ab1，所以1ab2，ab，所以4.又(ab)24，所以8(当且仅当ab时等号成立)(分析法)因为a0，b0，ab1，要证8，只需证8，只需证8，即证4.也就是证4.即证2，由基本不等式可知，当a0，b0时，2恒成立，所以原不等式成立类型三反证法例3已知数列an的前n项和为Sn，且满足anSn2.(1)求数列an的通项公式；(2)求证：数列an中不存在三项按原来顺序成等差数列(1)解当n1时，a1S12a12，则a11.又anSn2，所以an1Sn12，两式相减得an1an，所以an是首项为1，公比为的等比数列，所以an(nN)(2)证明假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为ap1，aq1，ar1(pqr，且p，q，rN)，则2，所以22rq2rp1.(*)又因为pq2，求证：2或2中至少有一个成立证明假设2和0且y0，所以1x2y且1y2x，两式相加，得2xy2x2y，所以xy2.这与已知xy2矛盾故2与0，b0，则有()A.2ba B.2baC.2ba D.2ba考点综合法及应用题点利用综合法解决不等式问题答案C解析因为(2ba)0，所以2ba.5已知等差数列an的首项为8，Sn是其前n项的和，某同学经计算得S18，S220，S336，S465，后来该同学发现了其中一个数算错了，则算错的数应为_考点题点答案S456解析显然S1是正确的假设后三个数均未算错，则a18，a212，a316，a429，这四项不成等差数列，但可知前三项成等差数列，故a4有误，应为20，故S4算错了，S4应为56.1归纳和类比都是合情推理，前者是由特殊到一般，部分到整体的推理，后者是由特殊到特殊的推理，但二者都能由已知推测未知，都能用于猜想，推理的结论不一定为真，有待进一步证明2演绎推理与合情推理不同，是由一般到特殊的推理，是数学中证明的基本推理形式也是公理化体系所采用的推理形式，另一方面，合情推理与演绎推理又是相辅相成的，前者是后者的前提，后者论证前者的可靠性3直接证明和间接证明是数学证明的两类基本证明方法直接证明的两类基本方法是综合法和分析法：综合法是从已知条件推导出结论的证明方法；分析法是由结论追溯到条件的证明方法，在解决数学问题时，常把它们结合起来使用间接证明的一种方法是反证法，反证法是从结论反面成立出发，推出矛盾的证明方法.一、选择题1下面几种推理是合情推理的是()由圆的性质类比出球的有关性质；由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180，归纳出所有三角形的内角和都是180；张军某次考试成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分；三角形内角和是180，四边形内角和是360，五边形内角和是540，由此得凸多边形内角和是(n2)180.A BC D答案C解析是类比推理；是归纳推理；是归纳推理所以是合情推理2在等差数列an中，若an0，则有a4a6a3a7，类比上述性质，在等比数列bn中，若bn0，q1，则下列有关b4，b5，b7，b8的不等关系正确的是()Ab4b8b5b7 Bb5b7b4b8Cb4b7b5b8 Db4b5b7b8答案A3我们把1,4,9,16,25，这些数称做正方形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正方形(如图)试求第n个正方形数是()An(n1) Bn(n1)Cn2 D(n1)2答案C解析观察前5个正方形数，恰好是序号的平方，所以第n个正方形数应为n2.4当n1,2,3,4,5,6时，比较2n和n2的大小并猜想()An1时，2nn2 Bn3时，2nn2Cn4时，2nn2 Dn5时，2nn2考点归纳推理题点归纳推理在数对(组)中的应用答案D解析当n1时，2nn2；当n2时，2nn2；当n3时，2nn2；当n6时，2nn2.故猜想当n5时，2nn2.5“四边形ABCD是矩形，四边形ABCD的对角线相等”以上推理的大前提是()A正方形都是对角线相等的四边形B矩形都是对角线相等的四边形C等腰梯形都是对角线相等的四边形D矩形都是对边平行且相等的四边形答案B解析利用三段论分析：大前提：矩形都是对角线相等的四边形；小前提：四边形ABCD是矩形；结论：四边形ABCD的对角线相等6定义运算：xy例如344，则下列等式不成立的是()AxyyxB(xy)zx(yz)C(xy)2x2y2Dc(xy)(cy)(cx)(c0)考点合情推理的综合应用题点合情推理在函数中的应用答案C解析由定义可知：“”是求两个数中的较大者，所以A，B，D均是恒成立的7某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段，下表为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊.