资源描述
20182019学年度第二学期南开区高三年级模拟考试（一）数学试卷（理工类）注意事项：1.答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂在答题卡上；2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其他答案标号.参考公式：椎体的体积公式，其中表示椎体的底面积，表示椎体的高一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，那么（ ）.A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】首先解出集合,再根据集合的交集运算得到结果.【详解】已知集合， ，根据集合的交集的运算得到AB=x|2x1.故答案为：A.【点睛】这个题考查了集合的交集运算，属于基础题.2.设变量x，y满足约束条件2x+y0x+2y20x0y3，则目标函数z=xy的最大值为（ ）A. 1B. 1C. 32D. 3【答案】B【解析】【分析】首先根据不等式组画出可行域，再结合图像得到目标函数的最值.【详解】首先根据不等式组2x+y0x+2y-20x0y3画出可行域，可行域如下图阴影部分：目标函数化为：y=xz，根据图像得到目标函数在点B处取得最大值，x+2y2=0令x=0B0,1,代入得到最大值为：-1.故答案为：B.【点睛】利用线性规划求最值的步骤：(1)在平面直角坐标系内作出可行域；(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形；常见的类型有截距型（ax+by型）、斜率型（y+bx+a型）和距离型（x+a2+y+b2型）；(3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解；(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值.3.执行如图所示的程序框图，若输入的a的值为3，则输出的i=（ ）.A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】C【解析】【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的M，N，i的值，当MN时退出循环，输出i的值即可【详解】模拟执行程序框图，可得:a3，M100，N1，i1满足条件MN，M103，N3，i2满足条件MN，M106，N9，i3满足条件MN，M109，N27，i4满足条件MN，M112，N81，i5满足条件MN，M115，N243，i6不满足条件MN，退出循环，输出i的值为6故答案为：C【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确依次写出每次循环得到的M，N，i的值是解题的关键，是基础题4.设a，bR，则“ab”是“(ab)a20”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合表达式的性质进行判断即可【详解】解：若a0，b1，满足ab，但（ab）a20不成立，若“（ab）a20，则ab且a0，则ab成立，故“ab”是“（ab）a20”的必要不充分条件，故选：B【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的关系进行判断即可5.函数y=2sin(32x) (x0,)为增函数的区间是（ ）A. 0,512B. 0,2C. 512,1112D. 1112,【答案】C【解析】【分析】根据复合函数单调性的关系，结合三角函数单调性的性质进行转化求解即可【详解】 y=2sin32x=2sin2x3,求y=2sin32x的递增区间，等价于求y=2sin2x3的递减区间，由2k+22x32k+32,kz 得2k+562x2k+116,kz 得k+512xk+1112,kz当k0时，512x1112，即函数y=2sin2x3的递减区间为512,1112，则函数y=2sin32x的单调递增区间为512,1112.故选：C【点睛】本题主要考查三角函数单调性以及单调区间的求解，利用复合函数单调性之间的关系以及三角函数的单调性是解决本题的关键根据y=sint和t=x+的单调性来研究，由2+2kx+2+2k,kZ得单调增区间；由2+2kx+32+2k,kZ得单调减区间.6.