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.西城区高三统一测试数学（文科） 2018.4第卷（选择题 共 40 分）一、 选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题列出的 四个选项中，选 出符合题目要求的一项1若集合 ，|320AxR|B，则 AB（A） |1xR（B） 2|13xR（C） 2|3x（D） |2若复数 的实部与虚部相等，则实数(i)4iaa（A） 7（B） 7（C） 1（D） 1.3执行如图所示的程序框图，输出的k值为（A） 2（B） 3（C） 4.（D） 54若函数是奇函数，则2,0,()3xfg1()2f（A） 23（B） 23（C） 9（D） 295正三棱柱的三视图如图所示，该正三棱柱的表面积是（A） （B） 32（C） （D）63 66已知二次函数 2()fxabc则“ 0a”.是“()0fx恒成立”的（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件7已知O是正方形 ABCD的中心若 ，DOABC 其中 ，R，则 .（A） 2（B） 12（C） 2（D） 28如图，在长方体 中， ，1ACD1AB，点 在侧面 上满足到直线 和1BCP的距离相等的点 （A）不存在 （B）恰有 1 个 （C）恰有 2 个 （D）有无数个第卷（非选择题 共 110 分）二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分9函数 的定义域是_1()lnfx.10已知 ，xy满足条件1,0, xy则 2zxy的最小值为_11.已知抛物线 28yx的焦点与双曲线 21(0)xya的一个焦点重合，则a_；双曲线的渐近线方程是_.12在 ABC中， 7b， 5c， 3B，则a_13能够说明.“存在不相等的正数 ，ab，使得 ”ab=是真命题的一组 ，ab的值为_.14某班共有学生40名，在乒乓球、篮球、排球三项运动中每人至少会.其中的一项，有些人会其中的两项，没有人三项均会若该班18人不会.打乒乓球，24人不会打篮球，16人不会打排球，则该班会其中两项运动.的学生人数是_三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤15 （本小题满分 13 分）设等差数列 的公差不为 0， ，且 ， ， 成等比数列na21a23a6（）求 的通项公式；（）设数列 的前 项和为 ，求使 成立的 的最小值nanS35nn.16 （本小题满分 13 分）函数 的部分图象如图所示()2cos()3fxxm（）求 的值；m（）求 的值0x17 （本小题满分 13 分）某企业 2017 年招聘员工，其中 A、B、C、D、E 五种岗位的应聘人数、录用人数和录用比例（精确到 1%）如下：岗位 男性应聘人数 男性录用人数 男性录用比例 女性应聘人数 女性录用人数 女性录用比例A 269 167 62% 40 24 60%B 40 12 30% 202 62 31%C 177 57 32% 184 59 32%D 44 26 59% 38 22 58%E 3 2 67% 3 2 67%总计 533 264 50% 467 169 36%（）从表中所有应聘人员.中随机选择1人，试估计此人被录用的概率；（）从应聘E岗位的6.人中随机选择1名男性和1名女性，求这2人均被录用的概率；（）.表中A、B、C、D、E各岗位的男性、女性录用比例都接近（二者之.差的绝对值不大于5%），但男性的总录用比例却明显高于女性的总录用.比例研究发现，若只考虑其中某四种岗位，则男性、女性的总录用比例也.接近，请写出这四种岗位（只需写出结论）18 （本小题满分 14 分）如图 1，在 中， ， 分别为 ， 的中点， 为 的中点，ABCDEABCODE， 将 沿 折起到 的位置，使得平面 平面25AB41 1A， 为 的中点，如图 2CEDF1（）求证： 平面 ；/1ABD（）求证：平面 平面 ；OC（）.线段OC上是否存在点 ，G使得OC平面 ？EFG说明理由图 1 图 219 （本小题满分 14 分）已知椭圆 的离心率为 ，以椭圆 的任意三个顶点为顶点的2:1(0)xyCab2C三角形的面积是 .（）求椭圆 的方程；C（）设 A是椭圆C的右顶点，点B在 x轴上若椭圆C上存在点 ，P使.得 ，90APB求点B横坐标的取值范围20 （本小题满分 13 分）已知函数 ，其中 ()e(ln)xfaaR（）若曲线 在 处的切线与直线 垂直，求 的值；yf1exya（）记 的导函数为 当 时，证明： 存在极小值点 ，且()fx()gx(0,ln2)a()gx0x0()f西城区高三统一测试数学（文科）参考答案及评分标准 2018.4一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.1D 2B 3C 4A 5D 6B 7A 8D.