离散系统的z域分析.ppt

第六章离散系统z域分析,6.1z变换一、从拉普拉斯变换到z变换二、收敛域6.2z变换的性质6.3逆z变换6.4z域分析一、差分方程的变换解二、系统的z域框图三、s域与z域的关系四、系统的频率响应五、借助DTFT求离散系统的频率响应,点击目录，进入相关章节,第六章离散系统z域分析,在连续系统中，为了避开解微分方程的困难，可以通过拉氏变换把微分方程转换为代数方程。出于同样的动机，也可以通过一种称为z变换的数学工具，把差分方程转换为代数方程。,6.1z变换,一、从拉普拉斯到z变换,对连续信号进行均匀冲激取样后，就得到离散信号。,取样信号,两边取双边拉普拉斯变换，得,第六章离散系统z域分析,令z=esT，上式将成为复变量z的函数，用F(z)表示；f(kT)f(k)，得,称为序列f(k)的双边z变换,称为序列f(k)的单边z变换,若f(k)为因果序列，则单边、双边z变换相等，否则不等。今后在不致混淆的情况下，统称它们为z变换。,F(z)=Zf(k),f(k)=Z-1F(z)；f(k)F(z),6.1z变换,6.1z变换,二、收敛域,z变换定义为一无穷幂级数之和，显然只有当该幂级数收敛，即,时，其z变换才存在。上式称为绝对可和条件，它是序列f(k)的z变换存在的充分条件。,收敛域的定义：,对于序列f(k)，满足,所有z值组成的集合称为z变换F(z)的收敛域。,（1）整个z平面收敛；,6.1z变换,6.1z变换,例1求以下有限序列的z变换(1)f1(k)=(k)k=0(2)f2(k)=1,2,3,2,1,解(1),可见，其单边、双边z变换相等。与z无关，所以其收敛域为整个z平面。,(2),f(k)的双边z变换为,F(z)=z2+2z+3+2z-1+z-2,收敛域为0z0,对有限序列的z变换的收敛域一般为0z|a|,6.1z变换,例3求反因果序列,的z变换。,解:,可见，b-1z1,即zb时，其z变换存在，,收敛域为|z|b|,6.1z变换,例4双边序列f(k)=fy(k)+ff(k)=,解:,的z变换。,可见，其收敛域为azb,a，且有整数m0,则,6.2z变换的性质,证明（右移）：,上式第二项令km=n，则：,特例：若f(k)为因果序列，则,即：,6.2z变换的性质,例1：求周期为N的有始周期性单位序列,的z变换。,解:,z1,例2：求f(k)=k(k)的单边z变换F(z).,解:,6.2z变换的性质,三、序列乘（a可为实数、虚数、复数）(z域尺度变换),则,证明：,若a=-1，有,6.2z变换的性质,例1：,解:,例2：,解:,6.2z变换的性质,四、卷积性质：,证明：,对单边z变换，要求f1(k)、f2(k)为因果序列,注：其收敛域一般为F1(z)与F2(z)收敛域的相交部分。,6.2z变换的性质,例：，求的双边变换。,解：,6.2z变换的性质,五、序列乘k（z域微分）,设,则,证明：,6.2z变换的性质,令,则,即：,解：,例：求的双边变换。,6.2z变换的性质,六、序列除(k+m)(z域积分）,则,证明：,6.2z变换的性质,例：求序列的z变换。,解：,若m=0,且k0，则,即,6.2z变换的性质,设,则,证明：,七、k域反转(仅适用双边z变换）,6.2z变换的性质,利用齐次性，k域和z域同时乘以a得,解：,例1：求,解：,6.2z变换的性质,八、部分和,若f(k)F(z),z，则,max(,1)zmax(|a|,1),6.2z变换的性质,九、初值定理和终值定理,初值定理适用于右边序列，即适用于kM(M为整数)时f(k)=0的序列。它用于由象函数直接求得序列的初值f(M),f(M+1),而不必求得原序列。