2018年电大专科微积分基础小抄

I电大小抄电大专科微积分基础小抄一、填空题 （每小题 4 分，本题共 20 分）函数的的基本知识（一般是填空题的第 1 题）1 函数 的定义域是xxf)2ln(1),2(2 函数 的定义域是24)l()f,1,(3 函数 的定义域是2)ln()xxf2,0,(4 函数 的定义域)l(1)f是 ,(5 函数 的定义域)2ln()xf ),1(),2(6 函数 的定义域是 (,3,7 函数 的定义域)2ln(1)xf ),(),8 函数 的定义域是,2,19 函数 的定义域是（-2，2）41)(xf10 函数 的定义域是f5)5,(11 函数 的定义域是xx)1ln(),0,1(12 函数 ，则 742f )(f13 如果是 ，则是 x2-2214 函数 ，则 )(xxf f615 如果是 ，则12)(116 函数 ，则ff2x17 函数 ，则54)(2xx18 设 ,则f)(f19 若函数 ，则 =2112x20 若函数 (),6fxxf则21 函数 ，则42)(222 函数 的单调增加区间是 3y,16.函数 的定义域是xxf5)ln() 5,3(),极限与连续（一般是填空题的第 2 题）1 若 ，则 24sinlm0kxk2 若 ，则 3si63 若 ，则3nl0kx2k4 2xi5 1xsinlm6 0 x2x2sinl017 若函数 ,在 处连续，则,)(kf 02k8 函数 ，则 2e2)(xxf )(f9 若函数 ,在 处连续，0,13sin)(kf x则 1k10 设函数 在 x = 0 处连,2sin)(xf续，则 k = -111 若函数 在 x = 0 处连续，1sin,()xkf则 k = 112 函数 的间断点是 32xy1导数的几何意义（一般是填空题的第 3 题）1 曲线 在点 处的切线方程是 e)1,0(xy2 曲线 在点 处的切线方程是 xy, 23 曲线在 在点（1， 1）处的切线方程是234 曲线在任意一点处的切线斜率为 ，且曲线过点x（1，1） ，则曲线方程为 312y5 曲线 在 点的切线斜率是 1)(xf),0(6 曲线 在点（1，2 ）处的切线斜率是12II电大小抄7 曲线 在点 处的切线斜率是 xy)1,(218 曲线 在 处切线的斜率是e24e9 曲线 在 处的切线斜率是 1)(xf2,010.已知曲线 在任意点 处切线的斜率为 ，且曲fyxx线过 ，5,4则该曲线的方程是 312导数与积分（一般是填空题的第 4 题）1.若 y = x (x 1)(x 2)(x 3)，则 (0) = -6y2.已知 ，则 = f)(f2)lnx3.已知 ，则 = 33l1(74.已知 ，则nxf1)(2)(xf4.若 ，则 = c2sidcos5. 0e1)l(x6. d2cxln7.若 是 的一个原函数，则 )(f )(xf若 的一个原函数为 ，则x2l 2lnxc若 的一个原函数为 ，则xe4e8. xde229. s)in(csi10.若 ，则xFf)(xfd)32(x)32(1若 ，则cf(df)1(22F11. 4xx)35(112 = 2dexC13若 =-cosx+csin14由定积分的几何意义知， adx0224a15.若 ，则 -4cos2xcxxf2osd)( )(f16.若 则 =ln1x若 ，则 =cxfsi)()(f2cos17. xxd)2cos(in1 3218. )(xl19.若 ，则xfe)0(f2若 ，则 =-1cos若 ，则f)(f xcossin若 ，其中 是常数，则3inax)(fin20.函数 的单调增加区间是y12),121. 函数 在区间 内单调增加，则 a(f0(应满足 022. 2xxd)cos4(2523. a021a24. xde微分方程的基本知识（一般是填空题或选择题的第 5 题）1.微分方程 的特解为 通解为1)0(,yxyeexy2.微分方程 满足初始条件 的特解为2 1)0(123.微分方程 的通解为03yxcey34微分方程 的阶数为 3xsin4)(55. 为 3 阶微分方程.y2iln)(6.微分方程 的阶数为 4 yi5)(37.微分方程 的阶数是 3xxesi48.