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考点规范练42两条直线的位置关系一、基础巩固1.已知直线mx+4y-2=0与2x-5y+n=0互相垂直,垂足为(1,p),则m-n+p为()A.24B.20C.0D.-4答案B解析两直线互相垂直,k1k2=-1,-m425=-1,m=10.又垂足为(1,p),代入直线10x+4y-2=0得p=-2,将(1,-2)代入直线2x-5y+n=0得n=-12,m-n+p=20.2.若直线l1:y=k(x-4)与直线l2关于点(2,1)对称,则直线l2恒过定点()A.(0,4)B.(0,2)C.(-2,4)D.(4,-2)答案B解析直线l1:y=k(x-4)恒过定点(4,0),其关于点(2,1)对称的点为(0,2).因为直线l1:y=k(x-4)与直线l2关于点(2,1)对称,所以直线l2恒过定点(0,2).3.若动点A,B分别在直线l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0上移动,则AB的中点M到原点的距离的最小值为()A.32B.22C.33D.42答案A解析依题意知,AB的中点M的集合为与直线l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0距离相等的直线,则M到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离.设点M所在直线的方程为l:x+y+m=0,根据平行线间的距离公式得|m+7|2=|m+5|2|m+7|=|m+5|m=-6,即l:x+y-6=0,根据点到直线的距离公式,得中点M到原点的距离的最小值为|-6|2=32.4.已知平行四边形ABCD的一条对角线固定在A(3,-1),C(2,-3)两点,D点在直线3x-y+1=0上移动,则B点的轨迹方程为()A.3x-y-20=0B.3x-y-10=0C.3x-y-9=0D.3x-y-12=0答案A解析设AC的中点为O,则O52,-2.设B(x,y)关于点O的对称点为(x0,y0),即D(x0,y0),则x0=5-x,y0=-4-y,由3x0-y0+1=0得3x-y-20=0.5.如图所示,已知两点A(4,0),B(0,4),从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上,最后经直线OB反射后又回到P点,则光线所经过的路程是()A.210B.6C.33D.25答案A解析易得AB所在的直线方程为x+y=4,由于点P关于直线AB对称的点为A1(4,2),点P关于y轴对称的点为A2(-2,0),则光线所经过的路程即A1(4,2)与A2(-2,0)两点间的距离.于是|A1A2|=(4+2)2+(2-0)2=210.6.若直线l经过直线y=2x+1和y=3x-1的交点,且平行于直线2x+y-3=0,则直线l的方程为.答案2x+y-9=0解析直线y=2x+1与y=3x-1的交点为(2,5).设直线l方程为2x+y+m=0,将(2,5)代入得m=-9.故l方程为2x+y-9=0.7.已知点A(1,3)关于直线y=kx+b对称的点是B(-2,1),则直线y=kx+b在x轴上的截距是.答案56解析由题意得线段AB的中点-12,2在直线y=kx+b上,故3-11+2k=-1,2=k-12+b,解得k=-32,b=54,所以直线方程为y=-32x+54.令y=0,即-32x+54=0,解得x=56,故直线y=kx+b在x轴上的截距为56.8.已知两直线a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0的交点为P(2,3),求过两点Q1(a1,b1),Q2(a2,b2)的直线方程.解方法一:P(2,3)是已知两条直线的交点,2a1+3b1+1=0,2a2+3b2+1=0.2(a1-a2)+3(b1-b2)=0.由题意可知,a1a2,b1-b2a1-a2=-23.故所求直线方程为y-b1=-23(x-a1),即2x+3y-(2a1+3b1)=0,2x+3y+1=0.过Q1,Q2两点的直线方程为2x+3y+1=0.方法二:点P是已知两条直线的交点,2a1+3b1+1=0,2a2+3b2+1=0.可见Q1(a1,b1),Q2(a2,b2)都满足方程2x+3y+1=0.过Q1,Q2两点的直线方程为2x+3y+1=0.9.已知两条直线l1:(3+m)x+4y=5-3m,l2:2x+(5+m)y=8.当m分别为何值时,l1与l2:(1)相交?(2)平行?(3)垂直?解(1)当m=-5时,显然l1与l2相交但不垂直;当m-5时,两条直线l1和l2的斜率分别为k1=-3+m4,k2=-25+m,它们在y轴上的截距分别为b1=5-3m4,b2=85+m.由k1k2,得-3+m4-25+m,即m-7,且m-1.则当m-7,且m-1时,l1与l2相交.(2)由k1=k2,b1b2,得-3+m4=-25+m,5-3m485+m,解得m=-7.则当m=-7时,l1与l2平行.(3)由k1k2=-1,得-3+m4-25+m=-1,解得m=-133.则当m=-133时,l1与l2垂直.10.