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二次函数与等腰三角形的综合问题知识点二次函数综合；等腰三角形的性质与判定；相似三角形的性质；教学目标1. 熟练运用所学知识解决二次函数综合问题2灵活运用数形结合思想教学重点巧妙运用数形结合思想解决综合问题；教学难点灵活运用技巧及方法解决综合问题；知识讲解考点1 二次函数的基础知识 1.一般地，如果y=ax2+bx+c（a，b，c是常数且a0），那么y叫做x的二次函数，它是关于自变量的二次式，二次项系数必须是非零实数时才是二次函数，这也是判断函数是不是二次函数的重要依据当b=c=0时，二次函数y=ax2是最简单的二次函数2.二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a0）的三种表达形式分别为：一般式：y=ax2+bx+c，通常要知道图像上的三个点的坐标才能得出此解析式；顶点式：y=a（xh）2+k，通常要知道顶点坐标或对称轴才能求出此解析式；交点式：y=a（xx1）（xx2），通常要知道图像与x轴的两个交点坐标x1，x2才能求出此解析式；对于y=ax2+bx+c而言，其顶点坐标为（，）对于y=a（xh）2+k而言其顶点坐标为（h，k），由于二次函数的图像为抛物线，因此关键要抓住抛物线的三要素：开口方向，对称轴，顶点考点2 等腰三角形的性质1.等腰三角形的两个底角度数相等（简写成“等边对等角”）。2.等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合（简写成“等腰三角形的三线合一性质”）。3.等腰三角形的两底角的平分线相等（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）。4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高（需用等面积法证明）。7.等腰三角形是轴对称图形，（不是等边三角形的情况下）只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴，等边三角形有三条对称轴。8.等腰三角形中腰的平方等于高的平方加底的一半的平方9.等腰三角形的腰与它的高的直接的关系是：腰大于高。间接的关系是：腰的平方等于高的平方加底的一半的平方。考点3 探究等腰三角形的一般思路探究等腰三角形的存在性问题时，具体方法如下：（1）假设结论成立；（2）找点：当所给定长未说明是等腰的底还是腰时，需分情况讨论，具体方法如下：当定长为腰时，找已知直线上满足条件的点时，以定长的某一端点为圆心，以定长为半径画弧，若所画弧与数轴或抛物线有交点且交点不是定长的另一端点时，交点即为所求的点；若所画弧与数轴或抛物线无交点或交点是定长的另一端点时，满足条件的点不存在；当定长为底边时，根据尺规作图作出定长的垂直平分线，若作出的垂直平分线与数轴或抛物线有交点，则交点即为所求的点，若作出的垂直平分线与数轴或抛物线无交点，则满足条件的点不存在。以上方法即可找出所有符合条件的点；（3）计算：在求点坐标时，大多时候利用相似三角形求解，如果图形中没有相似三角形，可以通过添加辅助线构造相似三角形，有时也可利用直角三角形的性质进行求解。例题精析例1 如图，抛物线y- x2+ x-4与x轴相交于点、，与y轴相交于点，抛物线的对称轴与x轴相交于点。是抛物线在x轴上方的一个动点（点、不在同一条直线上）。分别过点、作直线的垂线，垂足分别为、，连接、。（1）求点、的坐标（直接写出结果），并证明是等腰三角形；（2）能否为等腰直角三角形？若能，求此时点的坐标，若不能，说明理由；（3）若将“是抛物线在x轴上方的一个动点（点、不在同一条直线上）”改为“是抛物线在x轴下方的一个动点”，其他条件不变，能否为等腰直角三角形？若能，求此时点的坐标（直接写出结果），若不能，说明理由。例2如图，已知抛物线y=x2+bx+4与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，若已知A点的坐标为A（2，0）（1）求抛物线的解析式及它的对称轴方程；（2）求点C的坐标，连接AC、BC并求线段BC所在直线的解析式；（3）试判断AOC与COB是否相似？