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第1课时抛物线的简单性质学习目标1.了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等简单性质.2.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题知识点一抛物线的简单性质标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)图形性质范围x0，yRx0，yRxR，y0xR，y0对称轴x轴y轴顶点(0,0)离心率e1开口方向向右向左向上向下通径过焦点垂直于对称轴的直线与抛物线交于两点A，B，线段AB叫抛物线的通径，长度|AB|2p知识点二焦点弦设过抛物线焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y22px(p0)|AB|x1x2py22px(p0)|AB|p(x1x2)x22py(p0)|AB|y1y2px22py(p0)|AB|p(y1y2)1抛物线有一个顶点，一个焦点，一条对称轴，一条准线，一条通径()2当抛物线的顶点在坐标原点时，其方程是标准方程()3抛物线的离心率均为1，所以抛物线形状都相同()4焦准距p决定抛物线的张口大小，即决定抛物线的形状()题型一抛物线的简单性质例1已知抛物线y28x.(1)求出该抛物线的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围；(2)以坐标原点O为顶点，作抛物线的内接等腰三角形OAB，|OA|OB|，若焦点F是OAB的重心，求OAB的周长考点抛物线的简单性质题点焦点、准线、对称性的简单应用解(1)抛物线y28x的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围分别为(0,0)，(2,0)，x2，x轴，x0.(2)如图所示，由|OA|OB|可知ABx轴，垂足为点M，又焦点F是OAB的重心，则|OF|OM|.因为F(2,0)，所以|OM|OF|3，所以M(3,0)故设A(3，m)，代入y28x得m224；所以m2或m2，所以A(3,2)，B(3，2)，所以|OA|OB|，所以OAB的周长为24.反思感悟把握三个要点确定抛物线的简单性质(1)开口：由抛物线标准方程看图像开口，关键是看准二次项是x还是y，一次项的系数是正还是负(2)关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴(3)定值：焦点到准线的距离为p；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p；离心率恒等于1.跟踪训练1等腰直角三角形AOB内接于抛物线y22px(p0)，O为抛物线的顶点，OAOB，则AOB的面积是()A8p2B4p2C2p2Dp2考点抛物线的简单性质题点焦点、准线、对称性的简单应用答案B解析因为抛物线的对称轴为x轴，内接AOB为等腰直角三角形，所以由抛物线的对称性知，直线AB与抛物线的对称轴垂直，从而直线OA与x轴的夹角为45.由方程组得或不妨设A，B两点的坐标分别为(2p,2p)和(2p，2p)所以|AB|4p，所以SAOB4p2p4p2.题型二抛物线的焦点弦问题例2已知直线l经过抛物线y26x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点若直线l的倾斜角为60，求|AB|的值考点抛物线的焦点弦问题题点求抛物线的焦点弦长解因为直线l的倾斜角为60，所以其斜率ktan60.又F，所以直线l的方程为y.联立消去y，得x25x0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x25，所以|AB|AF|BF|x1x2x1x2p538.反思感悟1.解决抛物线的焦点弦问题时，要注意抛物线定义在其中的应用，通过定义将焦点弦长度转化为端点的坐标问题，从而可借助根与系数的关系进行求解2设直线方程时要特别注意斜率不存在的直线应单独讨论跟踪训练2已知抛物线方程为y22px(p0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A，B两点，且|AB|p，求AB所在直线的方程考点抛物线的焦点弦问题题点知抛物线焦点弦长求方程解由题意可知，焦点F.设A(x1，y1)，B(x2，y2)若ABx轴，则|AB|2pp，不合题意，故直线AB的斜率存在，设为k，则直线AB的方程为yk.联立消去x，整理得ky22pykp20，则y1y2，y1y2p2.|AB|2pp，解得k2，AB所在直线方程为y2或y2.题型三与抛物线有关的最值问题例3设P是抛物线y24x上的一个动点，F为抛物线的焦点(1)求点P到点A(1,1)的距离与点P到直线x1的距离之和的最小值；(2)若点B的坐标为(3,2)，求|PB|PF|的最小值考点抛物线的定义题点由抛物线的定义求最值解(1)如图，易知抛物线的焦点为F(1,0)，准线方程是x1.