微分方程 的阶数为 4yin)(7)(39.微分方程 的阶数是 3042y10.微分方程 的阶数为 43()52six11微分方程 的阶数是2x12.微分方程 的阶数为 53(5)6()4inyy13.微分方程 的通解为0c二、单项选择题（每小题 4 分，本题共 20 分）函数的的基本知识（一般是单项选择题的第 1 题） 设函数 ，则该函数是（A ） 如果是xysin选 b 奇函数xysin2A偶函数 B奇函数 C非奇非偶函数 D既奇又偶函数2下列函数中为奇函数是（D ） A B C Dxsixln2x)1ln(2III电大小抄3.设函数 ，则该函数是（B ） 210xyA奇函数 B偶函数 C非奇非偶函数 D既奇又偶函数4.设函数 ，则该函数是（B ） exyA奇函数 B偶函数 C非奇非偶函数 D既奇又偶函数5.设函数 ，则该函数是（A ） 2exyA 奇函数 B偶函数 C非奇非偶函数 D既奇又偶函数6.函数 的图形关于（A.）对称exyA.坐标原点 B. 轴 C 轴 xyD. 7.函数 的图形是关于（D. ）对称2()xfA B.x 轴 C.y 轴 D.坐y标原点8.函数 在区间 是（A ）642x)4,(A先减后增 B先增后减 C单调减少 D单调增加 9.函数 在区间 是（C ）72y)2,(A单调减少 B单调增加 C先减后增 D先增后减10.函数 在区间 是（D ）2)1(x),(A单调增加 B单调减少 C先增后减 D先减后增11函数 在区间 是（B ）2y),(A单调下降 B先单调下降再单调上升 C先单调上升再单调下降 D单调上升12.下列函数在指定区间 上单调减少的是（D ） (,)A B C Dxsinxe2x313.下列函数在指定区间 上单调增加的是（B ） ,A B C D. ix 25下列各函数对中， （ D ）中的两个函数相等A ， B ，2)(xfg()(xfxg)(C ， D ，lnf xln3lnf314函数 的定义域为（D ） xyl41或 是 且)5n(x4A B C 且 D 且0010x415.函数 的定义域是（C.）()ln1)xfA. B. C. D. -1, (0,+ (-l,0),)(0)16.设 ，则 （D ）32xxfxfA B C D244217.设 ，则 （C ）1)(f )(fA B C Dx2x )1(x18. 设 ，则 （A ）f xfA B C D)(2)2(12x极限与连续（一般是单项选择题的第 2 题）1.若函数 ，则 （A ）.xfsin)()(lim0xfA B0 C1 2D不存在2. 已知 ,当( C.)时, 为无穷小量. sin()1xf)(xfA. B. C. D. xx3.当 时，下列变量中为无穷小量的是（C ）.0A B C Dx1xsin)1ln(x2x4.已知 ,当 ( D.)时, 为无穷小量. f)(fA. B. C.1 D.0 5.当 （C ）时，函数 ，在k0,2)(xkxf处连续. 0A 0 B1 C2 D3 6.当 （D ）时，函数 在 处k0,)(xkexfx连续.A 0 B1 C2 D3 7当 （C ）时，函数 在 处k0,1e)(xkxfx连续.A 0 B1 C2 D1e8.当 =（A ）时，函数 ，在 处k0,1)(xkxf连续.A 1 B2 C D0IV电大小抄9. 当 =（B ）时，函数 ，在k21,0()xfk处连续.0xA 0 B-1 C1 D 210.函数 的间断点是（A ）23)(2xfA B C ,1x3,xD无间断点导数与积分（一般是单项选择题的第 3，4 题）1函数 在 处的切线方程是（C.） xfln)(eA. B. C. D.ye1y1exyx2.在切线斜率为 2x 的积分曲线族中，通过点（1, 4）的曲线为（C ） A B Cy = x2 + 3 D 1y2yy = x2 + 4 3.下列结论中（C ）正确 A 在 处连续，则一定在 处可微.B 函数的极)(f0x0值点一定发生在其驻点上.C 在 处不连续，则一定在 处不可导. D函)(fx数的极值点一定发生在4.若函数 f (x)在点 x0 处可导，则(B)是错误的 不可导点上.A函数 f (x)在点 x0 处有定义 B ，但Axf)(lim00C函数 f (x)在点 x0 处连续 D函数 f (x)在点 x0 处可微 5. 