闭区间上连续函数的性质.ppt

1,第十节,一、有界性与最大值最小值定理,二、零点定理与介值定理,*三、一致连续性,闭区间上连续函数的性质,第一章,2,学习指导,教学目的：了解闭区间上连续函数的性质。基本练习：了解并通过一定的练习学习最大最小值定理、有界性定理、零点定理及介值定理在函数值的估计和根的估计上的应用。3注意事项：闭区间上连续的函数有许多好的性质。应了解在闭区间上连续函数的最大最小值定理、有界性定理、零点定理及介值定理。了解定理的条件和结论，并通过一定的练习学会运用它们,3,如果函数f(x)在开区间(a,b)内连续,在右端点b左连续,在左端点a右连续,那么函数f(x)就是在闭区间a,b上连续的。,4,并非任何函数都有最大值和最小值例如，函数f(x)=x在开区间(ab)内既无最大值又无最小值,应注意的问题:,一、有界性与最大值最小值定理,最大值与最小值对于在区间I上有定义的函数f(x)如果有x0I使得对于任一xI都有f(x)f(x0)(f(x)f(x0)则称f(x0)是函数f(x)在区间I上的最大值(最小值),5,例如,6,说明:,定理1(最大值和最小值定理)在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大值和最小值,又至少有一点x2ab使f(x2)是f(x)在ab上的最小值,至少有一点x1ab使f(x1)是f(x)在ab上的最大值,定理说明如果函数f(x)在闭区间ab上连续那么,7,应注意的问题:如果函数仅在开区间内连续或函数在闭区间上有间断点那么函数在该区间上就不一定有最大值或最小值,例如函数f(x)=x在开区间(ab)内既无最大值又无最小值,定理1(最大值和最小值定理)在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大值和最小值,8,又如如下函数在闭区间02内既无最大值又无最小值,应注意的问题:如果函数仅在开区间内连续或函数在闭区间上有间断点那么函数在该区间上就不一定有最大值或最小值,定理1(最大值和最小值定理)在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大值和最小值,9,定理2(有界性定理)在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界,证明设函数f(x)在闭区间ab上连续根据定理1存在f(x)在区间ab上的最大值M和最小值m使任一xab满足mf(x)M上式表明f(x)在ab上有上界M和下界m因此函数f(x)在ab上有界,定理1(最大值和最小值定理)在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大值和最小值,10,有界性与最大值最小值定理:在闭区间上连续的函数有界且一定有最大值和最小值.,注意:1.若区间是开区间,定理不一定成立;2.若区间内有间断点,定理不一定成立.,11,二、零点定理与介值定理,注:如果x0使f(x0)=0则x0称为函数f(x)的零点,定理3(零点定理)设函数f(x)在闭区间ab上连续且f(a)与f(b)异号即f(a).f(b)0f(1)=-20根据零点定理在(01)内至少有一点x使得f(x)=0即x3-4x2+1=0这说明方程x3-4x2+1=0在区间(01)内至少有一个根是x,二、零点定理与介值定理,定理3(零点定理)设函数f(x)在闭区间ab上连续且f(a)与f(b)异号即f(a).f(b)0,那么在开区间(ab)内至少存在一点x使f(x)=0,13,定理4(介值定理)设函数f(x)在闭区间ab上连续且f(a)f(b)那么对于f(a)与f(b)之间的任意一个数C在开区间(ab)内至少有一点x使得f(x)=C,二、零点定理与介值定理,定理3(零点定理)设函数f(x)在闭区间ab上连续且f(a)与f(b)异号即f(a).f(b)0,那么在开区间(ab)内至少存在一点x使f(x)=0,14,二、零点定理与介值定理,定理3(零点定理)设函数f(x)在闭区间ab上连续且f(a)与f(b)异号那么在开区间(ab)内至少一点x使f(x)=0,推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值,定理4(介值定理)设函数f(x)在闭区间ab上连续且f(a)f(b)那么对于f(a)与f(b)之间的任意一个数C在开区间(ab)内至少有一点x使得f(x)=C,15,证,16,由零点定理,推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值.,几何解释:,17,例2,证,由零点定理,18,三、一致连续性,定理5(一致连续性定理)如果函数f(x)在闭区间a,b上连续,那么它在该区间上一致连续.,不论在区间I的任何部分，只要自变量的两个数值接近到一定程度，就可使对应的函数值达到所指定的接近程度。,定义：设函数f(x)在区间I上有定义，如果对于任意给定的正数，总存在着正数，使得对于区间I上的任意两点x1,x2，当|x1-x2|时，就有|f(x1)-f(x2)|，那么称函数f(x)在区间I上是一致连续的。,19,思考题,下述命题是否正确？,20,思考题解答,不正确.,例函数,21,五、小结,关于闭区间上连续函数整体性质的四个定理：,有界性定理、最值定理、零点定理、介值定理，,注意条件：1闭区间；2连续函数这两点不全满足时上述定理不一定成立,它们是研究连续函数性质的重要工具。,22,内容小结,在,上达到最大值与最小值;,上可取最大与最小值之间的任何值;,4.当,时,使,必存在,上有界;,在,在,23,作业,P74：2，3,