由抛物线的定义知，点P到直线x1的距离等于点P到焦点F的距离于是问题转化为在曲线上求一点P，使点P到点A(1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小显然，连接AF，AF与抛物线的交点即为点P，故最小值为，即点P到点A(1,1)的距离与点P到直线x1的距离之和的最小值为.(2)如图，把点B的横坐标代入y24x中，得y2.因为22，所以点B在抛物线内部过点B作BQ垂直于准线，垂足为点Q，交抛物线于点P1，连接P1F.此时，由抛物线的定义知，|P1Q|P1F|.所以|PB|PF|P1B|P1Q|BQ|314，即|PB|PF|的最小值为4.反思感悟抛物线的定义在解题中的作用，就是灵活地对抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离进行转化，另外要注意平面几何知识的应用，如两点之间线段最短，三角形中三边间的不等关系，点与直线上点的连线垂线段最短等跟踪训练3已知点P是抛物线y22x上的一个动点，则点P到点A(0,2)的距离与点P到该抛物线的准线的距离之和的最小值为()A.B2C.D.考点抛物线的定义题点由抛物线的定义求最值答案A解析如图，由抛物线的定义知|PA|PQ|PA|PF|，则所求距离之和的最小值转化为求|PA|PF|的最小值，则当A，P，F三点共线时，|PA|PF|取得最小值又A(0,2)，F，(|PA|PF|)min|AF|.1以x轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为()Ay28xBy28xCy28x或y28xDx28y或x28y考点抛物线的标准方程题点求抛物线方程答案C解析设抛物线的方程为y22px或y22px(p0)，由题意将x或x分别代入y22px和y22px，得|y|p，2|y|2p8，p4.即抛物线方程为y28x.2设A，B是抛物线x24y上两点，O为原点，若|OA|OB|，且AOB的面积为16，则AOB等于()A30B45C60D90考点抛物线的简单性质题点焦点、准线、对称性的简单应用答案D解析由|OA|OB|，知抛物线上点A，B关于y轴对称，设A，B，a0.SAOB2a16，解得a4，AOB为等腰直角三角形，AOB90.3已知抛物线yax2的准线方程是y2，则此抛物线上的点到准线距离的最小值为()A1B2C3D4考点抛物线的定义题点由抛物线定义求距离答案B解析由题意知抛物线顶点到准线的距离最短，故最小值为2.4过抛物线y28x的焦点作倾斜角为45的直线，则被抛物线截得的弦长为_考点抛物线的焦点弦问题题点求抛物线的焦点弦长答案16解析由y28x得焦点坐标为(2,0)，由此直线方程为yx2，由联立得x212x40，设交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，由方程知x1x212，弦长|AB|x1x2p12416.5已知正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y22px(p0)上，求这个正三角形的边长考点抛物线的简单性质题点抛物线性质的综合应用解如图OAB为正三角形，设|AB|a，则ODa，将A代入y22px，即2pa，解得a4p.正三角形的边长为4p.1讨论抛物线的简单性质，一定要利用抛物线的标准方程；利用简单性质，也可以根据待定系数法求抛物线的方程2抛物线中的最值问题：注意抛物线上的点到焦点的距离与点到准线的距离的转化，其次是平面几何知识的应用一、选择题1设抛物线的焦点到顶点的距离为3，则抛物线上的点到准线的距离的取值范围是()A(6，) B6，)C(3，) D3，)考点抛物线的简单性质题点焦点、准线、对称性的简单应用答案D解析抛物线的焦点到顶点的距离为3，3，即p6.又抛物线上的点到准线距离的最小值为，抛物线上的点到准线距离的取值范围是3，)2若抛物线y2x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为()A.B.C.D.考点抛物线的定义题点由抛物线的定义求点坐标答案B解析由题意知，点P到焦点F的距离等于它到顶点O的距离，因此点P在线段OF的垂直平分线上，而F，所以点P的横坐标为，代入抛物线方程得y，故点P的坐标为，故选B.3已知抛物线y2px2(p0)的焦点为F，点P在抛物线上，过点P作PQ垂直于抛物线的准线，垂足为点Q，若抛物线的准线与对称轴相交于点M，则四边形PQMF的面积为()A.B.C.D.考点抛物线的标准方程题点抛物线方程的应用答案C解析由P在抛物线上，得p，故抛物线的标准方程为x24y，焦点为F(0,1)，准线为y1，|FM|2，|PQ|1，|MQ|1，则四边形PQMF的面积为1.4已知直线l1：4x3y60和直线l2：x1，抛物线y24x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是()A2B3C.D.考点抛物线的定义题点由抛物线定义求最值答案A解析如图所示，动点P到l2：x1的距离可转化为PF的距离，由图可知，距离和的最小值即F到直线l1的距离d2.5过抛物线y22px(p0)的焦点作直线交抛物线于P，Q两点，若线段PQ中点的横坐标为3，|PQ|10，则抛物线方程是()Ay28xBy22xCy26xDy24x考点抛物线的焦点弦问题题点知抛物线焦点弦长求方程答案A解析设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则3，即x1x26.