,初值定理：,如果序列在kM时，f(k)=0，它与象函数的关系为f(k)F(z)，z则序列的初值,对因果序列f(k)，,6.2z变换的性质,证明：,两边乘zM，得,上式取z，得,6.2z变换的性质,终值定理：,终值定理适用于右边序列，用于由象函数直接求得序列的终值，而不必求得原序列。,如果序列在kM时，f(k)=0，它与象函数的关系为f(k)F(z)，z且01则序列的终值,含单位圆,或,6.2z变换的性质,证明：,设,上式两边乘以，为整数，在的收敛域内作围线积分：,柯西公式：,6.3逆z变换,6.3逆z变换,一、逆z变换,令，得：,上式称为F(z)的逆z变换.,Z逆变换的计算方法：,（1）反演积分法（留数法）；（2）幂级数展开法；（3）部分分式展开法；（4）用z变换性质求逆z变换。,6.3逆z变换,6.3逆z变换,一般而言，双边序列f(k)可分解为因果序列f1(k)和反因果序列f2(k)两部分，即,其中,相应地，其z变换也分为两部分,6.3逆z变换,已知象函数F(z)时，根据给定的收敛域不难由F(z)求得F1(z)和F2(z)，并分别求得它们所对应的原序列f1(k)和f2(k)，根据线性性质，将两者相加得到F(z)所对应的原序列f(k)。,二、幂级数展开法,根据z变换的定义，因果序列和反因果序列的象函数分别是z-1和z的幂级数。其系数就是相应的序列值。,6.3逆z变换,解:,（1）由于F(z)的收敛域在半径为2的圆外，故f(k)为因果序列。用长除法将F(z)展开为z-1的幂级数：,于是，得原序列：,6.3逆z变换,（2）由于F(z)的收敛域在半径为1的圆内，故f(k)为反因果序列。用长除法将F(z)（其分子、分母按z的升幂排列）展开为z的幂级数如下：,于是，得原序列：,6.3逆z变换,(3)F(z)的收敛域为1z)和F2(z)(z2，f(k)为因果序列,(2)当z1，f(k)为反因果序列,(3)当1a,对应原序列为因果序列：,6.3逆z变换,以za为例：,当r=3时，为,当r=2时，为,可这样推导记忆：,两边对a求导得:,再对a求导得:,故:,6.3逆z变换,解:,例1：求逆变换。,解：,6.3逆z变换,四、用性质求逆z变换,方法1：,方法2：,6.3逆z变换,例2、因果周期信号如图，求的单边变换。,设第一周期内信号为，则可表示为,设,6.3逆z变换,解：,五、反演积分法（留数法）*,6.3逆z变换,6.3逆z变换,6.3逆z变换,例：,解：,6.3逆z变换,6.3逆z变换,6.4离散系统的z域分析,单边z变换将系统的初始条件自然地包含于其代数方程中，可求得零输入、零状态响应和全响应。,一、差分方程的z域解,设f(k)在k=0时接入，系统初始状态为y(-1),y(-2),y(-n)。,取单边z变换得：,6.4离散系统的z域分析,令,称为系统函数。,h(k)H(z),例1：若某系统的差分方程为y(k)y(k1)2y(k2)=f(k)+2f(k2)已知y(1)=2，y(2)=1/2，f(k)=(k)。求系统的yx(k)、yf(k)、y(k)。,6.4离散系统的z域分析,6.4离散系统的z域分析,解：,方程取z变换，得：,整理得：,6.4离散系统的z域分析,例2：,解：,系统的差分方程为：,1、求完全响应：,由单边z变换的右移性质：,6.4离散系统的z域分析,解：,根据右移性质，对系统差分方程取单边z变换，得,由上式得：,6.4离散系统的z域分析,2、求零输入响应,的方程：,根据右移性质，对的方程取单边变换，得：,由上式得：,6.4离散系统的z域分析,3、求零状态响应,的方程：,由右移性质，对的方程取单边变换，得,6.4离散系统的z域分析,说明：前向差分方程的解法：,（1）用左移性质：,初始条件：对、,对、,（2）转变为由后向差分方程，用右移性质求解，,初始条件：对、,对、,若初始条件不适用，则用递推法由相应的差分方程递推得到需要的初始条件。