九年级数学上册 专题突破讲练 一元二次方程的根与系数究竟有何关系试题 （新版）青岛版.doc

一元二次方程的根与系数究竟有何关系一、一元二次方程根与系数的关系如果一元二次方程ax2bxc0（a0）有两个实数根x1、x2，则x1x2，x1x2。方法归纳：（1）如果方程x2pxq0的两个实数根是x1、x2，那么x1x2p，x1x2q。（2）以x1、x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x2（x1x2）xx1x20或（xx1）（xx2）0。二、一元二次方程根与系数的关系的应用（1）验根；（2）已知方程的一个根，求方程的另一个根及未知系数；（3）不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x1、x2的对称式的值。方法归纳：利用方程根与系数的关系求代数式的值，几个重要变形如下：（1）x12x22（x1x2）22x1x2；（2）；（3）；（4）（x1x2）2（x1x2）24x1x2；（5）x1x2。总结：1. 已知一元二次方程的两个实数根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围。2. 利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号。例题1 已知方程x22x10，则此方程（ ）A. 无实数根 B. 两根之和为2 C. 两根之积为1 D. 有一根为1解析：根据已知方程的根的判别式符号确定该方程的根的情况；由根与系数的关系确定两根之积、两根之和的值；通过求根公式即可求得方程的根。A. （2）241（1）80，则该方程有两个不相等的实数根。故本选项错误；B. 设该方程的两根分别是、，则2。即两根之和为2，故本选项错误；C. 设该方程的两根分别是、，则1。即两根之积为1，故本选项正确；D. 根据求根公式x1可知，原方程的两根是（1）和（1），故本选项错误。故选C。答案：C点拨：本题综合考查了根与系数的关系、根的判别式以及求根公式的应用。利用根与系数的关系、求根公式解题时，务必清楚公式中的字母所表示的含义。例题2 设x1、x2是方程x2xxx0的两个实数根，求x13xxx2xx的值。解析：由原方程可知x2xxx，xx2xx；x12x1xx，x1x12xx。由根与系数的关系可知x1x21，根据以上关系代入求值即可。答案：x2xxx0，x2xxx，xx2xx。又x1、x2是方程x2xxx0的两个实数根x1x21x13xxx2xxx1x12xxx2x2xxx1（x1xx）xxx2x2xxx12xxx1xxx2x2xx（x1xx）xxx1xxx2x2xxx1x2xx（x1x2）xxxx1xxxx点拨：本题考查了根与系数的关系，对所求代数式的变形是解答此题的关键点和难点。利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号。设一元二次方程ax2bxc0（a0）的两个实数根为x1、x2，则（1）当0且x1x20时，两根同号，即（2）当0且x1x20时，两根异号，即例题 如果关于x的方程x2pxq0（p、q是正整数）的正根小于3，那么这样的方程的个数是（ ）A. 5个B. 6个C. 7个D. 8个解析：p、q是正整数，且p24q0，原方程有两个不相等的实数根。又x1x2q0，此方程两根异号。这个方程的正根为，即3。解得q93p，其正整数解是：、。故选C。答案：C点拨：要判断一元二次方程的根的符号有一个前提条件不能忽略，那就是判别式0，然后再依据x1x2和x1x2的正负情况进行判断。（答题时间：30分钟）一、选择题1. 已知（xa）（xb）x22x1，则ab（ ）A. 2B. 1C. 1D. 22. 已知一元二次方程x26xc0有一个根为2，则另一个根为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 83. 已知m、n是关于x的一元二次方程x23xa0的两个解，若（m1）（n1）6，则a的值为（ ）A. 10B. 4C. 4D. 10*4. 设x1、x2是方程x23x30的两个实数根，则的值为（ ）A. 5B. 5C. 1D. 1*5. 