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25 图形面积的计算阅读与思考 计算图形的面积是平面几何中常见的基本问题之一，它包括两种主要类型： 1.常见图形面积的计算 由于一些常见图形有计算面积的公式，所以，常见图形面积一般用公式来解. 2.非常规图形面积的计算 非常规图形面积的计算通常转化为常见图形面积的计算，解题的关键是将非常规图形面积用常规图形面积的和或差来表示. 计算图形的面积还常常用到以下知识：（1）等底等高的两个三角形面积相等.（2）等底的两个三角形面积的比等于对应高的比.（3）等高的两个三角形面积的比等于对应底的比.（4）等腰三角形底边上的高平分这个三角形的面积.（5）三角形一边上的中线平分这个三角形的面积.（6）平行四边形的对角线平分它的面积.熟悉如下基本图形：例题与求解 【例1】 如图，在直角ABC的两直角边AC，BC上分别作正方形ACDE和CBFG.AF交BC于W，连接GW，若AC=14，BC=28，则SAGW=_ (xx年“希望杯”全国数学邀请赛试题)解题思路：AGW的面积可以看做AGF和GWF的面积之差. 【例2】 如图，已知ABC中的面积为24，点D在线段AC上，点F在线段BC的延长线上，且BC=4CF.四边形BDCE是平行四边形，则图中阴影部分的面积为( ) A3 B4 C5 D6（xx年全国初中数学竞赛广东试题）解题思路：设ABC底边BC上的高为.本例关键是通过适当变形找出和DE之间的关系 【例3】 如图，平行四边形ABCD的面积为30cm2，E为AD边延长线上的一点，EB与DC交于F点，已知三角形FBC的面积比三角形DEF的面积大9cm2，AD=5cm，求DE长. （北京市“迎春杯”竞赛试题）解题思路：由面积求相关线段，是一个逆向思维的过程，解题的关键是把条件中图形面积用DE及其它线段表示 【例4】 如图，四边形ABCD被AC与DB分成甲、乙、丙、丁4个三角形，已知BE=80 cm，CE=60 cm，DE=40 cm，AE=30 cm，问：丙、丁两个三角形面积之和是甲、乙两个三角形面积之和的多少倍？（“华罗庚杯”竞赛决赛试题） 解题思路：甲、乙、丙、丁四个三角形面积可通过线段的比而建立联系，找出这种联系是解本例的突破口. 【例5】 如图，ABC的面积为1，D，E为BC的三等分点，F，G为CA的三等分点，求四边形PECF的面积. 解题思路：连CP，设SPFC=，SPEC=，建立，的二元一次方程组. 【例6】如图，E，F分别是四边形ABCD的边AB，BC的中点， DE与AF交于点P，点Q在线段DE上，且AQPC.求梯形APCQ的面积与平行四边形ABCD的面积的比值 （xx年”希望杯“数学邀请赛试题） 解题思路：连接EF，DF，AC，PB，设SABCD=，求得APQ和CPQ的面积.能力训练A 级1.如图，边长为1的正方形ABCD的对角线相交于点O.过点O的直线分别交AD，BC于E，F，则阴影部分面积是_.（海南省竞赛试题）2.如图，在长方形ABCD中，E是AD的中点，F是CE的中点，若BDF的面积为6平方厘米，则长方形ABCD的面积是_平方厘米.（“希望杯”邀请赛试题）3.如图，ABCD是边长为的正方形，以AB，BC，CD，DA分别为直径画半圆，则这四个半圆弧所围成的阴影部分的面积是_.（安徽省中考试题） 4.如图，已知AB，CD分别为梯形ABCD的上底、下底，阴影部分总面积为5平方厘米，AOB的面积是0.625平方厘米，则梯形ABCD的面积是_平方厘米.（“祖冲之杯”邀请赛试题）5.如图，长方形ABCD中，E是AB的中点，F是BC上的一点，且CF=，则长方形ABCD的面积是阴影部分面积的( )倍. A.2 B. 3 C. 4 D.56.如图，是一个长为，宽为的长方形，两个阴影图形都是一对长为的底边在长方形对边上的平行四边形，则长方形中未涂阴影部分的面积为( ).A. B. C. D.7如图，线段AB=CD=10cm，和是弧长与半径都相等的圆弧，曲边三角形BCD的面积是以D为圆心、DC为半径的圆面积的，则阴影部分的面积是( ) A25 B. 100 C.50 D. 200（“五羊杯”竞赛试题） 8如图，一个大长方形被两条线段AB、CD中分成四个小长方形，如果其中图形，的面积分别为8，6，5，那么阴影部分的面积为( ) A. B. C. D9如图，长方形ABCD中，E，F分别为AD，BC边上的任一点，ABG，DCH的面积分别为15和20，求阴影部分的面积.（五城市联赛试题）10.如图，正方形ABCD，正方形BEFG和正方形RKPF的位置如图所示，点G在线段DK上，已知正方形BEFG的边长为4，求DEK的面积（广西壮族自治区省南宁市中考试题）B 级1.如果图中4个圆的半径都为，那么阴影部分的面积为_.（江苏省竞赛试题）2.