,6.4离散系统的z域分析,二、系统函数H(z):,1、定义：,2、物理意义：,3、计算：,（1）,（2）,（3）由系统差分方程求,6.4离散系统的z域分析,例：,6.4离散系统的z域分析,解：,由于是零状态响应，对方程取z变换，得：,4、应用：,（4）表示系统特性：频率特性、稳定性等。,（1）求,（2）求,（3）求,6.4离散系统的z域分析,三、系统的z域框图:,6.4离散系统的z域分析,6.4离散系统的z域分析,例1:求图示LTI因果系统的单位序列响应。,x(k),x(k-1),x(k-2),解：,画出z域框图：,X(z),6.4离散系统的z域分析,由右边加法器可得：,系统函数为：,由部分分式展开得：,由左边加法器可得：,所以系统的单位序列响应为：,6.4离散系统的z域分析,所以系统的单位序列响应为：,6.4离散系统的z域分析,例2:求图示LTI因果系统的单位序列响应。,x(k),x(k-1),x(k-2),解：,设一中间变量x(k)，则左边的加法器输出为：,右边加法器输出为：,整理得：,例1经典解法,6.4离散系统的z域分析,所以，图示系统的差分方程为：,k2时，(2)式的零状态响应化为齐次方程：,初始状态：,迭代得：,由(2)得：,6.4离散系统的z域分析,（3）式的特征根为：,所以：,代入初始条件得：,解得：,由于h(0),h(1)作为初始值代入，因而方程的解也满足k=0和k=1。所以系统的单位序列响应为：,6.4离散系统的z域分析,复变量s与z的关系：,四、s域与z域的关系,s平面的左半平面（z平面的单位圆内部（z=z平面的单位圆（z=1),s平面上的原点（=0，=0）-z平面上z=1的点（=1，=0）,s平面的右半平面（0)-z平面的单位圆外部（z=1),6.4离散系统的z域分析,s平面上实轴（=0)-z平面的正实轴（=0),6.4离散系统的z域分析,五、离散系统的频率响应：,1、LTI离散系统对正弦序列的响应：,设系统输入,初始时刻,响应为,表示为：,6.4离散系统的z域分析,（1）系统对的响应：,设输入，响应为,则,即,6.4离散系统的z域分析,设的收敛域含单位圆，令z为：,则,其中，的收敛域含单位圆。,6.4离散系统的z域分析,（2）系统对的响应：,设输入，响应为,则,（3）系统对正弦序列的响应：,系统输入,响应为,由系统的线性性质，得：,设,则,称LTI离散系统的正弦稳态响应。,6.4离散系统的z域分析,2、LTI离散系统的频率响应：,若LTI因果离散系统得系统函数H(z)得收敛域包含单位圆，则称为LTI因果离散系统的频率响应。其中,称为系统的幅频响应；,称为系统的相频响应；,6.4离散系统的z域分析,（2）是的连续函数；,（3）表示系统对不同频率的正弦序列的稳态响应特性。,（1）是的周期函数，周期为；,6.4离散系统的z域分析,说明：,例1：,为因果信号,系统函数：,6.4离散系统的z域分析,系统差分方程为：,解：,因为，所以的收敛域含单位圆，系统的频率响应为：,6.4离散系统的z域分析,幅频响应曲线：（称数字角频率）,6.4离散系统的z域分析,因为，所以收敛域包含单位圆。,6.4离散系统的z域分析,解：,设系统对的响应为，则,（1）,6.4离散系统的z域分析,设系统对的响应为，则,（2）,6.4离散系统的z域分析,设系统对的响应为，则,（3）,6.4离散系统的z域分析,(4)设系统对的响应为：,6.4离散系统的z域分析,3、借助DTFT求离散系统的频率响应,