并说明理由；（4）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使ACQ为等腰三角形？若不存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由例3如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点为A（3，0），与y轴的交点为B（0，3），其顶点为C，对称轴为x=1（1）求抛物线的解析式；（2）已知点M为y轴上的一个动点，当ABM为等腰三角形时，求点M的坐标；（3）将AOB沿x轴向右平移m个单位长度（0m3）得到另一个三角形，将所得的三角形与ABC重叠部分的面积记为S，用m的代数式表示S 例4在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2（m+n）x+mn（mn）与x轴相交于A、B两点（点A位于点B的右侧），与y轴相交于点C（1）若m=2，n=1，求A、B两点的坐标；（2）若A、B两点分别位于y轴的两侧，C点坐标是（0，1），求ACB的大小；（3）若m=2，ABC是等腰三角形，求n的值 例5如图，抛物线y=ax2+bx+c（a0）的图象过点M（2，），顶点坐标为N（1，），且与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点（1）求抛物线的解析式；（2）点P为抛物线对称轴上的动点，当PBC为等腰三角形时，求点P的坐标；（3）在直线AC上是否存在一点Q，使QBM的周长最小？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由课程小结有针对性的对等腰三角形的性质、相似三角形的性质及二次函数的基础知识进行复习，有助于为研究二次函数与等腰三角形的综合问题提供有利的依据。在探究二次函数与等腰三角形的综合问题时，抓住已有的信息及条件在函数图像中构造出等腰三角形，并能运用等腰三角形的性质解决问题，掌握此类问题的解题思路及技巧是解决问题的关键。例1【规范解答】（1）抛物线解析式为y=x2+ x4，令y=0，即x2+ x4=0，解得x=1或x=5，A（1，0），B（5，0）如答图1所示，分别延长AD与EM，交于点F；ADPC，BEPC，ADBE，MAF=MBE；在AMF与BME中，MAF=MBE，MA=MB,AMF=BME；AMFBME（ASA），ME=MF，即点M为RtEDF斜边EF的中点，MD=ME，即MDE是等腰三角形（2）能；抛物线解析式为y=x2+ x4=（x3）2+ ，对称轴是直线x=3，M（3，0）；令x=0，得y=4，C（0，4）MDE为等腰直角三角形，有3种可能的情形；若DEEM，由DEBE，可知点E、M、B在一条直线上，而点B、M在x轴上，因此点E必然在x轴上，由DEBE，可知点E只能与点O重合，即直线PC与y轴重合，不符合题意，故此种情况不存在；若DEDM，与同理可知，此种情况不存在；若EMDM，如答图2所示 设直线PC与对称轴交于点N，EMDM，MNAM，EMN=DMA在ADM与NEM中，EMN=DMA，EM=DM,ADM=NEM=135；ADMNEM（ASA），MN=MA抛物线解析式为y=x2+x4=（x3）2+，故对称轴是直线x=3，M（3，0），MN=MA=2，N（3，2）设直线PC解析式为y=kx+b，点N（3，2），C（0，4）在抛物线上， ，解得k=2，b=4，y=2x4，将y=2x4代入抛物线解析式得2x4=x2+x4解得x=0或x=，当x=0时，交点为点C；当x=时，y=2x4=3P（ ，3）综上所述，MDE能成为等腰直角三角形，此时点P坐标为（ ，3）（3）能；如答题3所示，设对称轴与直线PC交于点N；与（2）同理，可知若MDE为等腰直角三角形，直角顶点只能是点M；MDME，MAMN，DMN=EMB在DMN与EMB中，DMN=EMB，MD=MB,MDN=MEB=45；DMNEMB（ASA），MN=MB；N（3，2）设直线PC解析式为y=kx+b，点N（3，2），C（0，4）在抛物线上，解得k=，b=4，y=x4，将y=x4代入抛物线解析式得x4=x2+x4，解得x=0或x= ，当x=0时，交点为点C；当x= 