测量学-测量误差的基本理论.ppt

第6章测量误差的基本理论,6.1测量误差概述6.2测量精度的评定指标6.3误差传播定律及其应用6.4算术平均值及其中误差6.5广义算术平均值及其精度评定,6.1测量误差概述,观测中常见的现象举例,1如图1，对两点的距离重复丈量n次，但结果不相等，即,。,2.对三角形三个内角进行观测，得值a,b,c,但是,现象总结：(1)同一观测量之间的值不相等,(2)观测值与其理论值(真值)之间有差异.原因:观测中存在观测误差。,6.1测量误差概述,一、测量误差产生的原因误差来源的三个方面：1、观测者观测者的感觉器官的鉴别能力限制；技术熟练程度。2、测量仪器仪器本身器件之间装配；使用过程中的变化。3、测量环境（外界条件）温度、气压、大气折光、风力、大气透明度等。三者合称为观测条件二、误差分类：真误差的定义i=X-li根据观测误差对观测结果的影响性质分为：系统误差、偶然误差、粗差。,6.1测量误差概述,二、误差分类：1、系统误差（1）定义：在相同的观测条件下作一系列的观测，如果误差在大小、符号上表现出系统性，或者在观测过程中按一定的规律变化，或者为某一常数，那么，这种误差就称为系统误差。（2）举例：尺长误差（保持常数）；水准测量中的i角误差（系统性）；大气折光，白天黑夜相反；钢尺温度变化，热胀冷缩（有规律变化）（3）消除或减弱的方法好的观测方法水准测量中，前后视距相等，可以消除i角对观测结果的影响；角度测量中，盘左、盘右取中数可以消除竖盘指标差的影响。加改正数方法。例如，钢尺量距时，加入尺长改正、温度改正等。,6.1测量误差概述,二、误差分类：2、偶然误差（随机误差）（1）定义：在相同的观测条件下作一系列的观测，如果误差在大小和符号上都表现出偶然性，即从单个误差看，该列误差的大小和符号没有规律性，但就大量误差的总体而言，具有一定的统计规律，这种误差称为偶然误差。（2）举例：读数误差，照准误差（3）消除或减弱的方法采用概率论和数理统计的理论进行处理，减弱偶然误差的影响。3、粗差（1）定义：指比可能产生的最大误差还大的误差（或错误）。（2）举例：找错目标、大数读错等（3）消除或减弱的方法严格按规范规定的程序进行测量工作，加强检核措施等。,6.1测量误差概述,三、偶然误差的特性1.列表法分析用601个三角形闭合差（真误差）进行分析，见表6-1,6.1测量误差概述,偶然误差的四个特性：用真误差列于据表6-1数据分析，得偶然误差的四个特性：（1）在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值。（2）绝对值小的偶然误差比绝对值大的偶然误差出现的可能性大（频率大或概率大）。（3）绝对值相等的正、负误差出现的可能性相等。（4）在相同观测条件下，同一量的多次观测值的偶然误差的算术平均值，随着观测次数的无限增大而趋于零。即,分析方法：误差分布表法、直方图法、数字特征法。,6.1测量误差概述,2.直方图分析法用表6-1的数据作出图6-1的误差分布图，更加直观的说明偶然误差的特性。这种图称为误差频率分布直方图。横坐标表示误差的数值大小；纵坐标表示误差出现在该区间的频率ni/n除以区间的间隔值d,即：ni/n/d因此，各每个矩形的面积等于误差出现于该区间的频率,6.1测量误差概述,3.偶然误差的概率分布当误差个数区域无穷、误差区间无限小时，频率直方图变为概率分布图，其直方图的顶端的折线变为光滑的曲线。该曲线在概率论中称之为正态分布曲线。即偶然误差属于正态分布。其概率分布密度函数为,6.1测量误差概述,3.偶然误差的概率分布其概率分布密度函数为,62测量精度的评定指标,精度的（定义）：精度就是指误差分布的密集或离散的程度。准确度：所谓准确度，是指随机变量（观测量）的数学期望与其真值的接近程度。精确度：精确度是指随机变量（观测量）的数学期望与其真值的接近程度。下图说明三者之间的关系,62测量精度的评定指标,衡量精度的指标在实用上，是用一些数字特征来说明误差分布的密集或离散的程度，称它们为衡量精度的指标。常用的精度指标有：中误差、相对误差、容许误差。一、中误差1中误差的定义在相同的条件下，对同一量进行次观测，所得各个真误差平方的平均值的平方根，称为中误差，用m表示，即,m表示每一次观测值的中误差。