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章末检测试卷(三)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1与向量a(1,3，2)平行的一个向量的坐标是()A.B.C.D(，3，2)考点空间向量的数乘运算题点空间共线向量定理及应用答案B2两平行平面，分别经过坐标原点O和点A(2,1,1)，且两平面的一个法向量n(1,0,1)，则两平面间的距离是()A.B.C.D3答案B解析两平面间的距离d.3设i，j，k为单位正交基底，已知a3i2jk，bij2k，则5a与3b的数量积等于()A15B5C3D1答案A解析a(3,2，1)，b(1，1,2)，5a3b15ab15.4平面的一个法向量为m(1,2,0)，平面的一个法向量为n(2，1,0)，则平面与平面的位置关系是()A平行B相交但不垂直C垂直D不能确定答案C解析(1,2,0)(2，1,0)0，两法向量垂直，从而两平面垂直5点P是棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1内一点，且满足，则点P到棱AB的距离为()A.B.C.D.答案A解析因为在上的投影为，所以点P到AB的距离d.6若平面的法向量为n，直线l的方向向量为a，直线l与平面的夹角为，则下列关系式成立的是()AcosBcosCsinDsin答案D解析若直线与平面所成的角为，直线的方向向量与该平面的法向量所成的角为，则90或90，cos，sin|cos|.7已知直线l的方向向量a，平面的法向量，若a(1,1,1)，(1,0,1)，则直线l与平面的位置关系是()A垂直B平行C相交但不垂直D直线l在平面内或直线l与平面平行答案D解析a1(1)10110，得直线l的方向向量垂直于平面的法向量，则直线l在平面内或直线l与平面平行8A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足0，0，0，M为BC的中点，则AMD是()A钝角三角形B锐角三角形C直角三角形D不确定答案C解析M为BC的中点，()()0.AMAD，AMD为直角三角形9已知l1的方向向量为v1(1,2,3)，l2的方向向量为v2(，4,6)，若l1l2，则等于()A1B2C3D4答案B解析由l1l2，得v1v2，得，故2.10过正方形ABCD的顶点A作线段PA平面ABCD，若ABPA，则平面ABP与平面CDP的夹角为()A30B45C60D90答案B解析建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，设ABPA1，知A(0,0,0)，B(1,0,0)，D(0,1,0)，C(1,1,0)，P(0,0,1)，由题意得，AD平面ABP，设E为PD的中点，连接AE，则AEPD.又CD平面PAD，AECD，又PDCDD，AE平面CDP.(0,1,0)，分别是平面ABP，平面CDP的法向量，而，45.平面ABP与平面CDP的夹角为45.11.如图所示，四面体SABC中，0，0，0，SBC60，则BC与平面SAB的夹角为()A30B60C90D75答案B解析0，0，即SBSC，SASC，又SBSAS，SC平面SAB，SBC为BC与平面SAB的夹角又SBC60，故BC与平面SAB的夹角为60.12将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角ABDC，有如下四个结论：ACBD；ACD是等边三角形；AB与平面BCD所成的角为60；AB与CD所成的角为60.其中错误的结论是()ABCD答案C解析如图所示，建立空间直角坐标系Oxyz，设正方形ABCD边长为，则D(1,0,0)，B(1,0,0)，C(0,0,1)，A(0,1,0)，所以(0，1,1)，(2,0,0)，0，故ACBD.正确又|，|，|，所以ACD为等边三角形正确对于，为平面BCD的法向量，cos，.因为直线与平面所成的角0，90，所以AB与平面BCD所成角为45.故错误又cos，.因为异面直线所成的角为锐角或直角，所以AB与CD所成角为60.故正确二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13设a，b是直线，是平面，a，b，向量a在a上，向量b在b上，a(1,1,1)，b(3,4,0)，则，所成二面角中较小的一个角的余弦值为_答案解析设，所成二面角中较小的一个角为，由题意得，cos|cosa，b|.14.如图所示，已知正四面体A-BCD中，AEAB，CFCD，则直线DE和BF所成角的余弦值为_答案解析设AB4，cos，.15.如图所示，已知二面角-l-的平面角为，ABBC，BCCD，AB在平面内，BC在l上，CD在平面内，若ABBCCD1，则AD的长为_答案解析因为，所以22222221112cos()32cos.