资源描述
第20讲坐标系与参数方程1.2016全国卷 在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为x=acost,y=1+asint(t为参数,a0).在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:=4cos.(1)说明C1是哪一种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程;(2)直线C3的极坐标方程为=0,其中0满足tan0=2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a.试做 2.2017全国卷 在直角坐标系xOy中,直线l1的参数方程为x=2+t,y=kt(t为参数),直线l2的参数方程为x=-2+m,y=mk(m为参数).设l1与l2的交点为P,当k变化时,P的轨迹为曲线C.(1)写出C的普通方程;(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,设l3:(cos+sin)-2=0,M为l3与C的交点,求M的极径.试做 命题角度坐标系与参数方程(1)利用x=cos,y=sin以及2=x2+y2可将极坐标方程与直角坐标方程互化.(2)化参数方程为普通方程的关键是消参,可以利用加减消元法、平方消元法、代入法等.在参数方程与普通方程的互化过程中,必须使两种方程中的x,y的取值范围保持一致.(3)解决极坐标问题的一般思路:将曲线的极坐标方程联立,再根据限制条件求出极坐标;在对极坐标的意义和应用不太熟悉的时候,可将极坐标方程化为直角坐标方程,求出交点坐标,再将其化为极坐标.(4)解决坐标系与参数方程中求曲线交点、距离、线段长等几何问题时,一般方法是先分别化为普通方程或直角坐标方程后再求解,也可直接利用极坐标的几何意义求解,解题时要结合题目自身特点,灵活选择方程的类型.解答1极坐标与简单曲线的极坐标方程1 在平面直角坐标系xOy中,已知直线l:x+3y=53,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆C的极坐标方程为=4sin.(1)求直线l的极坐标方程和圆C的直角坐标方程;(2)射线OP:=6(0)与圆C的交点为O,A,与直线l的交点为B,求线段AB的长.听课笔记【考场点拨】将直角坐标方程化为极坐标方程时,只要运用公式x=cos及y=sin,直接代入并化简即可; 将极坐标方程化为直角坐标方程时,常用极坐标方程两边同乘(或同除以),将极坐标方程构造成含有sin,cos,2的形式,然后利用公式代换化简得到直角坐标方程.【自我检测】以平面直角坐标系的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,且在两种坐标系中取相同的长度单位.曲线C的极坐标方程是2=161+3cos2.(1)求曲线C的直角坐标方程;(2)设曲线C与x轴正半轴及y轴正半轴交于点M,N,在第一象限内任取曲线C上一点P,求四边形OMPN面积的最大值.解答2简单曲线的参数方程2 已知曲线C的极坐标方程是-4sin=0,以极点为原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线l过点M(1,0),倾斜角为34.(1)求曲线C的直角坐标方程与直线l的参数方程;(2)设直线l与曲线C交于A,B两点,求|MA|+|MB|的值.听课笔记【考场点拨】高考中直线参数方程问题的注意点:(1)利用直线的参数方程x=x0+tcos,y=y0+tsin(t为参数)中参数的几何意义求解时,若A,B为直线上两点,其对应的参数分别为t1,t2,线段AB的中点为M,点M所对应的参数为t0,P(x0,y0),则以下结论在解题中经常用到:t0=t1+t22;|AB|=|t2-t1|;|PA|PB|=|t1t2|.(2)用参数方程的几何意义解题时,参数方程必须是标准形式,即满足参数t前面的系数的平方和等于1,否则会出现错误.【自我检测】在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为x=1+tcos,y=3+tsin,t为参数,0,).以坐标原点为极点,以x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,圆C的极坐标方程为=8sin+6.(1)求圆C的圆心的直角坐标;(2)设点P(1,3),若直线l与圆C交于A,B两点,求证:|PA|PB|为定值,并求出该定值.解答3极坐标与参数方程的综合应用3 在直角坐标系xOy中,曲线C1:x=3cos,y=sin(为参数),在以O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:(cos-sin)=4.(1)写出曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程;(2)若曲线C1上有一动点M,曲线C2上有一动点N,求|MN|最小时M点的坐标.听课笔记【考场点拨】高考中利用参数解题的几点应用:(1)在圆锥曲线截直线的弦长问题中的应用.