解线性方程组的矩阵三角分解法.ppt

1,第五章解线性方程组的直接方法,计算方法,矩阵三角分解法,2,本讲内容,一般线性方程组LU分解与PLU分解,对称正定线性方程组平方根法Cholesky分解,对角占优三对角线性方程组追赶法,3,LU分解,矩阵的LU(Doolittle)分解,矩阵的LDR分解,克洛脱(Crout)分解,4,计算LU分解,利用矩阵乘法直接计算LU分解,LU=A,比较等式两边的第一行得：,u1j=a1j,比较等式两边的第一列得：,比较等式两边的第二行得：,比较等式两边的第二列得：,(j=1,n),(i=2,n),(j=2,n),(i=3,n),5,计算LU分解,第k步：此时U的前k-1行和L的前k-1列已经求出,直到第n步，便可求出矩阵L和U的所有元素。,6,LU分解算法,算法：(LU分解),Matlab程序参见：ex51.m,乘除法运算量：(n3-n)/3,为了节省存储空间，通常用A的绝对下三角部分来存放L(对角线元素无需存储)，用A的上三角部分来存放U,7,PLU分解,矩阵的PLU分解,Matlab程序：上机练习,8,Cholesky分解,对称正定矩阵的三角分解Cholesky分解,定理：设A是对称矩阵，若A的所有顺序主子式都不为0，则A可唯一分解为其中L为单位下三角阵，D为对角矩阵,A=LDLT,定理：（Cholesky分解）若A对称正定，则A可唯一分解为其中L为下三角实矩阵，且对角元素都大于0,A=LLT,9,计算Cholesky分解,Cholesky分解的计算,直接比较等式两边的元素,计算公式,10,Cholesky分解算法,算法：(Cholesky分解),11,平方根法,A对称正定,算法：(解对称正定线性方程组的平方根法),12,改进的Cholesky分解,计算公式,改进的Cholesky分解,13,改进的Cholesky分解,forj=1tonend,i=j+1,n,算法：(改进的Cholesky分解),优点：避免开方运算,14,改进的平方根法,A对称正定,算法：(解对称正定线性方程组的改进的平方根法),15,追赶法,对角占优的三对角矩阵的LU分解,计算公式,i=2,3,n-1,16,追赶法,A三对角矩阵（对角占优）,算法：(追赶法),运算量：5n-4,