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限时集训（十五）圆锥曲线的方程与性质基础过关1.若双曲线y2a2-x29=1(a0)的一条渐近线与直线y=13x垂直,则此双曲线的实轴长为()A.2B.4C.18D.362.已知点F是抛物线y2=4x的焦点,M,N是该抛物线上两点,|MF|+|NF|=6,则线段MN的中点的横坐标为()A.1B.2C.3D.43.已知F1(-3,0),F2(3,0)是椭圆x2m+y2n=1的两个焦点,P是椭圆上的点,当F1PF2=23时,F1PF2的面积最大,则有()A.m=12,n=3B.m=24,n=6C.m=6,n=32D.m=12,n=64.已知直线l与抛物线C:y2=4x相交于A,B两点,若线段AB的中点为(2,1),则直线l的方程为()A.y=x-1B.y=-2x+5C.y=-x+3D.y=2x-35.设F1,F2分别为双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点,A1,A2分别为双曲线的左、右顶点,其中|F1F2|=3|A1A2|,若双曲线的顶点到渐近线的距离为2,则双曲线的标准方程为()A.x23-y26=1B.x26-y23=1C.x2-y22=1D.x22-y2=16.若双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一条渐近线与圆(x-3)2+(y-1)2=1相切,则此双曲线的离心率为()A.2B.5C.3D.27.已知抛物线y2=4x的焦点为F,以F为圆心的圆与抛物线交于M,N两点,与抛物线的准线交于P,Q两点,若四边形MNPQ为矩形,则矩形MNPQ的面积是()A.163B.123C.43D.38.在等腰梯形ABCD中ABCD,|AB|=2|CD|=4,BAD=60,某双曲线以A,B为焦点,且经过C,D两点,则该双曲线的离心率为()A.2B.3C.5D.3+19.已知F1,F2分别是双曲线3x2-y2=3a2(a0)的左、右焦点,点P是抛物线y2=8ax与双曲线的一个交点,若|PF1|+|PF2|=12,则抛物线的准线方程为()A.x=-4B.x=-3C.x=-2D.x=-110.已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,点M在抛物线C上,且|MO|=|MF|=32(O为坐标原点),则MOF的面积为()A.22B.12C.14D.211.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的两条渐近线与抛物线y2=4x的准线分别交于A,B两点,O为坐标原点,若SAOB=23,则双曲线的离心率e=.12.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的渐近线方程为y=33x,若抛物线y2=8x的焦点与双曲线C的右焦点重合,则双曲线C的方程为.13.已知F是抛物线C:x2=12y的焦点,P是C上的一点,直线FP交直线y=-3于点Q.若PQ=2FP,则|PQ|=.能力提升14.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左顶点为A,过双曲线的右焦点F2作x轴的垂线交C于点M,点M位于第一象限,若AF2M为等腰直角三角形,则双曲线C的离心率为()A.3B.2C.1+22D.22-115.设椭圆x2m2+y2n2=1,双曲线x2m2-y2n2=1(其中mn0)的离心率分别为e1,e2,则()A.e1e21B.e1e21C.e1e2=1D.e1e2与1大小不确定16.设F1,F2分别是椭圆x2+y2b2=1(0b0,b0)的右焦点,过坐标原点的直线依次与双曲线的左、右支交于点P,Q,若|PQ|=2|QF|,PQF=60,则该双曲线的离心率为()A.3B.3+1C.2+3D.4+2318.已知直线l过抛物线C:y2=4x的焦点,l与C交于A,B两点,过点A,B分别作C的切线,且交于点P,则点P的轨迹方程为.限时集训(十五) 基础过关1.C解析 由双曲线的方程y2a2-x29=1(a0),可得其一条渐近线的方程为y=-a3x,所以-a313=-1,解得a=9,所以双曲线的实轴长为2a=18,故选C.2.B解析 设点M(xM,yM),N(xN,yN).易知抛物线y2=4x的准线方程为x=-1.由|MF|+|NF|=6,可得xM+1+xN+1=6,即xM+xN=4,MN的中点的横坐标为xM+xN2=2,故选B.3.A解析 设点P(xP,yP).SF1PF2=12|F1F2|yP|,当P为短轴端点B时,F1PF2的面积最大,此时OBF1=3,又mn0,tan3=3n,n=3,m=n+32=12,故选A.4.D解析 设点A(x1,y1),B(x2,y2),则y12=4x1,y22=4x2,两式相减得(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2).