满足方程 的点一定是函数 的（C ） fA极值点 B最值点 C驻点 D间断点6 下列等式中正确的是（D. ） A . B. )cosd(sinxx)1d(lnxC . D. a217.以下等式成立的是（A ）A B 3lndxx)(d122xC D lnx8.设 ，则 （D ） yxlg2dyA B C D1l10xd1dxln09.若 ，则 （B. ）.)()(xf f)(A. B. cx2 cxC. D. 31x23若 ，则 （ A ）.fx2ed)( )(fA. B. C. D. )x2ex2ex2e设 是可微函数，则 （ D ） fycosdfA B x2(cos din)(C Dfin) xf10.下列等式成立的是（A ） A B (d(xffx )()(fxfC D)d11. （A.）f(A. B. cx)cxf)(C. D. f(21112.如果等式 ，则 （B.）cxf11ed)(xfA. B. C. D. x12213. 下列无穷积分收敛的是（B ） A B C D0dins02dex1dx1x14. ( D.)2cos)i.(xeA.0 B.1 C. D.34=（ c ） xad2A B C Dxadln2x215.设 是连续的奇函数，则定积分 （D ）)(xf af-d)(A B C 0-d2a0-)(axfaxf0)(D016. 下列结论中( A )不正确. A. 在 处连续，则一定在 处可微 )fx00B. 在 处不连续，则一定在 处不可导xC. 可导函数的极值点 一定发生在其驻点上 D. 若 在 a ， b 内 恒有则在 a ， b ()f()f内 函数是单调下降的17.若 （B.）11xxfedcf， 则V电大小抄A. B. C. D. 21x21xx1x18.若 ，则 k=( A )0()kdA. 1 B. -1 C. 0 D. 219.下列定积分中积分值为 0 的是（ A ） A B xxd2e1 xxd2e1C D)cos(3 )sin(20. （ D ） xdin2-A 0 B C D22微分方程的基本知识（一般是填空题或选择题的第 5 题）1.微分方程 的阶数为（B. ） 若是xyxysin4)(534xy(4)则选 cA. 2； B. 3； C. 4； D. 52. 微分方程 的阶数为（C.）i)(5A. 1 B. 2 C. 3 D. 53.微分方程 的通解是（A.）1yA. ；B. ；C. ；D. exC1eCxCxyy24.微分方程 的通解为（B. ）1yA. ；B. ； C. ； D. excexccxy21y5微分方程 的特解为（C ） 1)0(,yA B C D 2.0xxxye1ey6.函数 是微分方程（D. ）的解2xA. B. C. D. 0y20y07.微方程 的通解为（C.）yA. B. C. D. cxexcexce8.下列微分方程中为可分离变量方程的是（B. ）A. ； B. ； yxdyxdC. ； D. sin)(9.下列微分方程中， （D ）是线性微分方程 A B yyxco2 xysinC Dyxyln xyxylnesin三、计算题（本题共 44 分，每小题 11 分）VI电大小抄计算极限（一般是计算题的第 1 题）计算极限 1 解：原式2386lim2xx 214lim)(24li2xxx2.计算极限 2 解：4li2x3.计算极限 3 解：原式lix 4)2(1li2xx4.计算极限 4 解：原式4586lim24x 321limli4xx5计算极限 5 解：原式 如果是 解也倒过来写9li3x 3)(1lim3x 9li2x6计算极限 6 解：li2x 5)(li62li2 xx7计算极限 7 解：3lim21x 312lim121 xlinx8.计算极限 8 解：原式95li3x 4)3(5li3x9.计算极限 9 解：原式4li21x 31li1li xx10.计算极限 10 解：原式5limx 2645lim)(45li11xx11.计算极限 11 解：2li68x22=lilixx原 式12.