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,第五章定积分及其应用,第一节定积分及其计算,第二节定积分在几何上的应用,第三节定积分在物理上的应用,第一节定积分及其计算,一.定积分的概念与性质,二.微积分基本公式,本节主要内容:,三.定积分的积分法,四.反常积分,一.积分的概念与性质,(一)定积分问题举例,1.曲边梯形的面积,设曲边梯形是由连续曲线,以及两直线,所围成,求其面积A.,显然,小矩形越多,矩形总面积越接近曲边梯形面积.,观察下列演示过程,注意当分割加细时,矩形面积和与曲边梯形面积的关系.,观察下列演示过程,注意当分割加细时,矩形面积和与曲边梯形面积的关系.,播幻灯片75放,解决步骤:,1)分割,2)取近似,3)求和,4)取极限,解决步骤:,1)分割,在区间a,b中任意插入n1个分点,用直线,将曲边梯形分成n个小曲边梯形;,2)取近似,在第i个窄曲边梯形上任取,作以,为底,为高的小矩形,并以此小,梯形面积近似代替相应,窄曲边梯形面积,得,3)求和,4)取极限,令,则曲边梯形面积,2.变速直线运动的路程,解决步骤:,1)分割,2)取近似,3)求和,4)取极限,解决步骤:,1)分割,将它分成,在每个小段上物体经,2)近似,得,n个小段,过的路程为,2.变速直线运动的路程,3)求和,4)取极限,上述两个问题的共性:,(二)定积分的概念,定义5.1.1设函数f(x)在区间a,b上有定义,分割:任取分点把区间a,b分割成n个小区间xi-1,xi,第i个小区间的长度为，记近似:在每个小区间xi-1,xi上任取一点i(i=1,2n)求和：作和式,取极限：当0时,若极限存在(这个极限值与区间a,b的分法及点i的取法无关)，则称函数f(x)在a,b上可积,并称这个极限为函数f(x)在区间a,b上的定积分，记作,即,说明：,1.闭区间上的连续函数是可积的;闭区间上只有有限个间断点的有界函数也是可积的,2.定积分是一个确定的常数，它取决于被积函数f(x)和积分区间a,b，而与积分变量使用的字母的选取无关，即有,3.在定积分的定义中,有aa，若极限存在,则称此极限为函数f(x)在a,+)上的广义积分,记作，即此时也称广义积分收敛;如果上述极限不存在,就称发散.,类似可定义:,只要有一个极限不存在,就称,发散.,引入记号,则有类似NL公式的计算表达式:,例30求,例31讨论的敛散性.,例32求,例33求,(二)无界函数的广义积分瑕积分,定义5.1.3设函数f(x)在区间(a,b上连续且.取Aa,如果极限存在,则称此极限为函数f(x)在(a,b上的广义积分,记作即此时也称广义积分收敛,否则就称广义积分发散.A称为瑕点.,类似可定义:,（1）x=b为f(x)的无穷间断点时:,（2）无穷间断点x=c位于区间(a,b)内:,若瑕点,的计算表达式:,则也有类似牛莱公式的,若b为瑕点,则,若a为瑕点,则,若a,b都为瑕点,则,则,当上式右边两个广义积分都收敛,称广义积分收敛.,例34求,所以广义积分发散.,例35讨论的敛散性.,内容小结:,1.定积分的概念与性质,2.微积分基本公式,8个性质,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,3,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,13,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,23,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,33,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,43,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,53,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,63,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,73,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,83,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,93,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,103,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,113,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,123,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,133,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,143,
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