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,第七节,这个函数相等吗?,和函数,用处：用多项式逼近一般函数，近似计算。,函数的泰勒级数,机动目录上页下页返回结束,第八章,一个幂级数的和函数在其收敛区间内是任意阶可导的，,反问题:函数在一个区间上任意阶可导，如何将其表示,成为幂级数；,这个幂级数收敛吗？,此级数的和函数与,一、泰勒(Taylor)级数,其中,(在x与x0之间),称为拉格朗日余项.,则在,若函数,的某邻域内具有n+1阶导数,此式称为f(x)的n阶泰勒公式,该邻域内有:,机动目录上页下页返回结束,为f(x)的泰勒(Taylor)级数.,则称,当x0=0时,泰勒级数又称为麦克劳林(Maclaurin)级数.,若函数,的某邻域内具有任意阶导数,教材上称生成,求由函数,在a=2生成的泰勒级数，,级数在其收敛域上是否收敛于f(x)。,1)对此级数,它的收敛域是什么？,2)在收敛域上,和函数是否为f(x)?,待解决的问题:,由函数生成的幂级数(幂级数的部分和是多项式)，,函数在区间上可展开成泰勒级数是指:,在此区间上收敛，且收敛于原函数。,给定一个无穷可微函数，就可以生成其泰勒级数。,定理1.,各阶导数,则f(x)在该邻域内能展开成泰勒级数的充要,条件是,f(x)的泰勒公式中的余项满足:,证明:,令,设函数f(x)在点x0的某一邻域,内具有,机动目录上页下页返回结束,定理2.,若f(x)能展成x的幂级数,则这种展开式是,唯一的,且与它的麦克劳林级数相同.,证:设f(x)所展成的幂级数为,则,显然结论成立.,机动目录上页下页返回结束,公式称为的n阶泰勒公式.,公式称为n阶泰勒公式的拉格朗日余项.,泰勒（中值）定理:,阶的导数,时,有,其中,则当,泰勒目录上页下页返回结束,二、函数展开成幂级数,1.直接展开法,由泰勒级数理论可知,第一步求函数及其各阶导数在x=0处的值;,第二步写出麦克劳林级数,并求出其收敛半径R;,第三步判别在收敛区间(R,R)内,是否为,骤如下:,展开方法,直接展开法,利用泰勒公式,间接展开法,利用已知其级数展开式,0.,的函数展开,机动目录上页下页返回结束,例1.将函数,展开成x的幂级数.,解:,其收敛半径为,对任何有限数x,其余项满足,故,(在0与x之间),故得级数,机动目录上页下页返回结束,例2.将,展开成x的幂级数.,解:,得级数:,其收敛半径为,对任何有限数x,其余项满足,机动目录上页下页返回结束,机动目录上页下页返回结束,P701例9,类似的，可推出:,机动目录上页下页返回结束,随着n变大,更近似，局部范围,还有什么办法可以从上式推出这个式子?,截断误差,其中,机动目录上页下页返回结束,当n=9时,2.间接展开法,利用已知函数的展开式及幂级数的运算性质,例4.将函数,展开成x的幂级数.,解:因为,把x换成,得,将所给函数展开成幂级数.,机动目录上页下页返回结束,例5.将函数,展开成x的幂级数.,解:,从0到x积分,得,定义且连续,区间为,利用此题可得,上式右端的幂级数在x1收敛,所以展开式对x1也是成立的,于是收敛,机动目录上页下页返回结束,例6.将,展成,解:,的幂级数.,机动目录上页下页返回结束,例7.将,展成x1的幂级数.,解:,机动目录上页下页返回结束,内容小结,1.函数的幂级数展开法,(1)直接展开法,利用泰勒公式;,(2)间接展开法,利用幂级数的性质及已知展开,2.常用函数的幂级数展开式,式的函数.,机动目录上页下页返回结束,当m=1时,机动目录上页下页返回结束,思考与练习,1.函数,处“有泰勒级数”与“能展成泰勒级,数”有何不同?,提示:后者必需证明,前者无此要求.,2.如何求,的幂级数?,提示:,机动目录上页下页返回结束,P703从1到33的单数题,第五节目录上页下页返回结束,作业,备用题1.,将下列函数展开成x的幂级数,解:,x1时,此级数条件收敛,因此,机动目录上页下页返回结束,2.将,在x=0处展为幂级数.,解:,因此,机动目录上页下页返回结束,
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