所以|，即AD的长为.16给出下列命题：若ab0，则a，b是钝角；若a为直线l的方向向量，则a(R)也是l的方向向量；非零向量a，b，c满足a与b，b与c，c与a都是共面向量，则a，b，c必共面其中不正确的命题为_(填序号)答案解析错误，ab0，即cosa，b0，即a，b，而钝角的取值范围是；错误，当0时，a0不能作为直线l的方向向量；错误，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，令a，b，c，则它们两两共面，但显然，不共面三、解答题(本大题共6小题，共70分)17(10分)设向量a(3,5，4)，b(2,1,8)，计算2a3b,3a2b，ab以及a与b所成角的余弦值，并确定，应满足的条件，使ab与z轴垂直解2a3b2(3,5，4)3(2,1,8)(6,10，8)(6,3,24)(12,13,16)3a2b3(3,5，4)2(2,1,8)(9,15，12)(4,2,16)(5,13，28)ab(3,5，4)(2,1,8)653221.|a|5，|b|，cosa，b.ab与z轴垂直，(32，5，48)(0,0,1)480，即2，当，满足2时，可使ab与z轴垂直18(12分)已知空间内三点A(0,2,3)，B(2,1,6)，C(1，1,5)(1)求以向量，为一组邻边的平行四边形的面积S；(2)若向量a与向量，都垂直，且|a|，求向量a的坐标解(1)(2，1,3)，(1，3,2)，cosBAC，又BAC0，180，BAC60，S|sin607.(2)设a(x，y，z)，由a，得2xy3z0，由a，得x3y2z0，由|a|，得x2y2z23，xyz1或xyz1.a(1,1,1)或a(1，1，1)19(12分)如图，在平行四边形ABCD中，ABAC1，ACD90，把ADC沿对角线AC折起，使AB与CD成60角，求BD的长解AB与CD成60角，60或120，又ABACCD1，ACCD，ACAB，|2或.BD的长为2或.20(12分)如图所示，已知几何体ABCDA1B1C1D1是平行六面体(1)化简，并在图上标出结果；(2)设M是底面ABCD的中心，N是侧面BCC1B1对角线BC1上的点，且C1NC1B，设，试求，的值解(1)取AA1的中点E，在D1C1上取一点F，使得D1F2FC1，连接EF，则.(2)()()，所以，.21(12分)如图所示，四边形ABCD为直角梯形，ABCD，ABBC，ABE为等边三角形，且平面ABCD平面ABE，AB2CD2BC2，P为CE的中点(1)求证：ABDE；(2)求平面ADE与平面BCE所成的锐二面角的余弦值；(1)证明取AB的中点O，连接OD，OE，因为ABE是正三角形，所以ABOE.因为四边形ABCD是直角梯形，DCAB，ABCD，所以四边形OBCD是平行四边形，所以ODBC.又ABBC，所以ABOD，又OEODO，所以AB平面ODE，所以ABDE.(2)解因为平面ABCD平面ABE，ABOE，OE平面ABE，平面ABCD平面ABEAB.所以OE平面ABCD，所以OEOD.如图所示，以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz，则A(1,0,0)，B(1,0,0)，D(0,0,1)，C(1,0,1)，E(0，0)，所以(1,0,1)，(0，1)设平面ADE的法向量为n1(x1，y1，z1)，则即令z11，则x11，y1，所以n1，同理可求得平面BCE的一个法向量为n2(，1,0)，设平面ADE与平面BCE所成的锐二面角为，则cos，所以平面ADE与平面BCE所成的锐二面角的余弦值为.22(12分)如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，侧棱A1A底面ABCD，ABAC，AB1，ACAA12，ADCD，且点M和N分别为B1C和D1D的中点(1)求证：MN平面ABCD；(2)求平面ACD1与平面ACB1的夹角的正弦值；(3)设E为棱A1B1上的点，若直线NE和平面ABCD的夹角的正弦值为，求线段A1E的长(1)证明如图，以A为原点建立空间直角坐标系，依题意可得A(0,0，0)，B(0,1,0)，C(2，0,0)，D(1，2，0)，A1(0,0,2)，B1(0,1,2)，C1(2,0,2)，D1(1，2，2)，又因为M，N分别为B1C和D1D的中点，得M，N(1，2,1)可得n(0,0,1)为平面ABCD的法向量，由此可得n0，又因为直线MN平面ABCD，所以MN平面ABCD.(2)解(1，2,2)，(2,0,0)，设n1(x，y，z)为平面ACD1的法向量，则即不妨设z1，可得n1(0,1,1)设n2(x，y，z)为平面ACB1的法向量，则又(0,1,2)，得不妨设z1，可得n2(0，2,1)因此有cosn1，n2，于是sinn1，n2.所以，平面ACD1与平面ACB1的夹角的正弦值为.(3)解依题意，可设，其中0,1，则E(0，2)，从而(1，2,1)，又n(0,0,1)为平面ABCD的法向量，由已知，得cos，n，整理得2430，又因为0,1，解得2，所以，线段A1E的长为2.
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