函数f(x)是奇函数，且在（0，+）内是增函数，f(3)=0，则不等式xf(x)0的解集为（ ）A. （-3,0）（3，+）B. （-，-3）（0,3）C. （-，-3）（3，+）D. （-3,0）（0,3）【答案】D【解析】【分析】易判断f（x）在（-，0）上的单调性及f（x）图象所过特殊点，作出f（x）的草图，根据图象可解不等式【详解】f（x）在R上是奇函数，且f（x）在（0，+）上是增函数，f（x）在（，0）上也是增函数，由f（-3）0，得f（3）f（3）0，即f（3）0，作出f（x）的草图，如图所示：由图象，得xfx0fx0或x0 解得0x3或3x0，xf（x）0的解集为：（3，0）（0，3），故选：D【点睛】本题考查函数奇偶性、单调性的综合应用，考查数形结合思想，灵活作出函数的草图是解题关键7.过双曲线x2a2y2b2=1 (a0,b0)的左焦点F作直线交双曲线的两天渐近线于A,B两点，若B为线段FA的中点，且OBFA（O为坐标原点），则双曲线的离心率为（ ）A. 2B. 3C. 2D. 5【答案】C【解析】由题意可得双曲线的渐近线的方程为y=bax.B为线段FA的中点，OBFAOA=OF=c，则AOF为等腰三角形.BOF=BOA由双曲线的的渐近线的性质可得BOF=xOABOF=BOA=xOA=60ba=tan60=3，即b2=3a2.双曲线的离心率为e=ca=a2+b2a=2aa=2故选C.点睛：本题考查了椭圆和双曲线的定义和性质，考查了离心率的求解，同时涉及到椭圆的定义和双曲线的定义及三角形的三边的关系应用，对于求解曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：求出a,c ，代入公式e=ca；只需要根据一个条件得到关于a,b,c的齐次式，转化为a,c的齐次式，然后转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得e(e的取值范围)8.如图，在ABC中，BAC=3，AD=2DB，P为CD上一点，且满足AP=mAC+12AB，若ABC的面积为23，则AP的最小值为（ ）A. 2B. 3C. 3D. 43【答案】B【解析】【分析】设AB=3a，AC=b，由三角形ABC的面积为23，可得ab=83，由C，P，D三点共线可知m=14，以AB所在直线为x轴，以A点为坐标原点，过A点作AB的垂线为y轴，建立如图所示的坐标系，可以表示出AP的坐标，从而得到AP2的表达式，进而求出最小值。【详解】设AB=3a，AC=b，则三角形ABC的面积为123absin3=23，解得ab=83，由AP=mAC+12AB=mAC+34AD，且C，P，D三点共线，可知m+34=1，即m=14，故AP=14AC+34AD.以AB所在直线为x轴，以A点为坐标原点，过A点作AB的垂线为y轴，建立如图所示的坐标系，则A0，0，D2a，0，B3a，0，C(12b，32b)，则AC=(12b，32b)，AD=2a，0，AP=(18b+32a，38b)，则AP2=18b+32a2+38b2=164b2+94a2+38ab+364b2=116b2+94a2+12116b294a2+1=34ab+1=3.（当且仅当116b2=94a2即b=6a时取“=”）.故AP的最小值为3.【点睛】三点共线的一个向量性质：已知O、A、B、C是平面内的四点，则A、B、C三点共线的充要条件是存在一对实数1、2，使OC=1OC+2OC，且1+2=1.二、填空题.请将答案填在题中横线上.9.已知复数z=1+3i3i，则的实部为_【答案】0;【解析】【分析】根据复数的运算法则进行化简即可【详解】z=1+3i3i=1+3i3+i3i3+i=3+i+3i34=i，则z的实部为为0，故答案为：0.【点睛】本题主要考查复数的有关概念，结合复数的运算法则进行化简是解决本题的关键10.二项式（x-13x）5的展开式中常数项为_【答案】10【解析】试题分析：由二项式定理可知，二项式展开的第r+1项为Tr+1=C5r(1)rx5r2r3=C5r(1)rx525r6，令5256r=0，则r=3，A=C53(1)3=10考点：二项式定理【此处有视频，请去附件查看】11.如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E,F分别为线段AA1,B1C上的点，则三棱锥D1EDF的体积为_.