如图，在长方形ABCD中，E是BC上的一点，F是CD上的一点，若三角形ABE的面积是长方形ABCD面积的，三角形ADF的面积是长方形ABCD面积的，三角形CEF的面积为4cm2，那么长方形ABCD的面积是_cm2.（北京市“迎春杯”邀请赛试题）3.如图，边长为3厘米与5厘米的两个正方形并排放在一起，在大正方形中画一段以它的一个顶点为圆心，边长为半径的圆弧，则阴影部分的面积为_.（“希望杯”邀请赛试题）4.如图，若正方形APHM，BNHP，CQHN的面积分别为7，4，6，则阴影部分的面积是_.(“五羊杯”竞赛试题）5.如图，把等边三角形每边三等分，使其向外长出一个边长为原来的的小等边三角形，称为一次“生长”，在得到的多边上类似“生长”，一共“生长”三次后，得到的多边形的边数=_，面积是原三角形面积的_倍.(“五羊杯”竞赛试题）6.如图，在长方形ABCD中，AE=BG=BF=AD=AB=2，E，H，G在同一条直线上，则阴影部分的面积等于( ). A.8 B.12 C.16 D207.如图，边长分别为8cm和6cm的两个正方形，ABCD与BEFG并排放在一起，连接EG并延长交AC于K，则AKE的面积是( ).A.48cm2 B.49cm2 C.50cm2 D51cm2（xx年“希望杯”邀请赛试题）8.在一个由88个方格组成的边长为8的正方形棋盘内放一个半径为4的圆，若把圆经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为S1，把圆周经过的所有小方格的圆外部分的面积之和记为S2，则的整数部分是( ). A.0 B.1 C.2 D3（全国初中数学联赛试题）9.如图，ABC中，点D，E，F分别在三边上，E是AC的中点，AD，BE，CF交于一点G，BD=2DC，SGEC=3，SGDC=4，则ABC的面积是( ). A.25 B.30 C.35 D4010.已知O（0，0），A（2，2），B（1，a），求a为何值时，SABO=5？11.如图，已知正方形ABCD的面积为1，M为AB的中点，求图中阴影部分的面积.（湖北省武汉市竞赛试题）12.如图，ABC中，.求的值.（“华罗庚金杯”邀请赛试题）专题25 图形面积的计算例1 196 提示：28（28+14）-2828=2814=287=196.例2 D 提示：设ABC底边上的高为h，则BCh=24 故h=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。. 设ABC底边DE上的高为错误！未找到引用源。，BDE底边DE上的高为错误！未找到引用源。，则h=错误！未找到引用源。.=错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。）=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。=6.例3 2cm.提示：设ABE的AE边上的高为hcm，DE长为xcm，则错误！未找到引用源。，解得DE=2.例4 提示： , , ,.例5 ，.设，则，于是 +，得，即.例6 设，因为E,F分别是AB,BC的中点，所以.如图，连接EF,DF，则.所以.设，则.由得. . .连接AC，又AQPC， . .连接PB，则. 由， 得.，从而，.于是. . A级1. 提示：,.2. 48.3.4. 15.625.5. B.6. C.7. B.8. C.9. 35 提示:连接EF，,.10. 解法一：将DEK的面积转化为规则图形的面积之和或差.如图,延长AE交PK的延长线于点H.设正方形ABCD，正方形PKPF的边长分别a，b.则 = = =16.解法二：运用等积变形转化问题，连接DB,GE,FK.则DBA=GEB=45, DBGE,得，同理GEFK，得. B级1. （或）.2. 120 提示：设AB=a，AD=b，CE=c，CF=d.则BE=b-c-，DF=a-d，c= b，d= a，cd=8.3. 18.75（3）.4. 8.5 提示：连HD.5. 48 提示：“生长”n次后得到边形，面积为原面积的倍.6. B.7. B 提示：过点K作KHAB. AB=8，BE=6，AE=8+6=14.又KAE=KEA=45, KH=AE=7. .8. B 提示：根据正方形的对称性，只需考虑它的部分即可.9. B.10. 当a1时，即B在OA上方时，如图. ，解得a=6.当0a1时，即B在OA于x轴之间时，依题意，有，解得a=-4（不合题意，舍去）.当a0时，即B在x轴下方时，有，解得a=-4.综上所述，当a=-4或a=6时，.11. . 为公共部分, .又因为AMG与AMD的高的高相等（以A为顶点作高），MCG与MCD的高相等（以C为顶点作高），,即，解得：. 连BG，设,，.则 解得 同理可得： 又 S，得 . 故 .
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