计算极限 12 解：13li21x计算极限 解：5limx 165lim21x 2716lim)(1li xxx13.计算极限 13 解：2136x2=x原 式计算极限 解：58li2x 658li2x 34li)(li22 xx14.计算极限 14 解：原式3m1xx 1m)1(xx15.计算极限 xli0解： xli0 )1(li)1(li 00 xxxx 21li0xx16.计算极限 x4sin1m解： xi1l0)1(il0xx 81)1(4sinlm)1(4sinlm00 xxxx17.计算极限 24sinxVII电大小抄解： 24sinlm0x )24)(sinl0xx 16)24(lim4)2(4sinlm00 xsxxx求导数 或求微分 （一般是计算题的第 2 题）yyd1. 设 ，求 1 解： x1e 211(eyx2.设 2 解： 1,xyey求 1231()xxyex3设 ，求 . 3 解：x12 )1(e21xxy )1(ex4设 ，求 . 4 解：y3cos5siny sinco35s2 x2cosin5cos设 ，求 解： ico5设 ，求 . 5 解：xsl23 xxytacs22116 设 ，求 . 6 解： y3conyd )in(32 xyd)cosin31(d27.设 ，求 . 7 解： xse2 yxse xe28.设 ，求 . 8 解： yxl1y 121 y)1(9.设 ，求 . 9 解：xecosnd10.设 ，求 . 10 解：xxycoslnyd11.设 ，求 11 解： xyx3sin2ydxyx3cos2ln dxdyx)3cos2ln(12.设 ，求 12 解： e 1ee113.设 ，求 . 13 解： xxycosyxxyesil3 xyxx)sil(14.设 ，求 . 14 解： 1inld)1(co2 dcod215. 设 ，求 . 15 解： xy3cosyxsyin3 xsxy)in3(116. 设 是由方程 确定的隐函数，求)( 42xdVIII电大小抄解：两边微分： 0)(2xdyyxd xdyxdy22dxy217. 设 是由方程 确定的隐函数，求)(y12解：两边对 求导，得：2 0)(， ， 0x )()( 118.设 是由方程 确定的隐函数，求)( 4e2xyx yd解：两边微分，得： ，0dxd dxeeyx)2(dxeyyx219.设 ，求1)cos(yx解：两边对 求导，得： e 0)sin()1(yy 0)sin(sin( y)sin()sin( yxyey xe dxedxyy计算不定积分（一般是计算题的第 3 题）1 计算不定积分 1 解： = d)2(10xd)12(0 cxx110)2()(d)2(2.计算不定积分 2 解： = x99 09-3计算不定积分 3 解：d)15（ cddx xxx 655 )21()21()(2)(计算不定积分 解：xexe ceee4.计算不定积分 4 解： = dcos2d1cos2xx1sindcos5.计算不定积分 5 解：21inx2ini()cx6.计算不定积分 6 解：xde217计算不定积分 7 解:1 cxxx1112ede8.计算不定积分 8 解： = xdsinsinCxos2sin9计算不定积分 9 解：co cdxdxinco2co10计算不定积分 10 解： = xd)1(2)1(xx32)(12)()1(11计算不定积分 11 解：xe5ceeddxex 55512.计算不定积分 12 解： = dcoscos xsosiniin计算不定积分 2in解： xsi )2s(21s1xdx cx2si41coIX电大小抄13.计算不定积分 解：xxdsin3xxdsin3xdsin13cxos2ln3计算定积分（一般是计算题的第 4 题）1.计算定积分 1 解：xdln13exxdln13e 2ln12)ln1d(l 33 11 ee xx2.计算定积分 2 解： x5e1 l5e1 ee 121 )5l(0)5l)(l( 7)36(03.计算定积分 3 解：d0xd001d0xxe4.计算定积分 4 解：xe1 e1 22215.计算定积分 5 解：xd0xd0 eexx06.