【答案】：16【解析】：VD1EDF=VFEDD1,因为B1C平面EDD1，所以F所在位置均使该三棱锥的高为1；而不论E在AA1上的那一个位置，SEDD1均为12，所以VD1EDF=VFEDD1=13121=16.【考点定位】本题考查空间几何体的体积运算方法，依据空间线面关系推证，进行等积转换是常考点.这里转换底面极为重要，由于两个动点的出现，加大了定值识别的难度12.已知在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x=22t2y=4t，（为参数）.点M(2,0)，P为C上的一点，若PM=42，则POM的面积为_【答案】23【解析】【分析】先化简得到曲线C的直角坐标方程，设出P点坐标根据两点间距离公式得到点P的纵坐标，进而得到面积.【详解】曲线C的参数方程化为普通方程得到y2=42x,设点Px,y,|PM|=x22+y2=42,y2=42x 联立两式得到x=32或52（舍去），代入抛物线得到y2=24,y=26. 则POM的面积为：12OM|yp|=23. 故答案为：23.【点睛】这个题目考查了参数方程与普通方程的互化，涉及两点间距离公式的应用，题目难度中等.13.已知x,y均为正实数，且2x+yxy=127+26,则x+3y的最小值为_【答案】2【解析】【分析】由已知得2y+1x=127+26，将x+3y变为27+2xy+3yx7+26，利用基本不等式求得结果.【详解】由2x+yxy=2y+1x=127+26x+3y=2x+3y2y+1x7+26=27+2xy+3yx7+26又x,y均为正实数，则2xy+3yx22xy3yx=26当且仅当2xy=3yx时取最小值x+3y27+267+26=2本题正确结果：2【点睛】本题考查利用基本不等式求和的最小值问题，关键在于能够通过已知条件将所求式子凑出乘积为定值的形式.14.设函数f(x)=x25x+6,x04x+4,x0，若函数g(x)=x+af(x)有三个零点，则这三个离你单之和的取值范围是_【答案】113,6【解析】【分析】将原题中有3个零点转化为图像y=a和y=fx-x有三个交点，在同一坐标系中画出图像，得到交点的横坐标之和的范围即可.【详解】函数fx=x2-5x+6,x04x+4,x0若函数gx=x+a-fx有三个零点,即方程a=fx-x有三个根，fx-x=x2-6x+6,x03x+4,x0，即图像y=a和y=fx-x有三个交点，在同一坐标系中画出函数的图像：三个交点分别为：x1,x2,x3满足x1x20cosC=1sin2C=34而sinB=1cos2B=378cosA=cosB+C=cosBcosCsinBsinC=916（II）bsinB=csinC，sinC=74，sinB=378b=32c，又bc=24 b=6，c=4a2=b2+c22bccosA=25a=5【点睛】本题考查三角恒等变换中两角和差的余弦公式、利用正弦定理和余弦定理解三角形的问题，属于基础题.16.现有长分别为1m、2m、3m的钢管各3根（每根钢管的质地均匀、粗细相同且富有不同的编号），从中随机抽取n根（假设各钢管被抽取的可能性是均等的，1n9），再将抽取的钢管相接焊成笔直的一根.（I）当n=3时，记事件A=抽取的3根钢管中恰有2根长度相等，求P(A)；（II）当n=2时，若用表示新焊成的钢管的长度（焊接误差不计），求的分布列和数学期望E【答案】I:914;.见解析.【解析】【分析】I:总的基本事件数为C93，事件A，可从三类中任取一类，再从该类的3个中任取2个，然后再从其余两类的6个中任取1个，由分步计数原理可得种数，进而可得概率；:可能的取值为2，3，4，5，6,求出相应的概率值即可得到分布列.【详解】I. 总的基本事件数为C93，事件A，可从三类中任取一类C31，再从该类的3个中任取2个C32，然后再从其余两类的6个中任取1个C61，由分步计数原理可得种数，进而可得概率；事件A为随机事件，PA=C31C32C61C93=914 .可能的取值为2，3，4，5，6 P=2=C32C92=112,P=3=C31C31C92=14P=4=C32+C31C31C92=13,P=5=C31C31C92=14P=6=C32C92=112 的分布列为：23456P112141314112E=2112+314+413+514+6112=4【点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式，求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式求得.17.