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第五节函数性态的研究一、函数的单调性二、函数的极限三、曲线的凹凸和拐点四、函数图形的描绘,一、函数的单调性定理2-4函数f(x)在开区间(a,b)内可导,则（1）如果在开区间(a,b)内f(x)0恒成立,则函数f(x)在(a,b)内单调增加;（2）如果在开区间(a,b)内f(x)0,(x2-x1)0,f(x2)-f(x1)0即f(x1)0,单调增加；当（-，0）时f(x)0,单调减少。,x,y,o,例2-40证明:当x0时,xarctanx。证令f(x)=x-arctanx，则从而y=f(x)为单调增加函数。由于f(0)=0，可知当x0时，f(x)f(0)即xarctanx,二、函数的极值定义2-2设函数f(x)在x0点某邻域内有定义。对于该邻域内异于x0的点x，不等式f(x)f(x0)恒成立，则称函数在点x0有极小值(minimumvalue),f(x0),x0点称为极小值点(minimumpoint);极大值、极小值统称为极值(extremevalue)，使函数取得极值的点x0称为极值点(extremepoint)。,如例2-36中的函数f(x)=x3-3x2-9x+5有极大值f(-1)=10和极小值f(3)=-22，点x=-1和x=3是函数f(x)的极值点。函数的极值概念是局部性的。如果f(x0)是函数f(x)的一个极大值，那只是就x0两侧邻近的一个局部范围来说，f(x0)是f(x)的一个最大值；如果就f(x)的整个定义域来说，不见得是最大值。关于极小值也类似。,定理2-5（必要条件）若函数f(x)在点x0处可导,且在x0处取得极值,则f(x0)=0。证不妨假定f(x0)是极大值（极小值的情形可类似地证明），则根据极大值的定义，在x0的某个去心领域内恒有f(x)x0时,由于f(x)在点x0处可导，故，从而得到f(x0)=0,使导数为零的点（即方程f(x)=0的实根）叫做函数f(x)的驻点(stablepoint)。注意：可导函数的极值点必定是它的驻点，但函数的驻点不一定是极值点。例如f(x)=x3的导数f(x)=3x2,f(0)=0，因此x=0是这个函数的驻点，但是x=0显然不是该函数的极值点。如何来判断驻点是极值点呢?,定理2-6（第一充分条件）设函数f(x)在点x0的某邻域内可导，且f(x0)=0。（1）如果当x取x0左侧邻近的值时,f(x)恒为正；当x取x0右侧邻近的值时,f(x)恒为负，那么函数f(x)在x0处取得极大值;（2）如果当x取x0左侧邻近的值时,f(x)恒为负；当x取x0右侧邻近的值时,f(x)恒为正，那么函数f(x)在x0处取得极小值;（3）如果点x0的附近，左、右两侧点的导数f(x)恒保持一种符号，那么函数f(x)在x0处不取得极值。,(是极值点情形),(不是极值点情形),证明（1）由定理2-4及已知条件知，当x取x0左侧邻近的值时,f(x)单调增加，f(x)f(x0);当x取x0右侧邻近的值时,f(x)单调减少，f(x)0所以f(x)在x=0处取得极小值，极小值为f(0)=0。由于f(-1)=f(1)=0，因此用第二充分条件无法判别，用第一充分条件。当x(-,-1)时，f(x)0，可知在上的最大值为f(0)=b=3，最小值f(2)=b-16a=3-16a=-29，解之可得a=2，即a=2,b=3实际问题求最值应注意(1)建立目标函数;(2)求最值若目标函数只有唯一极值点，则该点的函数值即为所求的最大（或最小）值。,例2-47从半径为R的圆形铁皮上，割去一块中心角为的扇形（如图2-9(a)），将剩下部分围成一个圆锥形漏斗(b)。当多大时，漏斗的体积最大?解设漏斗的高为h,底面半径为r,则漏斗的体积V=1/3r2h,由于r2=R2-h2,V=1/3(R2-h2)h,Vh=1/3(R2-3h2)令Vh=0,得：（另一值不合题意，舍去），得唯一驻点，此时漏斗的体积最大。,(a),(b),而r2=R2-h2=R2-1/3R2=2/3R2由于2R=2r+R得所以，当（约为663）时，漏斗的体积最大。,三、曲线的凹凸和拐点定义2-3（1）如果某段曲线总是位于该段曲线上任一点切线的上方，则称这段曲线是凹的(concave);（2）如果某段曲线总是位于该段曲线上任一点切线的下方，则称这段曲线是凸的(convex)。,x,y,o,x,y,o,定理2-8设f(x)在a,b上连续,在(a,b)内具有二阶导数,那么（1）若在(a,b)内,f(x)0恒成立,则曲线y=f(x)在a,b上是凹的。（2）若在(a,b)内,f(x)0，则f()0,f(x)Y。由曲线凹、凸的定义，则曲线y=f(x)在a,b上是凹的；（2）同理可证。,例2-48判定曲线y=lnx的凹凸性。解因为y=1/x,y=-1/x2,所以在函数y=lnx的定义区间(0,+)内,y0时,y0,所以曲线在(0,+)上为凹的;注意到，点(0,0)是曲线由凸变凹的分界点。,连续曲线上凹弧与凸弧的分界点称为曲线的拐点(inflectionpoint)。注意在拐点处二阶导数为零或二阶导数不存在。求拐点的步骤:,例2-50求函数的凹凸区间及拐点。解函数的定义域为(0,+),令y=0，得。当时,y0,曲线在内是凹的。拐点为,四、函数图形的描绘描绘函数图形的一般步骤：(1)考察函数f(x)的定义域、间断点与对称性、周期性等性质；(2)求函数f(x)=0和f(x)=0的全部实根，以及f(x)和f(x)的间断点,将它们按从小到大的顺序插入函数的定义域内,得到若干个区间；(3)确定函数的单调性,极值,对应曲线的凹凸性与拐点(列表)；(4)确定函数的渐近线;(5)计算上述各点的函数值,以确定其坐标,描绘函数图象。,例2-51作函数y=x3-x2x+1的图形。解（1）函数y=f(x)的定义域为(-,+)（2）f(x)=3x2-2x1=(3x+1)(x-1)f(x)=6x-2=2(3x-1)令f(x)=0,得x1=-1/3和x2=1;令f(x)=0,得x3=1/3（3）列表。,（4）当x+时，y+；当x-时,y-（5）f(-1/3)=32/27,f(1/3)=16/27,f(1)=0从而得到函数y=x3-x2x+1图形上的三个点：(-1/3,32/27),(1/3,16/27),(1,0)适当补充一些点，例如，计算出f(-1)=0,f(0)=1,f(3/2)=5/8,描出点(-1,0),(0,1),(3/2,5/8)，结合上表结果画图。,x,y,o,-1,1,1,y=x3-x2x+1,例2-52描绘函数的图形。解（1）函数y=(x)为偶函数，它的定义域为(-,+)，值域为,（2）令(x)=0，得驻点x1=0；令(x)=0，得x2=-1,x3=1（3）讨论函数在各个部分区间的性态，列成下表。,（4）因为，得水平渐近线y=0。曲线没有铅直渐近线。,x,y,o,-1,1,作业:习题二41-56,
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