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专题能力提升练 四排列组合、二项式定理(45分钟80分)一、选择题(每小题5分,共60分)1.从5个不同的小球中选4个放入3个箱子中,要求第一个箱子放入1个小球,第二个箱子放入2个小球,第三个箱子放入1个小球,则不同的放法共有()A.120种B.96种C.60种D.48种【解析】选C.第一步,从5个不同的小球中选4个,共有C54=5种不同的方法;第二步,从选出的4个小球中选出1个放入第一个箱子,共有C41=4种不同的方法;第三步,从剩余的3个小球中选出2个放入第二个箱子,共有C32=3种不同的方法;第四步,将最后1个小球放入第三个箱子,共有C11=1种不同的方法.故不同的放法共有5431=60种.2.(xx开封一模)(x-y)10的展开式中,x7y3的系数与x3y7的系数之和等于()A.-60B.-120C.-180D.-240【解析】选D.因为(x-y)10的展开式中含x7y3的项为C103x10-3y3(-1)3=-C103x7y3,含x3y7的项为C107x10-7y7(-1)7=-C107x3y7.由C103=C107=120知,x7y3与x3y7的系数之和为-240.3.8名学生和2位老师站成一排合影,2位老师不相邻的排法种数为()A.A88A92B.A88C92C.A88A72D.A88C72【解析】选A.不相邻问题用插空法,8名学生先排有A88种排法,产生9个空,2位老师插空有A92种排法,所以共有A88A92种排法.4.使x2+12x3n(nN*)展开式中含有常数项的n的最小值是()A.3B.4C.5D.6【解析】选C.x2+12x3n(nN*)展开式的通项公式为Tr+1=Cnr12rx2n-5r,令2n-5r=0,求得2n=5r,可得使二项式的展开式中含有常数项的n的最小值是5.5.(xx商丘二模)高考结束后6名同学游览我市包括日月湖在内的6个景区,每名同学任选一个景区游览,则有且只有两名同学选择日月湖景区的方案有()A.A62A54种B.A6254种C.C62A54种D.C6254种【解析】选D.根据题意,分2步进行分析:,先6名同学中任选2人,去日月湖景区旅游,有C62种方案,对于剩下的4个同学,每人都有5种选择,则4人有5555=54种方案,则有且只有两名同学选择日月湖景区的方案有C6254种.6.(xx广州一模)x+1x(1+2x)5的展开式中,x3的系数为()A.120B.160C.100D.80【解析】选A.x+1x(1+2x)5=x(1+2x)5+1x(1+2x)5,因为x(1+2x)5的展开式中含x3的项为xC52(2x)2=40x3,1x(1+2x)5的展开式中含x3的项为1xC54(2x)4=80x3.所以x+1x(1+2x)5的展开式中,x3的系数为40+80=120.7.冬季供暖开始前,需分配出5名水暖工去3个不同的居民小区检查暖气管道,每名水暖工只去一个小区,且每个小区都要有人去检查,那么分配的方案共有()A.25种B.50种C.75种D.150种【解题指南】依题意,可分两类:(3,1,1);(2,2,1);利用排列组合的知识解决即可.【解析】选D.根据题意,分配5名水暖工去3个不同的小区,要求5名水暖工都分配出去,且每个小区都要有人去检查,5人可以分为(2,2,1),(3,1,1),分组方法共有C52C32A22+C53=25种,分别分配到3个不同的小区,有A33种情况,由分步乘法计数原理,可得共25A33=150种不同分配方案.8.(x2+2)1x-15展开式中的常数项是()A.12B.-12C.8D.-8【解析】选B.1x-15的展开式的通项为Tr+1=C5r1x5-r(-1)r=(-1)rC5rxr-5.取r-5=-2,得r=3,取r-5=0,得r=5.所以(x2+2)1x-15展开式中的常数项是-C53-2C55=-12.9.若(1+3)5=a+b3(a,b为有理数),则b=()A.1B.5C.44D.81【解题指南】由题意(1+3)5=a+b3(a,b为有理数),利用二项式定理求得b的值.【解析】选C.