因为AB的中点为(2,1),所以y1+y2=2,所以y1-y2x1-x2=4y1+y2=42=2,即直线l的斜率为2,由点斜式得直线l的方程为y-1=2(x-2),化简得y=2x-3,故选D.5.A解析 由题得2c=23a,|ab|a2+b2=2,c2=a2+b2,a2=3,b2=6,双曲线的标准方程为x23-y26=1,故选A.6.A解析 由题意得,双曲线的渐近线y=bax与圆(x-3)2+(y-1)2=1相切,即圆心(3,1)到直线y=bax的距离为1,则|3ba-1|1+b2a2=1,解得b=3a,则c2=a2+b2=4a2,e=ca=2,故选A.7.A解析 不妨设点M在第一象限.因为四边形MNPQ为矩形,所以|PQ|=|MN|,圆心F到准线的距离与到MN的距离相等,所以M点的横坐标为3,代入抛物线方程,可得M(3,23),N(3,-23),所以|MN|=43,|NP|=4,从而求得矩形MNPQ的面积S=443=163,故选A.8.D解析 由题意及双曲线的离心率定义可知,双曲线的离心率e=|AB|DB|-|DA|.由|AB|=2|CD|=4,BAD=60,可得|DA|=2,|DB|=23,所以e=423-2=3+1,故选D.9.C解析 由题得双曲线的方程为x2a2-y23a2=1(a0),所以c2=a2+3a2=4a2,即c=2a.所以双曲线的右焦点和抛物线的焦点重合.由题得|PF1|+|PF2|=12,|PF1|-|PF2|=2a,所以|PF2|=6-a,则0a0,b0)的渐近线为y=bax,抛物线y2=4x的准线为x=-1,所以A-1,ba,B-1,-ba,因此SAOB=1212ba=23,所以b=23a,所以c=13a,e=ca=13.12.x23-y2=1解析抛物线y2=8x的焦点为(2,0),且抛物线的焦点与双曲线C的右焦点重合,c=2.双曲线C的渐近线方程为y=33x,ba=33,又c2=a2+b2,a2=3,b2=1,双曲线C的方程为x23-y2=1.13.8解析 由题知F(0,3),直线y=-3为抛物线C的准线,如图所示,记直线y=-3与y轴的交点为N,过点P作PMQN,垂足为M.因为|PM|=|PF|,|PQ|=2|FP|,所以|PQ|=2|PM|,所以PQM=30,又因为|FN|=6,所以|FQ|=12,故|PQ|=23|FQ|=8,故答案为8. 能力提升14.B解析 依题意得|F2M|=b2a,|AF2|=a+c,由于AF2M为等腰直角三角形,则|F2M|=|AF2|,即b2a=a+c,得b2=a2+ac,c2-a2=a2+ac,c2-ac-2a2=0,两边同时除以a2得e2-e-2=0,可得e=2,故选B.15.B解析 在椭圆x2m2+y2n2=1(mn0)中,c1=m2-n2,e1=c1m=m2-n2m.在双曲线x2m2-y2n2=1(mn0)中,c2=m2+n2,e2=c2m=m2+n2m.则e1e2=m2-n2mm2+n2m=m4-n4m4=1-(nm)41,故选B.16.D解析 由题意得|AF2|=b2,A(c,b2),F1(-c,0).设B(x,y),由|AF1|=3|F1B|,得(-2c,-b2)=3(x+c,y),则x=-53c,y=-13b2,故B-53c,-13b2,代入椭圆方程可得-53c2+(-13b2)2b2=1,又b2+c2=1,解得c=33,所以e=ca=33,故选D.17.B解析 连接PF.|PQ|=2|QF|,PQF=60,PFQ=90,设双曲线的左焦点为F1,连接F1P,F1Q,由对称性可知四边形F1PFQ为矩形,且|F1F|=2|QF|,|QF1|=3|QF|,故e=2c2a=|F1F|QF1|-|QF|=23-1=3+1,故选B.18.x=-1解析 不妨将抛物线旋转为x2=4y,直线l旋转为直线l,则l的斜率存在.设直线l的方程为y=kx+1,旋转后A,B两点的坐标分别为x1,14x12,x2,14x22.由x2=4y,y=kx+1,得x2-4kx-4=0.由x2=4y,得y=12x,则抛物线x2=4y在点A处的切线方程为y-14x12=12x1(x-x1).同理可得抛物线x2=4y在点B处的切线方程为y-14x22=12x2(x-x2).由y-14x12=12x1(x-x1),y-14x22=12x2(x-x2)得y=14x1x2,再由式可得x1x2=-4,所以y=-1.故原抛物线C对应的点P的轨迹方程为x=-1.
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