时，y=x4=，P（，）综上所述，MDE能成为等腰直角三角形，此时点P坐标为（ ， ）【总结与反思】（1）在抛物线解析式中，令y=0，解一元二次方程，可求得点A、点B的坐标；如答图1所示，作辅助线，构造全等三角形AMFBME，得到点M为为RtEDF斜边EF的中点，从而得到MD=ME，问题得证；（2）首先分析，若MDE为等腰直角三角形，直角顶点只能是点M；如答图2所示，设直线PC与对称轴交于点N，首先证明ADMNEM，得到MN=AM，从而求得点N坐标为（3，2）；其次利用点N、点C坐标，求出直线PC的解析式；最后联立直线PC与抛物线的解析式，求出点P的坐标；（3）当点P是抛物线在x轴下方的一个动点时，解题思路与（2）完全相同；例2【规范解答】（1）抛物线y=x2+bx+4的图象经过点A（2，0），（2）2+b（2）+4=0，解得：b=，抛物线解析式为 y=x2+x+4，又y=x2+x+4=（x3）2+，对称轴方程为：x=3（2）在y=x2+x+4中，令x=0，得y=4，C（0，4）；令y=0，即x2+x+4=0，整理得x26x16=0，解得：x=8或x=2，A（2，0），B（8，0）设直线BC的解析式为y=kx+b，把B（8，0），C（0，4）的坐标分别代入解析式，得：，解得k=，b=4，直线BC的解析式为：y=x+4（3）可判定AOCCOB成立理由如下：在AOC与COB中，OA=2，OC=4，OB=8，又AOC=BOC=90，AOCCOB（4）抛物线的对称轴方程为：x=3，可设点Q（3，t），则可求得：AC=，AQ=，CQ=当AQ=CQ时，有=，25+t2=t28t+16+9，解得t=0，Q1（3，0）；当AC=AQ时，有=，t2=5，此方程无实数根，此时ACQ不能构成等腰三角形；当AC=CQ时，有=，整理得：t28t+5=0，解得：t=4，点Q坐标为：Q2（3，4+），Q3（3，4）综上所述，存在点Q，使ACQ为等腰三角形，点Q的坐标为：Q1（3，0），Q2（3，4+），Q3（3，4）【总结与反思】（1）利用待定系数法求出抛物线解析式，利用配方法或利用公式x=求出对称轴方程；（2）在抛物线解析式中，令x=0，可求出点C坐标；令y=0，可求出点B坐标再利用待定系数法求出直线BD的解析式；（3）根据，AOC=BOC=90，可以判定AOCCOB；（4）本问为存在型问题若ACQ为等腰三角形，则有三种可能的情形，需要分类讨论，逐一计算，避免漏解例3【规范解答】解：（1）由题意可知，抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一个交点为（1，0），则，解得故抛物线的解析式为y=x2+2x+3（2）当MA=MB时，M（0，0）；当AB=AM时，M（0，3）；当AB=BM时，M（0，3+3）或M（0，33）所以点M的坐标为：（0，0）、（0，3）、（0，3+3）、（0，33）（3）平移后的三角形记为PEF设直线AB的解析式为y=kx+b，则，解得则直线AB的解析式为y=x+3AOB沿x轴向右平移m个单位长度（0m3）得到PEF，易得直线EF的解析式为y=x+3+m设直线AC的解析式为y=kx+b，则，解得则直线AC的解析式为y=2x+6连结BE，直线BE交AC于G，则G（，3）在AOB沿x轴向右平移的过程中当0m时，如图1所示设PE交AB于K，EF交AC于M则BE=EK=m，PK=PA=3m，联立，解得，即点M（3m，2m）故S=SPEFSPAKSAFM=PE2PK2AFh=（3m）2m2m=m2+3m当m3时，如图2所示设PE交AB于K，交AC于H因为BE=m，所以PK=PA=3m，又因为直线AC的解析式为y=2x+6，所以当x=m时，得y=62m，所以点H（m，62m）故S=SPAHSPAK=PAPHPA2=（3m）（62m）（3m）2=m23m+综上所述，当0m时，S=m2+3m；当m3时，S=m23m+【总结与反思】（1）根据对称轴可知，抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一个交点为（