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第7章锐角三角函数7.6第2课时与圆有关的问题知识点与圆有关的问题1如图7614，直线AB与O相切于点A，O的半径为2，若OBA30，则OB的长为()A4 B4 C2 D2图7614图76152某资料曾记载一种计算地球与月球之间距离的方法，如图7615，假设赤道上有一点C，ACB90，可以测量A的度数，则AB等于()A. BACcosAC. DACsinA3小李到公园游玩时去坐大型摩天轮，摩天轮的半径为20 m，匀速转动一周需要12 min，小李乘坐最底部的车厢(离地面1 m)，经过2 min后到达点Q(如图7616所示)，则此时他离地面的高度是()A10 m B11 mC. m D(1)m图7616图76174如图7617，某航天飞船在地球表面点P的正上方A处，从A处观测地球上的最远点Q，若QAP，地球半径为R，则航天飞船距离地球的最近距离AP及P，Q两点间的地面距离分别是()A.， B.R，C.R， D.，5小聪有一块含有30角的三角尺，他想只利用量角器来测量较短直角边的长度，于是他采用如图7618的方法，小聪发现点A处的三角尺读数为12 cm，点B处的量角器的读数为74，由此可知三角尺的较短直角边的长度约为_cm.(参考数据：sin370.60，cos370.80，tan370.75)图7618图76196林业员为调查树木的生长情况，常用一种角卡为工具，可以很快测出大树的直径，其工作原理如图7619.现已知BAC538，AB0.5米，则这棵大树的直径约为_米(参考数据：tan5381.33，tan26340.50，结果精确到0.1米)7如图7620是放置在桌面上的地球仪截面图，半径OC所在的直线与桌面垂直，垂足为E，点A，B为地球仪的南、北极，直线AB与桌面交于点D，所成的EDB为53，量得DE15 cm，AD14 cm，求半径OA的长(参考数据： sin530.80, cos530.60, tan531.33)图76208如图7621，图是一个小朋友玩“滚铁环”的游戏，铁环是圆形的，铁环向前滚动时，铁环钩保持与铁环相切将这个游戏抽象为数学问题，如图.已知铁环的半径为25 cm，设铁环中心为O，铁环钩与铁环的相切点为M，铁环与地面的接触点为A，MOA，且sin.若人站立点C与点A的水平距离AC等于55 cm，则铁环钩MF的长度为()图7621A46 cm B48 cm C50 cm D52 cm9如图7622表示一个时钟的钟面垂直固定于水平桌面上，其中分针上有一点A，且当钟面显示3点30分时，分针垂直于桌面，点A距桌面的高度为10厘米如图，若此钟面显示3点45分时，点A距桌面的高度为16厘米，则钟面显示3点50分时，点A距桌面的高度为_厘米图7622图762310一颗位于地球上空的气象卫星S，对地球上某区域的天气情况进行监测，如图7623，当卫星S位于地球表面上点A的正上方时，其监测区域的最远点为B.已知被监测区域中，A，B两点间的地表距离(即的长)约为1730 km，则卫星S距地球表面的高度SA约是_km.(结果取整数，取3.14，地球的半径约为6400 km)11某新农村乐园设置了一个秋千场所，如图7624所示，秋千拉绳OB的长为3 m，静止时，踏板到地面的距离BD的长为0.6 m(踏板厚度忽略不计)为安全起见，乐园管理处规定：儿童的“安全高度”为h m，成人的“安全高度”为2 m(计算结果精确到0.1 m)(1)当摆绳OA与OB成45夹角时，恰为儿童的安全高度，则h_m；(2)某成人在玩秋千时，摆绳OC与OB的最大夹角为55，此人是否安全(参考数据：1.41, sin550.82，cos550.57，tan551.43)?图762412如图7625，有两条公路OM，ON相交成30角，沿公路OM方向离点O80米处有一所学校A，当重型运输卡车P沿道路ON方向行驶时，在以点P为圆心，50米长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近，噪声影响越大已知重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为18千米/时(1)求对学校A的噪声影响最大时，卡车P与学校A的距离；(2)求卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间图762513五一期间，小明和同学一起到游乐场游玩，游乐场的大型摩天轮的半径为20 m，旋转1周需要10 min.小明乘坐最底部的车厢(离地面约0.5 m)开始1周的观光请探索下列问题：(1)摩天轮启动多长时间后，小明到达观光的最高点？此时小明离地面的高度是多少？(2)从最底部开始，经过多长时间，小明离地面的高度第一次达到10 m(精确到0.01 min)?(3)在旋转一周的过程中，小明有多长时间保持在离地面20 m以上的空中(精确到0.01 min)?