这类问题通常是过某一定点作一直线与圆锥曲线相交于A,B两点,所求问题与定点到A,B两点的距离有关,主要利用定点在直线AB上以及参数t的几何意义,结合根与系数的关系进行处理.(2)解决中点问题.可利用t0=t1+t22结合t的几何意义去解决.(3)与直线有关的最值、范围问题.这类问题主要是线段的两个端点在圆锥曲线上,求相应的最大值和最小值问题.解决此类问题时可以先利用参数方程中的参数去表示,然后利用三角函数的相关知识求解.【自我检测】以平面直角坐标系的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,并在两种坐标系中取相同的长度单位.曲线C1的极坐标方程为sin2-4cos=0,曲线C2的参数方程为x=-1+2cos,y=2sin(为参数).(1)求曲线C1的直角坐标方程及曲线C2的普通方程;(2)已知点P12,0,直线l的参数方程为x=12+22t,y=22t(t为参数),设直线l与曲线C1 交于M,N两点,求1|PM|+1|PN|的值.模块七选考模块第20讲坐标系与参数方程 典型真题研析1.解:(1)消去参数t得到C1的普通方程x2+(y-1)2=a2.C1是以(0,1)为圆心,a为半径的圆.将x=cos,y=sin代入C1的普通方程中,得到C1的极坐标方程为2-2sin+1-a2=0.(2)曲线C1,C2的公共点的极坐标满足方程组2-2sin+1-a2=0,=4cos.若0,则由方程组得16cos2-8sincos+1-a2=0,由已知tan=2,可得16cos2-8sincos=0,从而1-a2=0,解得a=-1(舍去)或a=1.当a=1时,极点也为C1,C2的公共点,在C3上,所以a=1.2.解:(1)消去参数t得l1的普通方程l1:y=k(x-2),消去参数m得l2的普通方程l2:y=1k(x+2).设P(x,y),由题设得y=k(x-2),y=1k(x+2),消去k得x2-y2=4(y0),所以C的普通方程为x2-y2=4(y0).(2)C的极坐标方程为2(cos2-sin2)=4(00,t20,所以|MA|+|MB|=|t1|+|t2|=t1+t2=32.【自我检测】解:(1)由=8sin+6得2=43sin+4cos,所以圆C的直角坐标方程为x2+y2-4x-43y=0,圆心C的坐标为(2,23).(2) 证明:将x=1+tcos,y=3+tsin代入x2+y2-4x-43y=0,整理得t2-(23sin+2cos)t-12=0,设点A,B所对应的参数分别为t1,t2,则t1t2=-12,P(1,3),|PA|PB|=|t1t2|=12,为定值.解答3例3解:(1)由题知曲线C1的普通方程为x29+y2=1.由(cos-sin)=4及x=cos,y=sin得C2的直角坐标方程为x-y-4=0.(2)设M(3cos,sin),结合图像可知,|MN|的最小值即为点M到直线C2的距离的最小值.点M到直线C2的距离d=|3cos-sin-4|2=|10cos(+)-4|2,其中tan=13,当cos(+)=1时,d最小,即|MN|最小.此时,3cos-sin=10,结合sin2+cos2=1可得cos=31010,sin=-1010.即此时M点的坐标为91010,-1010.【自我检测】解:(1)因为sin2-4cos=0,所以2sin2-4cos=0,所以y2=4x,即曲线C1的直角坐标方程为y2=4x.因为x=-1+2cos,y=2sin,所以(x+1)2+y2=4,即曲线C2的普通方程为(x+1)2+y2=4.(2)将直线l的参数方程x=12+22t,y=22t代入y2=4x,整理得t2-42t-4=0,设M,N两点对应的参数分别为t1,t2,则t1+t2=42,t1t2=-4,所以1|PM|+1|PN|=1|t1|+1|t2|=|t1|+|t2|t1t2|=|t1-t2|t1t2|=(t1+t2)2-4t1t2|t1t2|=3.备选理由 在解决取值范围问题时常用三角函数,备用例1是对例3应用的一个补充.例1配例3使用 在平面直角坐标系xOy中,直线l经过点P(-3,0),其倾斜角为,以原点O为极点,以x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,且在两种坐标系中取相同的长度单位,已知曲线C的极坐标方程为2-2cos-3=0.(1)若直线l与曲线C有公共点,求倾斜角的取值范围;(2)设M(x,y)为曲线C上任意一点,求x+y的取值范围.解:(1)将曲线C的极坐标方程2-2cos-3=0化为直角坐标方程为x2+y2-2x-3=0,直线l的参数方程为x=-3+tcos,y=tsin(t为参数),将直线l的参数方程代入x2+y2-2x-3=0,整理得t2-8tcos+12=0,直线l与曲线C有公共点,=64cos2-480,cos32或cos-32,又0,),的取值范围是0,656,.(2)曲线C的直角坐标方程x2+y2-2x-3=0可化为(x-1)2+y2=4,其参数方程为x=1+2cos,y=2sin(为参数).M(x,y)为曲线C上任意一点,x+y=1+2cos+2sin=1+22sin+4,x+y的取值范围是1-22,1+22.
展开阅读全文