1，0），根据待定系数法可得抛物线的解析式为y=x2+2x+3（2）分三种情况：当MA=MB时；当AB=AM时；当AB=BM时；三种情况讨论可得点M的坐标（3）平移后的三角形记为PEF根据待定系数法可得直线AB的解析式为y=x+3易得直线EF的解析式为y=x+3+m根据待定系数法可得直线AC的解析式连结BE，直线BE交AC于G，则G（，3）在AOB沿x轴向右平移的过程中分二种情况：当0m时；当m3时；讨论可得用m的代数式表示S例4【规范解答】解：（1）y=x2（m+n）x+mn=（xm）（xn），x=m或x=n时，y都为0，mn，且点A位于点B的右侧，A（m，0），B（n，0）m=2，n=1，A（2，0），B（1，0）（2）抛物线y=x2（m+n）x+mn（mn）过C（0，1），1=mn，n=，B（n，0），B（，0）AO=m，BO=，CO=1AC=，BC=，AB=AO+BO=m，（m）2=（）2+（）2，AB2=AC2+BC2，ACB=90（3）A（m，0），B（n，0），C（0，mn），且m=2，A（2，0），B（n，0），C（0，2n）AO=2，BO=|n|，CO=|2n|，AC=，BC=|n|，AB=xAxB=2n当AC=BC时，=|n|，解得n=2（A、B两点重合，舍去）或n=2；当AC=AB时，=2n，解得n=0（B、C两点重合，舍去）或n=；当BC=AB时，|n|=2n，当n0时，n=2n，解得n=，当n0时，n=2n，解得n=综上所述，n=2，时，ABC是等腰三角形【总结与反思】（1）已知m，n的值，即已知抛物线解析式，求解y=0时的解即可此时y=x2（m+n）x+mn=（xm）（xn），所以也可直接求出方程的解，再代入m，n的值，推荐此方式，因为后问用到的可能性比较大（2）求ACB，我们只能考虑讨论三角形ABC的形状来判断，所以利用条件易得1=mn，进而可以用m来表示A、B点的坐标，又C已知，则易得AB、BC、AC边长讨论即可（3）ABC是等腰三角形，即有三种情形，AB=AC，AB=BC，AC=BC由（2）我们可以用n表示出其三边长，则分别考虑列方程求解n即可例5【规范解答】解：（1）由抛物线顶点坐标为N（1，），可设其解析式为y=a（x+1）2+，将M（2，）代入，得=a（2+1）2+，解得a=，故所求抛物线的解析式为y=x2x+；（2）y=x2x+，x=0时，y=，C（0，）y=0时，x2x+=0，解得x=1或x=3，A（1，0），B（3，0），BC=2设P（1，m），显然PBPC，所以当CP=CB时，有CP=2，解得m=；当BP=BC时，有BP=2，解得m=2综上，当PBC为等腰三角形时，点P的坐标为（1，+），（1，），（1，2），（1，2）；（3）由（2）知BC=2，AC=2，AB=4，所以BC2+AC2=AB2，即BCAC连结BC并延长至B，使BC=BC，连结BM，交直线AC于点Q，B、B关于直线AC对称，QB=QB，QB+QM=QB+QM=MB，又BM=2，所以此时QBM的周长最小由B（3，0），C（0，），易得B（3，2）设直线MB的解析式为y=kx+n，将M（2，），B（3，2）代入，得，解得，即直线MB的解析式为y=x+同理可求得直线AC的解析式为y=x+由，解得，即Q（，）所以在直线AC上存在一点Q（，），使QBM的周长最小【总结与反思】（1）先由抛物线的顶点坐标为N（1，），可设其解析式为y=a（x+1）2+，再将M（2，）代入，得=a（2+1）2+，解方程求出a的值即可得到抛物线的解析式；（2）先求出抛物线y=x2x+与x轴交点A、B，与y轴交点C的坐标，再根据勾股定理得到BC=2设P（1，m），显然PBPC，所以当PBC为等腰三角形时分两种情况进行讨论：CP=CB；BP=BC；（3）先由勾股定理的逆定理得出BCAC，连结BC并延长至B，使BC=BC，连结BM，交直线AC于点Q，由轴对称的性质可知此时QBM的周长最小，由B（3，0），C（0，），根据中点坐标公式求出B（3，2），再运用待定系数法求出直线MB的解析式为y=x+，直线AC的解析式为y=x+，然后解方程组，即可求出Q点的坐标
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