,62测量精度的评定指标,2用真误差计算中误差算例例6-2,62测量精度的评定指标,二、相对误差1中误差的局限例如，分别丈量了1000m及500m的两段距离，它们的中误差均为2cm，虽然两者的中误差相同，但就单位长度而言，两者精度并不相同。显然前者的相对精度比后者要高。此时，须采用另一种办法来衡量精度，通常采用相对中误差。2相对中误差相对中误差定义：中误差的绝对值与相应观测值之比值,62测量精度的评定指标,3相对误差相对误差定义：差值的绝对值与相应观测值之比值。,与相对误差相对应，真误差、中误差、极限误差等均称为绝对误差。,相对精度是指长度元素而言。如果不特别说明，相对精度是指相对中误差。角度元素没有相对精度。,62测量精度的评定指标,三、容许（极限）误差按正态分布表查得，误差出现的概率分别为：,绝对值大于三倍中误差的偶然误差出现的概率仅有0.3%，大于二倍中误差的概率只有4.5%。这已经是概率接近于零的小概率事件，或者说这是实际上的不可能事件。故一般以三倍中误差或二倍中误差作为偶然误差的极限值，并称为容许（极限）误差。即：,或,63误差传播定律及其应用,误差传播定律概念：阐述观测值中误差与观测值函数中误差之间数学关系的定律，称为误差传播定律。一、和、差函数的中误差1.函数形式设x、y为独立观测值，其中误差为mx，my，观测值的函数为Z=xy2.函数的中误差计算式则函数Z的中误差计算式为,算例：见例6-3、例6-4,63误差传播定律及其应用,二、倍数函数的中误差1.函数形式设x为观测值，其中误差为mx，观测值的函数为Z=kx2.函数的中误差计算式则函数Z的中误差计算式为,算例：见例6-5,63误差传播定律及其应用,三、线性函数的中误差1.函数形式设x1，x2，xn为独立观测值，其中误差为m1，m2，mn，观测值的函数为,算例：见例6-6,2.函数的中误差计算式则函数Z的中误差计算式为,63误差传播定律及其应用四、非线性函数的中误差,算例：见例6-7,64算术平均值及其中误差,一、算术平均值,即,64算术平均值及其中误差,一、算术平均值,64算术平均值及其中误差,二、算术平均值的中误差算术平均值的中误差与单个观测值的关系式,设单个观测值的中误差为m，算术平均值的中误差为mx，则根据误差传播定律，得,64算术平均值及其中误差,三、用观测值的改正数计算中误差算术平均值的中误差与单个观测值的关系式。在实际工作中，一般情况下，量的真值是不知的，故无法利用真误差计算中误差。但是可以利用算术平均值和观测值的差值-改正数计算。1.改正数的计算设对同一个量同精度观测了n次，得观测值,算术平均值为,64算术平均值及其中误差,三、用观测值的改正数计算中误差1.改正数的计算则观测值的改正数按下式计算,64算术平均值及其中误差,三、用观测值的改正数计算中误差2.则观测值的中误差按下式计算,3.算术平均值的中误差按下式计算,其中,64算术平均值及其中误差,四、用等精度双观测值的差值求观测值的中误差1.双观测值的概念对同一个量独立观测了两次，得,则称其为双观测值,2.双观测值的之差,3.单次观测值的中误差,4.两次观测值平均值的中误差,65广义算术平均值及其精度的评定,一、“权”的定义设观测值Li的中误差为mi，为任意常数，则定义的权为,二、常用的定权方法1.水准测量的权（1）按测站数定权设某水准路线的观测高差为hi，测站数为ni，hi的中误差为mi，c为任意常数，则hi的权为,65广义算术平均值及其精度的评定,二、常用的定权方法1.水准测量的权（2）按水准路线长度定权设某水准路线的观测高差为hi，路线长度Li千米，hi的中误差为mi，c为任意常数，则hi的权为,65广义算术平均值及其精度的评定,二、常用的定权方法2.测量距离的权设某段距离的长度为Di千米，c为任意常数，则hi的权为,3.同精度观测值算术平均值的权,设有一组观测量,它们分别是,次等精度观测值的算术平均值，则各观测值的权为,65广义算术平均值及其精度的评定,三、广义算术平均值广义算术平均值，又称为加权平均值。设对某一量X进行了n次不等精度观测，观测值为,其权为,则其广义算术平均值为,四、广义算术平均值的中误差,第5章完,