如图，在三棱锥SABC中，SA底面ABC，AC=AB=SA=2，ACAB，D，E分别是AC，BC的中点，F在SE上且SF=2FE.（I）求证：AF平面SBC；（II）求直线SA与平面SBD所成角的正弦值；（III）在线段DE上是否存在点G，使二面角GAFE的大小为30o？若存在，求出DG的长；若不存在，请说明理由.【答案】I.见解析；.66 ；.满足条件的点G存在，且DG=12【解析】【分析】I:建立空间坐标系，求出相应的直线的方向向量和平面的法向量，证明向量的平行即可；：求出平面SBD的法向量，直线SA的方向向量，由公式可得到线面角；.假设满足条件的点G存在，并设DG=1.则G（1，t，0），求出平面AFG的法向量，和面AFE的法向量，由二面角的平面角的公式得到关于t的方程，进而求解.【详解】I.以A为坐标原点，分别以AC，AB.AS为x，y，z轴建立空间直角坐标系C-xyz.则A（0，0，0），B（0，2，0），C（2，0，0），S（0，0，2），D（1，0，0），E（1，1，0）由SF=2FE得F(23,23,23)AF=(23,23,23),BC=2,-2,0SC=2,0,-2平面AFBC=0,AFSC=0AFBC,AFSCAF平面SBC .设n1=（x1，y1，z1）是平面SBD的一个法向量，由于DS=-1,0,2,DB=-1,2,0，则有n1DS=x1,y1,z1-1,0,2=-x1+2z1=0n1DB=x1,y1,z1-1,2,0=-x1+2y1=0令x1=2，则y1=1.z1=1，即n1=2,1,1。设直线SA与平面SBD所成的角为，而AS=0,0,2，所以sin=cos=n1ASn1AS=66 .假设满足条件的点G存在，并设DG=.则G（1，t，0）.所以AE=（1,1，0），AG=（1，t，0）设平面AFG的法向量为n2=x2,y2,z2，则n2AF=x2,y2,z223,23,23=23x2+23y2+23z2=0n2AG=x2,y2,z21,t,0=x2+ty2=0取y2=1，得x2=-t,z2=t-1即n2=-t,1,t-1.设平面AFE的法向量为n3=x3,y3,z3则n3AF=x3,y3,z323,23,23=23x3+23y3+23z3=0n3AE=x3,y3,z31,1,0=x3+y3=0取y3=1，得x3=-1,z3=0，即n3=-1,1,0由得二面角G-AF-E的大小为30得cos30=n2n3n2n3=-t-1+11+t-102-t2+1+t-12=32，化简得2t2-5t+2=0，又0t1，求得t=12，于是满足条件的点G存在，且DG=12【点睛】本题考查空间几何图形中线面关系的平行或垂直的证明及空间角的计算，考查空间想象能力，注意解题方法的积累，属于中档题求线面角，一是可以利用等体积计算出直线的端点到面的距离，除以线段长度就是线面角的正弦值；还可以建系，用空间向量的方法求直线的方向向量和面的法向量，再求线面角即可。18.已知数列an是等差数列，Sn为其前n项和，且a5=3a2；S7=14a2+7.(I)求数列an的通项公式(II)设数列an+bn是首项为1,公比为2的等比数列，求数列（-1）nbn(an+bn)的前n项和Tn.【答案】I.an=2n1 ；II Tn=Pn+Qn=1445+4n56n12n9【解析】【分析】I：根据等差数列的通项公式得到公差和首项的两个方程，进而求出公差和首项的具体值，得到通项；II：通过第一问以及等比数列的通项公式得到bn=2n-1，进而得到-1nbnan+bn的通项公式，之后分组求和即可.【详解】I.设等差数列an的公差是d.由a5=3a2得a1+4d=3a1+d，化简得:d=2a1，. 由S7=14a2+7得d=a1+1， . . 由解得a1=1，d=2.所以数列an的通项公式为an=2n-1 II由数列an+bn是首项为1，公比为2的等比数列，得an+bn=2n-1，即2n-1+bn=2n-1.所以bn=2n-1-2n+1 所以（-1）nbn（an+bn）=（-1）n2n-1（2n-1-2n+1）=（-1）n4n-1+（-2）n-1（2n-1）=-（-4）n-1+（2n-1）（-2）n-1Pn=-40+-41+.+-4n-1=1-4n1-4=1-4n5 Qn=1-20+3-21+5-22+.+2n-3-2n-2+2n-1-2n-1 .