角动量的本征值和本征态.ppt

十一、密度算符与量子统计力学,对完全随机的系综，密度矩阵在任何表象中均有：该与纯系综的很不相同。为定量表征不同系综的，定义为：在本征态为基矢时,1)熵,由于，是半正定的（0）。对完全随机系综对纯系综，=0可见可作为体系无序度的定量表征：纯系综完全有序，既无序度为零；随机系统完全无序，故是个大数。其实，在归一化限制下，ln(N)是的最大值。在热力学中，熵是度量无序度的。熵（S）与的关系为，S=k，k为Boltzmann常数。S=k可看作是量子统计力学中熵的定义。,2)热平衡系综的密度矩阵,对具有确定H的系综,热平衡时取极大:=0.因/t=0,与H可同时对角化,可用H的本征态为基.粒子的平均内能：H=Tr(H)=U由用Lagranger乘子法可得其解为，利用归一化条件有对应于能量本征态Ek的几率分布。上述体系对应于统计力学的正则系统，体系能量确定,若对上述体系除去内能一定的限制，则得（对任意k）：kk=1/N对应于完全随机的系综，与-0（即T）的正则系综分布相同,3)配分函数,kk的分母为是统计力学中的配分函数，可写为在能量本征态基中可写为据此可得体系的所有性质，对A=H，有与统计力学的对应知=1/kT.,3.5角动量的本征值和本征态,本节讨论一般的角动量的本征值和本征态，并给出角动量算符矩阵表示的矩阵元。一、对易关系和本征态角动量算符的基本对易关系为这里Ji是绕i轴无穷小转动的生成元。定义角动量的平方算符由角动量算符的基本对易关系可知J2与任何Ji对易。由于不同Ji不对易，只能选择某个Ji与J2的共同本征态为基，通常选J2与Jz的共同本征态。若用|a,b标记该本征态，则有J2|a,b=a|a,b，Jz|a,b=b|a,b。,二、阶梯算符,定义:J=JxJy,称为阶梯算符，或角动量的升（降）算符，是以前讲过的自旋升降算符在一般角动量情形的推广。J是非厄米的。容易证明：由于J|a,b也是Jz的本征态，对应于本征值。既J作用于Jz的本征态结果仍为Jz的本征态，但相应本征值增加。又由于J与J2对易,J不改变J2的本征值.即：J|a,b=c|a,b，c由归一化条件确定。,三、J2与Jz的本征值,由于，Jx、Jy是厄米算符，其任意态的期待值为实数，故a-b20对给定a,b有上限bmax和下限bmin,且J+|a,bmax=0,J-|a,bmin=0.由得,类似有bmin=-bmax由bmin和bmax的唯一性知，J+作用于|a,bmin有限次数应能达到|a,bmax，故记Jz的最大本征值为,则j=n/2为整数或半整数，而J2的本征值为。Jz的本征值一般为，其中-jmj,共有2j+1个可能值-j,-j+1，j-1,j。,改记|a,b为|j,m，则上述推导只用了角动量对易关系，即角动量的量子化源于转动和角动量作为转动生成元的基本性质。,四、角动量算符的矩阵元,取|j,m为归一化的，则因而故取c为实数，有：类似地J的矩阵元为而由Jx=(J+J-)/2,Jy=(J+-J-)/2i可定出Jx和Jy的矩阵元,五、转动算符的表示,对绕转角的转动R，转动算符的矩阵元为(D在不同j之间的矩阵元为零)这些矩阵元有时称Wigner函数。由形成的(2j+1)x(2j+1)矩阵称为D(R)的(2j+1)维的不可约表示。即对一般的转动，D可按不同j而成分块对角化形式,且每一块不可用任何基而进一步划分为更小的块对角化形式，即D(R)=,六、转动算符表示的一般性质,1.由任一确定j所表征的转动矩阵形成一个群a)有单位矩阵（无转动），b)逆（绕同轴转-角），c)乘积也是成员，其中乘积R1R2表示单一转动；d)结合律也满足。2.幺正性：3.是|jm经R转动后在|jm态中找到的几率振幅：,七、Euler转动的转动算符矩阵表示,对用Euler角表征的转动，有可见只要求出则可得到例如对j=1/2,对j=1，d(1)是3x3矩阵.利用Jy=(J+-J-)/2i及J的矩阵元可知：可以验证：利用级数展开，可知从而得到类似方法可给出d(j1)(),只是过程比较复杂.下面将介绍简便获得d(j)的方法。,