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2019 年高二数学下学期期中试题理 考试时间：120 分钟 满分：150 分 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1.下列命题中为真命题的是( ) A. 命题“若，则”的逆命题 B. 命题“，则”的否命题 C. 命题“若，则”的否命题 D. 命题“若，则”的逆否命题 2.如图，是函数的导函数的图象，则下面判断正确的是( ) A在区间上是增函数 B在上是减函数 C在上是增函数 D当时，取极大值 3.函数在上的最小值为( ) A B C D. 4.对于空间任意一点和不共线的三点， ， ，且有，则， ，是,四点共面的( ) A必要不充分条件 B充分不必要条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件 5.曲线与直线及直线所围成的封闭图形的面积为( ) A. B. C D 6.已知双曲线 C：的离心率为，则 C 的渐近线方程为( ) A. B. C. D. 7.已知是抛物线的焦点，是该抛物线上的动点，则线段中点的轨迹方程是（ ） A. B. C. D. 8.表示不超过的最大整数，例如：. ,215143121093 S ， 依此规律，那么等于( ) A B C D 9.若存在过点的直线与曲线和都相切，则 的值是( ) A B. C或 D或 10.已知点是抛物线的一点，为抛物线的焦点，在圆上，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 11.设函数在上存在导数，对任意的有，且时，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 12.已知双曲线上有一点，它关于原点的对称点为，点为双曲线的右焦点，且满足，设，且， 则该双曲线 离心率的取值范围为（ ） A B C D 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13.已知命题，总有，则的否定为 14.已知方程表示椭圆，则的取值范围为 15.双曲线:的左、右顶点分别为， ，点在上且直线斜率的取值范围是，那么直线斜率的取值 范围是 16.，对任意，不等式恒成立，则正数的范围是 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.（10 分）已知，命题对任意，不等式恒成立； 命题存在 ，使得成立 （1）若为真命题，求的取值范围； （2）当，若且为假，或为真，求的取值范围 18.（12 分）如图，正三棱柱的所有棱长都为，为中点 （1）求证：平面； （2）求锐二面角的余弦值 19.（12 分）已知函数 （1）若函数处取得极值，求实数的值；并求此时上的最大值； （2）若函数不存在零点，求实数的取值范围 20.（12 分）已知抛物线的对称轴为坐标轴，顶点为坐标原点，准线方程为，直线 与抛物线相交于不同的、两点 （1）求抛物线的标准方程； （2）如果直线过抛物线的焦点，求的值； （3）如果，直线是否过一定点，若过一定点，求出该定点；若不过一定点，试说明理由 21.（12 分）已知椭圆，离心率.左焦点为，过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为. （1）求该椭圆的方程； （2）过椭圆的左焦点的任意一条直线与椭圆交于两点，在轴上是否存在定点使得轴平分,若 存在，求出定点坐标，若不存在，说明理由 22.（12 分）已知函数（其中）在点处的切线斜率为 1 （1）用表示； （2）设，若对定义域内的恒成立，求实数的取值范围； （3）在（2）的前提下，如果，证明： 参考答案 15. 16. 17.（1） -5 分 （2） -10 分 18 （1）取 BC 中点 O，连结 AOABC 为正三角形，AOBC 在正三棱柱 ABCA 1B1C1中，平面 ABC平面 BCC1B1，AO平面 BCC1B1 取 B1C1中点 O1，以 O 为原点， ， ，的方向为 x，y，z 轴的正方向建立空间直角坐标系： ，如图所示，则 B(1，0，0)， D(1，1，0)， A1(0，2，)， A(0，0，)， B1(1，2，0)， ， ， ， ， ， ， AB1平面 A1BD -6 分 （2）设平面 A1AD 的法向量为 ， ， ， ， 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A C B B D C B A D C A A 令得为平面 A1AD 的一个法向量 由（1）知 AB1平面 A1BD，为平面 A1BD 的法向量， 锐二面角 A A1D B 的大小的余弦值为 -12 分 19. (1) -6 分 （2） ，由于 当时，是增函数， 且当时， 当时， ， ，取， 则，所以函数存在零点 当时， 在上单调递减，在上单调递增，所以时取最小值 函数不存在零点，等价于 ， lnll2ln0afeaa 解得 综上所述：所求的实数的取值范围是 （其它正确解法也给分） - 12 分 20.解：（1） 已知抛物线的对称轴为坐标轴，顶点是坐标原点，准线方程为 ， 所以 ， 所以抛物线的标准方程为 -4 分 （2） 设 ，与 联立，得 ， 设 ， ， 所以 ， ， 所以 -8 分 （3） 假设直线 过定点，设 ， 得 ， 设 ， ， 所以 ， 由 解得 ， 所以 过定点 -12 分 21.解：解：（1） 解得： 22213cbab -4 分 （2）假设在 x 轴上存在点，使得轴平分, 当斜率不存在时，点 P 显然存在，当斜率存在时，设：与椭圆交于两点 -6 分 又因为轴平分, -8 分 整理得 ，去分母得 -12 分 22.(1) -2 分 (2)恒成立，分离变量可得 对恒成立， 令，则。 这里先证明，记，则， 易得在上单调递增，在上单调递减， ，所以。 因此， ，且时， 所以，实数的取值范围是。 -7 分 （3）由（2）知，且在单调递减；在单调递增， -12 分
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