已知光线从点A(-4,-2)射出,到直线y=x上的B点后被直线y=x反射到y轴上的C点,又被y轴反射,这时反射光线恰好过点D(-1,6),求BC所在的直线方程.解作出草图如图所示.设A关于直线y=x的对称点为A,D关于y轴的对称点为D,则易得A(-2,-4),D(1,6).由入射角等于反射角可得AD所在直线经过点B与点C.故BC所在的直线方程为y-6-4-6=x-1-2-1,即10x-3y+8=0.二、能力提升11.三条直线l1:x-y=0,l2:x+y-2=0,l3:5x-ky-15=0构成一个三角形,则k的取值范围是()A.kRB.kR,且k1,k0C.kR,且k5,k-10D.kR,且k5,k1答案C解析若有两条直线平行,或三条直线交于同一点,则不能构成三角形.由l1l3,得k=5;由l2l3,得k=-5;由x-y=0与x+y-2=0,得x=1,y=1,若(1,1)在l3上,则k=-10.若l1,l2,l3能构成一个三角形,则k5,且k-10,故选C.12.点P到点A(1,0)和到直线x=-1的距离相等,且P到直线y=x的距离等于22,这样的点P共有()A.1个B.2个C.3个D.4个答案C解析设P(x,y),由题意知(x-1)2+y2=|x+1|且22=|x-y|2,所以y2=4x,|x-y|=1,即y2=4x,x-y=1或y2=4x,x-y=-1,解得有两根,有一根.13.已知M=(x,y)y-3x-2=3,N=(x,y)|ax+2y+a=0,且MN=,则a=()A.-6或-2B.-6C.2或-6D.-2答案A解析集合M表示去掉一点A(2,3)的直线3x-y-3=0,集合N表示恒过定点B(-1,0)的直线ax+2y+a=0,因为MN=,所以两直线要么平行,要么直线ax+2y+a=0与直线3x-y-3=0相交于点A(2,3).因此-a2=3或2a+6+a=0,即a=-6或a=-2.14.已知点A(3,1),在直线y=x和y=0上各找一点M和N,使AMN的周长最短,则最短周长为.答案25解析由点A(3,1)及直线y=x,可求得点A关于y=x的对称点为点B(1,3),同理可求得点A关于y=0的对称点为点C(3,-1),如图所示.则|AM|+|AN|+|MN|=|BM|+|CN|+|MN|BC|,当且仅当B,M,N,C四点共线时,AMN的周长最短,为|BC|=25.15.点P(2,1)到直线l:mx-y-3=0(mR)的最大距离是.答案25解析直线l经过定点Q(0,-3),如图所示.由图知,当PQl时,点P(2,1)到直线l的距离取得最大值,|PQ|=(2-0)2+(1+3)2=25,所以点P(2,1)到直线l的最大距离为25.16.已知入射光线经过点M(-3,4),被直线l:x-y+3=0反射,反射光线经过点N(2,6),则反射光线所在直线的方程为.答案6x-y-6=0解析设点M(-3,4)关于直线l:x-y+3=0的对称点为M(a,b),则反射光线所在直线过点M,所以b-4a-(-3)1=-1,-3+a2-b+42+3=0,解得a=1,b=0.又反射光线经过点N(2,6),所以所求直线的方程为y-06-0=x-12-1,即6x-y-6=0.17.已知三条直线l1:2x-y+a=0(a0),l2:-4x+2y+1=0,l3:x+y-1=0,且l1与l2之间的距离是7510.(1)求a的值;(2)能否找到一点P,使P同时满足下列三个条件:点P在第一象限;点P到l1的距离是点P到l2的距离的12;点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是25.若能,求点P的坐标;若不能,说明理由.解(1)因为直线l2:2x-y-12=0,所以两条平行线l1与l2间的距离为d=a-1222+(-1)2=7510,所以a+125=7510,即a+12=72,又a0,解得a=3.(2)假设存在点P,设点P(x0,y0).若点P满足条件,则点P在与l1,l2平行的直线l:2x-y+c=0上,且|c-3|5=12c+125,即c=132或c=116,所以2x0-y0+132=0或 2x0-y0+116=0;若点P满足条件,由点到直线的距离公式,有|2x0-y0+3|5=25|x0+y0-1|2,即|2x0-y0+3|=|x0+y0-1|,所以x0-2y0+4=0或3x0+2=0;因为点P在第一象限,所以3x0+2=0不可能.联立2x0-y0+132=0,x0-2y0+4=0,解得x0=-3,y0=12(舍去);联立2x0-y0+116=0,x0-2y0+4=0,解得x0=19,y0=3718.所以存在点P19,3718同时满足三个条件.三、高考预测18.设两条直线的方程分别为x+y+a=0,x+y+b=0,已知a,b是方程x2+x+c=0的两个实根,且0c18,则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是()A.24,14B.2,22C.2,12D.22,12答案D解析依题意得|a-b|=(a+b)2-4ab=1-4c,当0c18时,22|a-b|=1-4c1.因为两条直线间的距离等于|a-b|2,所以两条直线间的距离的最大值与最小值分别是22,2212=12.
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