学生序号12345678910立定跳远(单位：米)1.961.921.821.801.781.761.741.721.681.6030秒跳绳(单位：次)63a7560637270a1b65在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则()A2号学生进入30秒跳绳决赛B5号学生进入30秒跳绳决赛C8号学生进入30秒跳绳决赛D9号学生进入30秒跳绳决赛考点演绎推理的综合应用题点演绎推理在其他方面的应用答案B解析进入立定跳远决赛的有8人，根据成绩应是1号至8号若a63，则同时进入两决赛的不是6人，不符合题意；若61a63，则同时进入两决赛的有1,2,3,5,6,7号，符合题意；若a60，则同时进入两决赛的不是6人，不符合题意；若a59，则同时进入两决赛的有1,3,4,5,6,7号，符合题意综上可知，5号进入30秒跳绳决赛二、填空题8如果函数f(x)在区间D上是凸函数，那么对于区间D内的任意x1，x2，xn，都有f.若ysin x在区间(0，)上是凸函数，那么在ABC中，sin Asin Bsin C的最大值是_答案解析sin Asin Bsin C3sin 3sin .9在平面几何中，ABC的内角平分线CE分AB所成线段的比为，把这个结论类比到空间：在三棱锥ABCD中(如图所示)，面DEC平分二面角ACDB且与AB相交于E，则得到的类比的结论是_考点类比推理题点类比推理在图形中的应用答案解析CE平分ACB，而面CDE平分二面角ACDB.可类比成，故结论为.10已知f(x)，定义f1(x)f(x)，f2(x)f1(x)，fn1(x)fn(x)，nN.经计算f1(x)，f2(x)，f3(x)，照此规律，fn(x)_.答案解析观察各个式子，发现分母都是ex，分子依次是(x1)，(x2)，(x3)，故fn(x).三、解答题11已知a0，b0，1.求证： .证明要证成立，只需证1a，只需证(1a)(1b)1(1b0)，即1baab1，abab，只需证1(a0，b0)，即证1.又1成立，成立12求证：不论x，y取何非零实数，等式总不成立考点反证法及应用题点反证法的应用证明假设存在非零实数x，y使得等式成立于是有y(xy)x(xy)xy，即x2y2xy0，即2y20.由y0，得y20.又20，所以2y20.与x2y2xy0矛盾，故原命题成立13已知a0，b0,2cab，求证：cac.考点分析法及应用题点分析法解决不等式问题证明要证cac，只需证ac，即证|ac|，只需证(ac)2()2，只需证a22acc2a2ab，因为a0，所以只需证2cab.因为2cab已知，所以原不等式成立四、探究与拓展14设S，V分别表示表面积和体积，如ABC的面积用SABC表示，三棱锥OABC的体积用VOABC表示，对于命题：如果O是线段AB上一点，则|0.将它类比到平面的情形时，应该有：若O是ABC内一点，有SOBCSOCASOBA0.将它类比到空间的情形时，应该有：若O是三棱锥ABCD内一点，则有_考点类比推理的应用题点平面几何与立体几何之间的类比答案VOBCDVOACDVOABDVOABC015某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：sin213cos217sin 13cos 17；sin215cos215sin 15cos 15；sin218cos212sin 18cos 12；sin2(18)cos248sin(18)cos 48；sin2(25)cos255sin(25)cos 55.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论解(1)选择式，计算如下：sin215cos215sin 15cos 151sin 301.(2)三角恒等式为sin2cos2(30)sin cos(30).证明如下：sin2cos2(30)sin cos(30)sin2(cos 30cos sin 30sin )2sin (cos 30cos sin 30sin )sin2cos2sin cos sin2sin cos sin2sin2cos2.
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