-2Qn=1-21+3-22+5-23+.+2n-3-2n-1+2n-1-2n.-得3Qn=1-20+2-21+2-22+.+2-2n-1-2n-1-2n=1+-41-2n-11-2-2n-1-2n=-13-6n-13-2nQn=-19-6n-13-2n Tn=-Pn+Qn=-1445+-4n5-6n-1-2n9【点睛】本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等.19.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1 ab0的离心率为63，两焦点与短轴的一个端点的连线构成的三角形面积为2.(I)求椭圆C的方程;(II)设与圆O:x2+y2=34相切的直线交椭圆C于A,B两点(O为坐标原点)，OAcosOAB+32tanOBA的最大值.【答案】I.x23+y2=1 ；.2【解析】【分析】I:根据离心率得到ca=63，由三角形面积公式得到bc=2，进而求出参数值，和方程；：当ABx轴时，AB=3，当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=kx+m，根据直线和圆的位置关系得到m2=34k2+1，由OAcosOAB+32tanOBA=|AM|+htanOBA=|AM|+|BM|=|AB|，借助于韦达定理表示求解即可.【详解】I.由题设：ca=63,两焦点与短轴的一个端点的连线构成的三角形面积为2，故bc=2，解得a2=3,b2=1椭圆C的方程为x23+y2=1 .设Ax1,y1、Bx2,y21.当ABx轴时，AB=3 2.当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=kx+m由已知m1+k2=32，得m2=34k2+1 设三角形OAB的高为h即圆的半径,直线和圆的切点为M点，根据几何关系得到：OAcosOAB+32tanOBA=|AM|+htanOBA=|AM|+|BM|=|AB|，把y=kx+m代入椭圆方程消去y，整理得3k2+1x2+6kmx+3m2-3=0,有x1+x2=-6km3k2+1,x1x2=3m2-13k2+1得AB2=1+k2x1-x22=1+k236k2m23k2+12-12m2-13k2+1=12k2+13k2+1-m23k2+12=3k2+19k2+13k2+12=3+12k29k4+6k2+1=3+129k2+1k2+6k03+1223+6=4当且仅当9k2=1k2,，即k=33时等号成立. 当k=0时，AB=3 综上所述OAcosOAB+32tanOBAmax=ABmax=2【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用20.已知函数f(x)=lnxax+a，g(x)=x1ex.（I）讨论f(x)的单调性；（II）若f(x)0恒成立，证明：当0x1x2时，f(x1)f(x2)x1x2g(x)1e2.【答案】I.见解析；.见解析；III 见解析.【解析】【分析】I：对函数求导，分类讨论导函数的正负，进而得到单调性；：通过分类讨论可得到a=1，根据lnxx1，得到：f（x2）f（x1）=lnx2x1（x2x1）0 若a0,fx0，f（x）在0,+上递增； 若a0，当x0,1a时，fx0，f(x)单调递增;当x1a,+时，f（x）1，当x1a,1时，f（x）递减，f（x）f（1）=0，不合题意。若0af（l）=0.不合题意。若a=1.f（x）在（0，1）上递增.在（1，+）上递减，f（x）f(1)=0，合题意。故a=1，且lnxx1（当且仅当x=1时取 “=”） 当0x1x2时，f（x2）f（x1）=lnx2x1（x2x1）x2x11（x2x1）=（1x11）（x2x1），所以f（x1）f（x2）x1x21x11 III.当时，单调递增；当时，g（x）单调递减。 由（）知（当且仅当x=1时取 “=”）. 两个不等式的等号不能同时取到，故得到：得即,【点睛】点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1)构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式；（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.
展开阅读全文