二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分. 9 1011 ，(0,1)30xy12 13 （答案不唯一） 142233,2注：第 11 题第一空 3 分，第二空 2 分. 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15 （本小题满分 13 分）解：（）设等差数列 的公差为 ， nad0因为 ， ， 成等比数列， 所以 2 分236 236a即 ， 4 分 (1)4d解得 ，或 （舍去） 6 分2d0所以 的通项公式为 8 分na2()23nadn（）因为 ， 23所以 10 分2121()()nnnS依题意有 ，235解得 12 分7n使 成立的 的最小值为 8 13 分35S16 （本小题满分 13 分）解：（）依题意，有 ， 2 分2()13f所以 ，cosm解得 4 分2（）因为 1()cos()32fxx. 6 分1312cos(sin)2xx3inco 9 分1sis2x 10n()6分所以 的最小正周期 11 分()fx2T所以 13 分0273617 （本小题满分 13 分）解：（）因为 表中所有应聘人员总数为 ，5346710被该企业录用的人数为 2619所以从表中所有应聘人员中随机选择 1 人，此人被录用的概率约为 4310P 3 分（）记应聘 E 岗位的男性为 ， ， ，被录用者为 ， ；应聘 E 岗位的1M231M2女性为 ， ， ，被录用者为 ， 41F231F2分从应聘 E 岗位的 6 人中随机选择 1 名男性和 1 名女性，共 9 种情况，即： 7 分12132123323,MFFMFM这 2 人均被录用的情况有 4 种，即： 8 分112,F记“从应聘 E 岗位的 6 人中随机选择 1 名男性和 1 名女性，这 2 人均被录用”为事件 ，K则 10 分4()9P（）这四种岗位是：B、C、D 、E 13分18 （本小题满分 14 分）解：（）取线段 的中点 ，连接 ， 1 分1ABHDF因为 在 中， ， 分别为 ， 的中点，CEABC.所以 ， /DEBC12因为 ， 分别为 ， 的中点，HF1A所以 ， ， /2所以 ， ，/DE所以 四边形 为平行四边形， 3 分FH所以 4 分/因为 平面 ， 平面 ，E1AB1ABD所以 平面 5 分/FD（）因为 在 中， ， 分别为 ， 的中点，CEC所以 A所以 ，又 为 的中点，1O所以 6 分DE因为 平面 平面 ，且 平面 ，1ABC1A1DE所以 平面 ， 7 分O所以 8 分1C在 中， ，易知 ， B42OBC所以 ，O所以 平面 ， 9 分C1A所以 平面 平面 10 分BC（）线段 上不存在点 ，使得 平面 11 分GOEFG否则，假设线段 上存在点 ，使得 平面 ，连接 ， ，EF则必有 ，且 OC在 中，由 为 的中点， ，Rt1A1ACOGF得 为 的中点 12 分G在 中，因为 ， EGE所以 ，OC.这显然与 ， 矛盾！1EO5C所以 线段 上不存在点 ，使得 平面 14 分GOEFG19 （本小题满分 14 分）解：（）设椭圆 的半焦距为 依题意，得 c， ，且 3 分2cab22abc解得 ， 所以椭圆 的方程为 5 分C214xy（）“椭圆 上存在点 ，使得 ”等价于“存在不是椭圆左、右顶点的P90AB点 ，使得 成立” 6P0A 分依题意， 设 ， ，则 ， 7 分(2,)(,)Bt(,)Pmn24n且 ，,0mnt即 9 分2(2)t将 代入上式，4n得 10 分2(2)0mt因为 ，所以 ，20t即 12 分m所以 ， t解得 ，20所以 点 横坐标的取值范围是 14 分B(2,0)20 （本小题满分 13 分）.解：（） 21()e(ln)e(ln)xxxfaax分依题意，有 ， 3 分(1)e)f解得 4 分0a（）由（）得 ，()eln)xgax所以 6 分22111e(e(ln)x xax因为 ，所以 与 同号e0x()glnax设 ， 7 分21()lnha则 233()1xx所以 对任意 ，有 ，故 在 单调递增 80,0h()hx0,)分因为 ，所以 ， ，(,ln2)a(1)a1()ln02ha故存在 ，使得 10 分01,x0hx与 在区间 上的情况如下：()g(,)2x01,x0x0(,1)x()g+x 极小值 所以 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增 ()g01(,)2x0(,1)x所以 若 ，存在 ，使得 是 的极小值点 11,lna1(,)2g分令 ，得 ，0()hx0021lnxa所以 13 分0002()e(l)exxf.yyyy
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