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第二十一章 21.3实际问题与一元二次方程知识点1：列一元二次方程解应用题的一般步骤:(1)审:审题,要弄清已知量和未知量以及问题中的等量关系;(2)设:设未知数,根据题意,可直接设也可间接设,未知数必须写明单位,语言叙述要完整; (3)列:列代数式和方程,用含有所设未知数的代数式表示其他未知数,利用等量关系,列出方程;(4)解:求出方程的解;(5)验:检验方程的解是否正确,是否符合题意;(6)答:给出符合题目要求的答案.注意：在这些步骤中,审题是解题的基础,列方程是解题的关键.在列方程时,要注意列出的方程必须满足以下三个条件:(1)方程两边表示的是同类量;(2)方程两边的同类量的单位一样;(3)方程两边的数值相等.知识点2：传播问题按一定传播速度传播的问题在现实世界中有许多原型,如:细胞分裂、信息传播、传染病扩散、复利计算等.如果每轮传播中平均一个传播源传给x个,那么第一轮传播源有1个,第一轮传播后共有(1+x)个被传播;第二轮传播源有(1+x)个,第二轮传播后共有1+x+x(1+x)个被传播.下面以流感传播为例加以说明:如有a个人患流感,一轮中每人传染给x人,两轮传染后共有b人患流感,那么:一轮传染后患流感人数为a+ax=a(1+x);两轮传染后患流感人数为a(1+x)+a(1+x)x=a(1+x)2;可列出方程:a(1+x)2=b.关键提醒:(1)我们假设最早的传播源一直在继续传播,虽然实际问题与此不一定完全一致,但这样假设便于用一元二次方程作为实际问题的数学模型.(2)这类问题还可以进一步推广到两轮以上的传播问题,其基本数量关系是一致的,只是如果用方程作为数学模型时会涉及更高次的方程.知识点3：平均变化率方面的问题在实际问题中,常常遇到平均增长率问题.如果原来产值的基础数为a,平均增长率为x,则对于时间n的总产值b,可以用公式b=a(1+x)n表示,解决平均增长率问题,要用这个公式;类似的还有降低率问题.归纳整理:(1)对于增长(降低)率问题,在解答时要注意如下几点:正确设出未知数x;准确找出变化前后的两个关键值:起始值a,两次变化后的值b(a700,若病毒得不到有效控制,三轮感染后,被感染的电脑会超过700台.点拨:设一台电脑每轮感染给x台电脑,则第一轮后有(1+x)台,经过第二轮感染后,共有(1+x)2台,经过第三轮感染后,共有(1+x)3台.考点2：解决平均变化率方面的问题【例2】据报道,某省农作物秸秆的资源巨大,但合理利用量十分有限,xx年的利用率只有30%,大部分秸秆被直接焚烧了.假定我省每年产出的农作物秸秆总量不变,且合理利用量的增长率相同,要使xx年的利用率提高到60%,求每年的增长率.(取1.41)解:设我省每年产出的农作物秸秆总量为a,合理利用量的增长率是x,由题意得a30%(1+x)2=a60%,即(1+x)2=2.解得x10.41,x2-2.41(不合题意,舍去).即我省每年秸秆合理利用量的增长率约是41%.点拨:可假设每年产出的农作物秸秆总量为a,这样xx年被利用的秸秆总量为30%a,设每年的增长率为x,则xx年能被利用的秸秆总量为a30%(1+x)2.考点3：利用一元二次方程解决几何问题【例3】要对一块长60米、宽40米的矩形荒地ABCD进行绿化和硬化.设计方案如图所示,矩形P、Q为两块绿地,其余为硬化路面,P、Q两块绿地周围的硬化路面宽都相等,并使两块绿地面积的和为矩形ABCD面积的,求P、Q两块绿地周围的硬化路面的宽.解:设P、Q两块绿地周围的硬化路面的宽都为x米,根据题意,得(60-3x)(40-2x)=6040,解得x1=10,x2=30.经检验,x2=30不符合题意,舍去.所以两块绿地周围的硬化路面宽都为10米.点拨：此题属于几何图形应用问题,通过所提供的图案信息,正确分析图形中数量关系,从图形中获取有用的信息,构建与选择相应的方程求解,解决这类问题的关键是要认真理解题意,善于运用转化的思想方法,将实际问题转化为数学问题.在图形的面积表示方法中,通常有三种处理办法:直接表示、间接表示与变换表示三种.考点4：利用一元二次方程解决盈利问题【例4】百货大楼服装柜在销售中发现:“宝乐”牌童装平均每天可售出20件,每件盈利40元.为了迎接“十一”国庆节,商场决定采取适当的降价措施,扩大销售量,增加盈利,尽快减少库存.经市场调查发现:如果每件童装降价4元,那么平均每天就可多售出8件.要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元,那么每件童装应降价多少?解:设每件童装应降价x元,则(40-x)（20+8）=1200,解得x1=20,x2=10.因为要尽快减少库存,所以x=20.故每件童装应降价20元.反思：本题主要的数量关系是:销售利润=每件利润件数,理解商品的销售的件数及商品价格的关系是解答本题的关键.数学来源于生活,又应用于生活,当前的纳税、利息、分期付款、销售利润等问题通常都与一元二次方程有关,解答这类问题时,不论背景如何复杂与变化,一定要抓住问题的关键,寻找等量关系,并注意根据实际意义对所列一元二次方程的解进行合理的取舍.
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