若m、n是方程x22x10的两个实数根，则的值是（ ）A. 2B. 4C. 6D. 8*6. 若方程x22px3p20的两个不相等的实数根x1、x2满足x12x14（x22x2），则实数p的可能的值为（ ）A. 0或1B. 0C. 0或4D. 4二、填空题7. 若x11是关于x的方程x2mx50的一个根，则方程的另一个根x2_。8. 已知关于x的一元二次方程x2x30的两个实数根分别为、，则（3）（3）_。*9. 已知实数a、b不相等，并且a215a，b215b，则_。*10. 已知关于x的方程x2（ab）xab10，x1、x2是此方程的两个实数根，现给出三个结论：x1x2；x1x2ab；x12x22a2b2。则正确的结论是_。（填上你认为正确结论的所有序号）三、解答题11. 已知关于x的方程x2xn0有两个实数根2、m。求m、n的值。*12. 已知、是关于x的一元二次方程x2（2m3）xm20的两个不相等的实数根，且满足1，试求m的值。*13. 已知、是方程x22x10的两个实数根，试求3510的值。*14. 已知关于x的一元二次方程x2（2k1）xk22k0有两个实数根x1、x2。（1）求实数k的取值范围；（2）是否存在实数k使得x1x2x12x220成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由。*15. 已知关于x的方程x22mxm22x的两个实数根x1、x2满足x1x2，求实数m的值。一、选择题1. C 解析：注意本题ab不是利用根与系数的关系求得的，根据等式的性质求解即可。2. C 解析：设方程的另一个根为x1，由题意可知x126，所以x14，即方程的另一根为4。3. C 解析：根据题意得：mn3，mna，（m1）（n1）mn（mn）16，a316，解得a4，故选C。*4. B 解析：由题意可知x1x23，x1x23，5。*5. D 解析：由已知得mn2，mn1，则（mn）2（mn）24mn（2）2416，mn4。8。*6. B 解析：原方程有两个不相等的实数根，（2p）24（3p2）0，即p23p20，且x1x22p，x1x23p2。又x12x14（x22x2），即x12x22x1x24，（x1x2）22x1x2（x1x2）4，即（2p）22（3p2）2p4，4p24p0，解得p0或1。当p0时0，当p1时0（舍去），所以p的可能的值为0。二、填空题7. 5 解析：由x1x25且x11，得x25。8. 9 解析：1，3，（3）（3）3（）933199。*9. 23 解析：a、b满足a215a，b215b，即a、b是x215x的两个实数根，整理此方程为x25x10，根据根与系数的关系可知ab5，ab1。23。*10. 解析：方程x2（ab）xab10中，（ab）24（ab1）（ab）240，x1x2，故正确；x1x2ab1ab，故正确；x1x2ab，x1x2ab1，x12x22（x1x2）22x1x2（ab）22ab2a2b22a2b2，即x12x22a2b2。故错误；综上所述，正确结论的序号是：。三、解答题11. 解：关于x的方程x2xn0有两个实数根2、m，解得，即m、n的值分别是1、2。*12. 解：根据条件知：（2m3），m2，1，即m22m30，所以有，解得m3。*13. 解：是方程x22x10的根，212。3a2a（12）222（12）52，又2，3510（52）5105（）85（2）82。*14. 解：（1）原方程有两个实数根，（2k1）24（k22k）4k24k14k28k14k0，k。当k时，原方程有两个实数根。（2）假设存在实数k使得x1x2x12x220成立。理由如下：x1、x2是原方程的两个实数根，x1x22k1，x1x2k22k。由x1x2x12x220得3x1x2（x1x2）20。3（k22k）（2k1）20，整理得：（k1）20，只有当k1时，上式成立。又由（1）知k，不存在实数k使得x1x2x12x220成立。*15. 解：原方程可变形为：x22（m1）xm20，x1、x2是方程的两个实数根，0，即4（m1）24m20，8m40，m。又x1、x2满足x1x2，x1x2或x1x2，即0或0且x1x20，由0，即8m40，得m。由x1x20，即2（m1）0，得m1（不合题意，舍去）。当x1x2时，m的值为。