/ 教 师 详 解 详 析 /第7章锐角三角函数7.6第2课时与圆有关的问题1B2A解析 在RtABC中，因为C90，所以cosA，所以AB.3B解析 过点Q作QBEF，交EF于点B，作QCAO于点C.QBEF，QCAO，OAEF，ACQABQOAB90，四边形ACQB是矩形，ACBQ.转动一周需要12 min，COQ36060，CQO30，OCOQ10 m，BQACOAOC2011011(m)故选B.4B解析 连接OQ，根据切线的性质可知OQAQ.在RtAOQ中，sinQAP，所以AO，所以APAOPOR，l.59解析 如图所示，连接圆心O和点B，则OAOB.由题意可知BOC2CAB74，在RtABC中，BAC37.AB12，tanBAC，BCABtan37120.759.短直角边的长度约为9 cm.60.5解析 由题意可知OABBAC2634，OBABtanOAB0.5tan26340.25(米)，这棵大树的直径为2OB0.5(米)7解：在RtODE中，DE15 cm，ODE53， cosODE，OD25(cm)，OAODAD251411(cm)答：半径OA的长约为11 cm.8C解析 过点M作与AC平行的直线，与OA，FC分别相交于点H，N.在RtOHM中，OHM90，OM25，HMOMsin15，OH20，MBHA25205.铁环钩与铁环相切，MOHOMHOMHFMN90，FMNMOH，sin，FNMF.在RtFMN中，FNM90，MNBCACAB551540.FMN为直角三角形，MF2FN2MN2，即MF2(MF)2402，解得FM50(负值已舍去)，铁环钩MF的长度为50 cm，故选C.919解析 当钟面显示3点30分时，分针垂直于桌面，点A距桌面的高度为10厘米，AD10厘米钟面显示3点45分时，点A距桌面的高度为16厘米，AC16厘米，AOAO6厘米钟面显示3点50分时，AOA30，FA3厘米，点A距桌面的高度为16319(厘米)故答案为19.10242解析 如图所示，连接OB，可知OBSB，即BOS为直角三角形，要求出SA，必须先求SO.设BOSn，由题意得1730，即1730，解得n15.5.在RtOBS中，cosBOS，OS6641.6(km)，SASOAO242(km)，即卫星S距地球表面的高度约是242 km.11解：(1)如图，过点A作ANOB于点N.在RtANO中，ANO90，cosAON，ONOA cosAON.OAOB3 m，AON45，ON3 cos452.12(m)，NDOBBDON30.62.121.5(m)，hND1.5 m故答案为1.5.(2)如图，过点C作CMFD，交FD的延长线于点M，作CEOD于点E.在RtCEO中，CEO90，cosCOE，OEOCcosCOE.OCOB3 m，COE55，OE3cos551.71(m)，EDOBBDOE30.61.711.9(m)，CMED1.9 m.成人的“安全高度”为2 m，此人是安全的12解：(1)过点A作ON的垂线段，交ON于点P.如图，在RtAOP中，APO90，POA30，OA80米，所以AP80sin308040(米)，即对学校A的噪声影响最大时，卡车P与学校A的距离是40米(2)以点A为圆心，50米长为半径画弧，交ON于D，E两点如图，在RtADP中，APD90，AP40米，AD50米，所以DP30(米)同理可得EP30米，所以DE60米又因为18千米/时5米/秒，所以12(秒)故卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间为12秒13解析 (1)如图，延长BO交O于点E，则点E为观光的最高点，此时小明恰好旋转半个圆周，所以经过5 min，此时离地面40.5 m；(2)由题意可知，摩天轮每分钟旋转36，欲求旋转时间，需求旋转角BOC.在RtODC中，OD20.51010.5(m)，OC20 m，故BOC的度数可求，进而求得旋转时间t；(3)将第(2)题中的10 m 改为20 m，求得旋转时间为t，故在20 m以上的空中的时间为(102t)min.解： (1)如图，延长BO交O于点E，则点E为观光的最高点，小明从点B到达点E恰好旋转了半个圆周，则摩天轮启动5 min后，小明到达观光的最高点，此时小明离地面的高度为40.5 m.(2)如图，设点C为小明离地面10 m 处的位置，过点C作CDOB，垂足为D，OD200.51010.5(m)，cosDOC，解得DOC58.332.摩天轮每分钟旋转36，t1.62(min)则从最底部开始，经过约1.62 min后，小明离地面的高度第一次达到10 m.(3)如图，设点C为小明离地面20 m处的位置，OD200.5200.5(m)，cosDOC，解得DOC88.567.1025.08(min)答：在旋转一周的过程中，小明约有5.08 min保持在离地面20 m以上的空中
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