又|PQ|x1x2p10，即p4，抛物线方程为y28x.6已知抛物线y22px(p0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为()Ax1Bx1Cx2Dx2考点抛物线的焦点弦问题题点与焦点弦有关的其他问题答案A解析抛物线的焦点为F，所以过焦点且斜率为1的直线方程为yx，即xy.代入y22px，得y22pyp2，即y22pyp20，由根与系数的关系，得p2(y1，y2分别为点A，B的纵坐标)，所以抛物线方程为y24x，准线方程为x1.7已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|12，P为C的准线上的一点，则ABP的面积为()A18B24C36D48考点抛物线的简单性质题点抛物线性质的综合问题答案C解析不妨设抛物线方程为y22px(p0)，依题意，lx轴，且焦点F，当x时，|y|p，|AB|2p12，p6，又点P到直线AB的距离为p6，故SABP|AB|p12636.8设F为抛物线C：y23x的焦点，过F且倾斜角为30的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则OAB的面积为()A.B.C.D.考点抛物线的焦点弦问题题点抛物线焦点弦的其他问题答案D解析由已知得焦点坐标为F，因此直线AB的方程为y.即4x4y30.联立直线和抛物线方程，并化简得x2x0，故xAxB.根据抛物线的定义有|AB|xAxBp12，同时原点到直线AB的距离为h，因此SOAB|AB|h.二、填空题9抛物线y24x的焦点为F，过F的直线交抛物线于A，B两点，|AF|3，则|BF|_.考点抛物线的焦点弦问题题点与焦点弦有关的其他问题答案解析由题意知F(1,0)，且AB与x轴不垂直，则由|AF|3，知xA2.设lAB：yk(x1)，代入y24x，得k2x2(2k24)xk20，所以xAxB1，故xB，故|BF|xB1.10已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x轴，且与圆x2y24相交的公共弦长等于2，则这条抛物线的方程为_考点抛物线的标准方程题点求抛物线方程答案y23x解析由题意设抛物线方程为y2ax(a0)，当a0时，弦的端点坐标为(1，)，代入抛物线方程得y23x，同理，当a0)的焦点，另外两个顶点在抛物线上，那么满足条件的正三角形的个数为_考点题点答案2解析根据抛物线的对称性，正三角形的两个顶点一定关于x轴对称，且过焦点的两条直线倾斜角分别为30和150，这时过焦点的直线与抛物线只有两个交点，所以正三角形的个数为2.三、解答题12若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与y轴的交点，A为抛物线上一点，且|AM|，|AF|3，求此抛物线的标准方程考点抛物线的标准方程题点求抛物线方程解设所求抛物线的标准方程为x22py(p0)，A(x0，y0)，由题知M.|AF|3，y03.|AM|，x217，x8，代入方程x2py0，得82p，解得p2或p4.所求抛物线的标准方程为x24y或x28y.13已知抛物线C的顶点为O(0,0)，焦点为F(0,1)(1)求抛物线C的标准方程；(2)过点F的直线l：yx1交抛物线C于A，B两点，求AOB的面积考点直线与抛物线的位置关系题点弦长与中点弦的问题解(1)抛物线C的顶点为O(0,0)，焦点为F(0,1)，抛物线C的标准方程为x24y.(2)联立得x24x40.设A(x1，y1)，B(x2，y2), 则x1x24，x1x24，|AB|8.又O(0,0)到直线yx1的距离d，AOB的面积为S|AB|d82.14.如图，过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，交其准线于点C，若|BC|2|BF|且|AF|3，则此抛物线的方程为()Ay23xBy29xCy2xDy2x考点抛物线的标准方程题点求抛物线方程答案A解析作AM，BN分别垂直准线于点M，N，则|BN|BF|，|AM|AF|.又|BC|2|BF|，|BC|2|BN|，NCB30，|AC|2|AM|2|AF|6.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，|BF|x，则2xx36，得x1，而x13，x21，且x1x2，p，得抛物线方程为y23x.15已知抛物线y22x.(1)设点A的坐标为，求抛物线上距离点A最近的点P的坐标及相应的距离|PA|；(2)在抛物线上求一点P，使P到直线xy30的距离最短，并求出距离的最小值考点抛物线的定义题点由抛物线的定义求最值解(1)设抛物线上任一点P的坐标为(x，y)，则|PA|22y222x2.x0，)，且在此区间上函数是增加的，故当x0时，|PA|min，故距离点A最近的点的坐标为(0,0)(2)设点P(x0，y0)是y22x上任一点，则P到直线xy30的距离为d，当y01时，dmin，点P的坐标为.
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