离散型随机变量及其分布.ppt

2.2离散型随机变量的概率分布及其分布函数,一、离散型随机变量的概念,二、离散型随机变量的分布函数,三、常见的离散型随机变量的概率分布,定义:若随机变量X的可能取值是有限多个或无穷可列多个，则称X为离散型随机变量.,一、离散型随机变量的概念,设X是一个离散型随机变量，它可能取的值是x1,x2,.,为了描述随机变量X，我们不仅需要知道随机变量X的取值，而且还应知道X取每个值的概率.,离散随机变量的概率分布,称此式为X的分布律（列）或概率分布,设离散型随机变量的所有可能取值是，而取值的概率为,即,一般列成概率分布表：,概率分布的性质,这样，我们就掌握了X这个随机变量取值的概率规律.,从中任取3个球,取到的白球数X是一个随机变量,X可能取的值是0,1,2,取每个值的概率为,例1,且,F(x)是分段阶梯函数，在X的可能取值xk处发生间断，间断点为第一类跳跃间断点.,二、离散型随机变量的分布函数,注意右连续,注意:,离散型随机变量的概率分布分以下几步来求:(1)确定随机变量的所有可能取值;(2)设法（如利用古典概率）计算取每个值的概率.(3)列出随机变量的概率分布表（或写出概率函数）.,=P(抽得的两件全为次品),求分布律举例,例1设有一批产品20件，其中有3件次品，从中任意抽取2件，如果用X表示取得的次品数，求随机变量X的分布律及事件“至少抽得一件次品”的概率。,解：X的可能取值为0，1，2,=P(抽得的两件全为正品),PX=1,PX=2,=P(只有一件为次品),PX=0,故X的分布律为,而“至少抽得一件次品”=X1,=X=1X=2,PX1=PX=1+PX=2,注意：X=1与X=2是互不相容的！,实际上，这仍是古典概型的计算题，只是表达事件的方式变了,故,例2,从110这10个数字中随机取出5个数字，令X：取出的5个数字中的最大值试求X的分布律,具体写出，即可得X的分布律：,解：X的可能取值为,5，6，7，8，9，10并且,=,求分布率一定要说明k的取值范围！,设随机变量X的分布律为,试确定常数b.,解,由分布律的性质,有,例3,(1)01分布,注:其分布律可写成,三、常见的离散型随机变量的概率分布,凡是随机试验只有两个可能的结果，,应用场合,常用01分布描述，如产品是否合格、人口性别统,计、系统是否正常、电力消耗是否超负荷等等.,例,设一个袋中装有3个红球和7个白球，现在从中随机抽取一球，如果每个球抽取的机会相等，并且用数“1”代表取得红球，“0”代表取得白球，则随机抽取一球所得的值是一个离散型随机变量,其概率分布为,即X服从两点分布。,(2)二项分布,背景：n重Bernoulli试验中，每次试验感兴趣的事件A在n次试验中发生的次数X是一离散型随机变量,若P(A)=p,则,称X服从参数为n,p的二项分布(也叫Bernolli分布).记作,01分布是n=1的二项分布.,例3.1.1一大批产品的次品率为0.1，现从中取出15件试求下列事件的概率：B=取出的15件产品中恰有2件次品C=取出的15件产品中至少有2件次品,由于从一大批产品中取15件产品，故可近似看作是一15重Bernoulli试验,解：,所以，,例3.1.2某公交公司有车辆300台，每台出故障的概率是0.01，求至少有295辆车能正常运行的概率。,解：观察每辆车是否正常运行是只有两个结果的试验，观察300辆车是否正常运行可看作是做了300重Bernoulli试验。,至多有5辆车出故障的概率为：,令X=“出故障的车辆数”，则Xb(300,0.01)。,至少有295辆车能正常运行，即至多有5辆车出故障。,设0为一常数，n是任意正整数。设npn=,则对任一固定的非负整数k，有,考虑到直接计算上式较麻烦，当n很大p很小时，有下列近似计算公式：,这就是下面的泊松定理,Poisson定理,实际应用中：当n较大,p较小，np适中时，即可用泊松公式近似替换二项概率公式,若某人做某事的成功率为1%，他重复努力400次，则至少成功一次的概率为,成功次数服从二项概率,有百分之一的希望，就要做百分之百的努力!,在一定时间间隔内：,一匹布上的疵点个数；,大卖场的顾客数；,应用场合:,电话总机接到的电话次数；,一个容器中的细菌数；,放射性物质发出的粒子数；,一本书中每页印刷错误的个数；,某一地区发生的交通事故的次数;,市级医院急诊病人数；,等等.,1)泊松分布与二项分布的关系：这两个分布的数学模,说明：,型都是Bernoulli概型。Poisson分布是二项分布当n很大p很小时的近似计算。,2)Poisson分布主要用于描述一些稀有事件，如地震、火山爆发、特大洪水等等。,例3.1.3(进货问题）由某商店过去的销售记录知道，海尔彩电每月的销售数可用参数为=5的泊松分布来描述，为了以95%以上的把握保证月底不脱销，问商店在月底至少应进多少台？,解：设每月的销售数为X，月底进N台，则,即求满足P(XN)0.95的最小的N,由于P(XN)=1-P(XN)，即求,查表知：N+1=10,所以,即要以95%以上的把握保证月底不脱销，月底至少应进9台商品。,(4)几何分布,设用机枪射击一次击落飞机的概率为,无限次地射击，则首次击落飞机时所需射击的次数服从参数为的几何分布，记.即,容易验证，若在前m次射击中未击落飞机，那么,在此条件下，为了等到击落时刻所需要等待时间也服从同一几何分布，该分布与m无关，这就是所谓的无记忆性.,(5)超几何分布,设有产品件，其中正品件，次品件（），从中随机地不放回抽取件，记X为抽到的的正品件数，求X的分布律.此时抽到件正品的概率为,k=0，1，,称X服从超几何分布.记,可以证明超几何分布的极限分布就是二项分布，因此在实际应用中，当都很大时，超几何分布可用下面式子近似,(7)负二项分布（Pascal分布)(自学),思考：某人酒后回家,从n把外型相同的钥匙中任取一把去开门，求他第k次才打开门的概率.,解：记=“第k次打开门”,第k次才打开门的概率为：,=“第k次没有打开门”,k=1,2,3,