计算定积分 6 解： xe21 1010101 222xxde e427 计算定积分 7 解：dln12 2 211lnl| ()eexdee8.计算定积分 8 解：xe9.计算定积分 9 解：dcos20 120cossin02sico20 xxdxd10计算定积分 10 解： inx 000 1i1in 2sin0x计算定积分 解：0d2sxd2sx 2cos)2(sxdxd00co)coc( 4in)(s40011.计算定积分 11 解：20sinxd222sin|cosi|1xdxxd12计算定积分 12 解：le1le1e1ln 41e4e22 13. 计算定积分 解：xxd)(22ln0 xxd)(22ln0 398)1(3)()( ln0322l0 xxxd四、应用题（本题 16 分）1.欲做一个底为正方形，容积为 32 立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？解： 设底边的边长为 ，高为 ，用材料为 ，由已知 ， ，xhy322Vhx2xh表面积 ， 实际答题时把 32 代替式中的 v,并算出来。Vy422令 ，得 ， 此时 =2042x63x,4x2由实际问题可知， 是函数的极小值点，所以当 ， 时用料最省。hX电大小抄1-1 欲做一个底为正方形，容积为 108 立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？(本题的解法与 1 同，只需把 V=62.5 代入即可。)解：设底边的边长为 ，高为 ，用材料为 ，由已知xhy22108,xhx表面积 xy431084222 令 ，解得 x3=2V=216 此时 x=6, =3 0432x 2xVh由实际问题可知， 是函数的极小值点，所以当 ， 时用料最省。6631081-2.欲做一个底为正方形，容积为 62.5 立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？解： 本题的解法与 1 同，只需把 V=62.5 代入即可。2用钢板焊接一个容积为 4 的底为正方形的无盖水箱，已知钢板每平方米 10 元，焊接费 40 元，问水箱的尺寸如何选择，3m可使总费最低？最低总费是多少？解：设水箱的底边长为 ，高为 ，表面积为 ，且有 所以 xhS24xh,164)(22xhxS216)(xS令 ，得 ， 因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以，当 时水箱的面积最小. 0)(xS2 ,此时的费用为 （元） 1604)(3.（1107 考题） 某制罐厂要生产一种体积为 V 的有盖圆柱形容器，问容器的底半径与高各为多少时用料最省？解：设容器的底半径为 ，高为 ，则其容积rh22.,.rhr表面积为 rS22， 由 得 ，此时 。24rV 03V34Vrh由实际问题可知，当当容器的底半径与高分别为 与 时，用料最省。323-1.一体积为 V 的圆柱体，问底半径与高各为多少时表面积最小？ 解： 本题的解法和结果与 3 完全相同。4.欲用围墙围成面积为 216 平方米的一块矩形的土地，并在正中用一堵墙将其隔成两块，问这块土地的长和宽各选取多大尺寸，才能使所用建筑材料最省？解：设土地一边长为 ，另一边长为 ，共用材料为xx216y于是 =3y43216243x令 得唯一驻点 （ 舍去） 012x因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以，当土地一边长为 ，另一边长为 18 时，所用材料最省.125设矩形的周长为 120 厘米，以矩形的一边为轴旋转一周得一圆柱体，试求矩形的边长为多少时，才能使圆柱体的体积最大。解：设矩形的一边长为 厘米，则另一边长为 厘米，以 厘米的边为轴旋转一周得一圆柱体，则体积 为：x60x60 V，即：)60(2xV3260xV，令 ，得：231dxd（不合题意，舍去） ， ，这时4206x由于根据实际问题，有最大体积，故当矩形的一边长为 厘米、另一边长为 厘米时，才能使圆柱体的体积最大。460XI电大小抄