由题意(1+3)5=a+b3(a,b为有理数),由二项式定理可得,a=C50+C523+C549=76,b=C51+C533+C559=44.10.(xx咸阳二模)汉中最美油菜花节期间,5名游客到四个不同景点游览,每个景点至少有一人,则不同的游览方法共有()A.120种B.625种C.240种D.1 024种【解析】选C.由于每个景点至少一人,故必有一个景点有2名游客,第一步,选出2名游客组成一组,共有C52=10种方法,第二步,将选出的2名游客看作一个整体,和剩余的3名游客进行排列,共有A44=24种方法,所以不同的游览方法有1024=240种.11.(1+x)6(1+y)4的展开式中,记xmyn项的系数为f(m,n),则f(3,0)+f(0,3)=()A.9B.16C.18D.24【解析】选D.(1+x)6(1+y)4的展开式中,含x3y0的系数是:C63C40=20,f(3,0)=20;含x0y3的系数是C60C43=4,f(0,3)=4;所以f(3,0)+f(0,3)=24.12.(x2+1)1x-25的展开式的常数项是()A.5B.-10C.-32D.-42【解析】选D.由于1x-25的通项为Tr+1=C5r1x5-r(-2)r=C5r(-2)rxr-52,故(x2+1)1x-25的展开式的常数项是x2C51(-2)1x-2+1C55(-2)5x0=-42.二、填空题(每小题5分,共20分)13.(xx浙江高考)二项式3x+12x8的展开式的常数项是_.【解析】通项公式为Tr+1=C8r(3x)8-r12xr=C8r2-rx8-4r3,由8-4r=0得r=2,所以常数项为C822-2=7.答案:7【加固训练】 (xx渭南市二模)设a=01 2xdx,则二项式ax2-1x6展开式中的常数项为_.【解析】a=01 2xdx=x201=1,则二项式ax2-1x6=x2-1x6的展开式中的通项公式:Tr+1=C6r(x2)6-r-1xr=(-1)rC6rx12-3r,令12-3r=0,解得r=4.所以常数项为C64=15.答案:1514.(xx郑州一诊) 已知(1+x)(a-x)6=a0+a1x+a2x2+a7x7,aR,若a0+a1+a2+a6+a7=0,则a3=_.【解析】(1+x)(a-x)6=a0+a1x+a2x2+a7x7中,令x=1得,a0+a1+a7=2(a-1)6=0,解得a=1,而a3表示x3的系数,所以a3=C63(-1)3+C62(-1)2=-5.答案:-5【加固训练】x-12x6展开式中的常数项为_.【解析】二项式x-12x6展开式的通项公式为Tr+1=C6rx6-r-12xr=-12rC6rx6-3r2,令6-3r2=0,解得r=4;所以展开式中的常数项为-124C64=1516.答案:151615.如图,某建筑工地搭建的脚手架局部类似于一个223 的长方体框架,一个建筑工人欲从 A处沿脚手架攀登至 B处,则其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为_.【解析】根据题意,最近路线,那就是不能走回头路,不能走重复的路,所以一共要走3次向上,2次向右,2次向前,一共7次,所以最近的行走路线共有:n=A77=5 040,因为不能连续向上,所以先把不向上的次数排列起来,也就是2次向右和2次向前全排列A44,接下来,就是把3次向上插到4次不向上之间的空当中,5个位置排三个元素,也就是A53,则最近的行走路线中不连续向上攀登的共有m=A44A53=1 440种,所以其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率p=mn=1 4405 040=27.答案:2716.(xx洛阳二模)在(1+x)2(1-x)5展开式中,含x5项的系数是_.【解析】(1+x)2(1-x)5=(1+2x+x2)(1-5x+10x2-10x3+5x4-x5),所以展开式中含x5项为-x5+2x5x4+x2(-10x3)=-x5;所以含x5项的系数是-1.答案:-1
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