2019版高考数学一轮复习第7章立体几何7.5直线平面垂直的判定与性质学案文.doc

2019版高考数学一轮复习第7章立体几何7.5直线平面垂直的判定与性质学案文知识梳理1直线与平面垂直判定定理与性质定理2平面与平面垂直判定定理与性质定理3.直线和平面所成的角平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角对于直线和平面所成的角应从以下三方面理解：(1)一条直线和平面平行或在平面内，我们说它们所成的角是0的角；(2)一条直线垂直于平面，则称它们所成的角是直角；(3)直线和平面所成角的范围是090.4必记结论(1)若两条平行线中一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面(2)若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内任何一条直线(3)过空间任一点有且只有一条直线与已知平面垂直(4)过空间任一点有且只有一个平面与已知直线垂直(5)两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直(6)两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面诊断自测1概念思辨(1)直线l与平面内的无数条直线都垂直，则l.()(2)垂直于同一个平面的两平面平行()(3)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面()(4)若平面内的一条直线垂直于平面内的无数条直线，则.()答案(1)(2)(3)(4)2教材衍化(1)(必修A2P73A组T1)若m，n表示两条不同的直线，表示平面，则下列命题中，正确命题的个数为()mn；mn；n.A1 B2 C3 D0答案B解析不正确，直线n与不一定垂直，可能是平行或相交或在平面内均正确故选B.(2)(必修A2P67T2)在三棱锥PABC中，点P在平面ABC中的射影为点O，若PAPBPC，则点O是ABC的_心；若PAPB，PBPC，PCPA，则点O是ABC的_心答案外垂解析如图1，连接OA，OB，OC，OP，在RtPOA、RtPOB和RtPOC中，PAPCPB，所以OAOBOC，即O为ABC的外心如图2，PCPA，PBPC，PAPBP，PC平面PAB，AB平面PAB，PCAB，又ABPO，POPCP，AB平面PGC，又CG平面PGC，ABCG，即CG为ABC边AB的高，同理可证BD，AH分别为ABC边AC，BC上的高，即O为ABC的垂心3小题热身(1)(xx湖南六校联考)已知m和n是两条不同的直线，和是两个不重合的平面，下面给出的条件中一定能推出m的是()A且m B且mCmn且n Dmn且答案C解析由线线平行性质的传递性和线面垂直的判定定理，可知C正确故选C.(2)(xx辽宁五校联考)假设平面平面EF，AB，CD，垂足分别为B，D，如果增加一个条件，就能推出BDEF，现有下面四个条件：AC；AC；AC与BD在内的射影在同一条直线上；ACEF.其中能成为增加条件的是_(把你认为正确的条件序号都填上)答案解析如果AB与CD在一个平面内，可以推出EF垂直于该平面，又BD在该平面内，所以BDEF.故要得到BDEF，只需AB，CD在一个平面内即可，只有能保证这一条件题型1直线与平面垂直的判定与性质角度1直线与平面垂直的判定定理(xx全国卷)如图，已知正三棱锥PABC的侧面是直角三角形，PA6.顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连接PE并延长交AB于点G.(1)证明：G是AB的中点；(2)在图中作出点E在平面PAC内的正投影F(说明作法及理由)，并求四面体PDEF的体积利用线面垂直判定定理进行证明解(1)证明：因为P在平面ABC内的正投影为D，所以ABPD.因为D在平面PAB内的正投影为E，所以ABDE.又PDDED，所以AB平面PED，故ABPG.又由已知可得，PAPB，从而G是AB的中点(2)在平面PAB内，过点E作PB的平行线交PA于点F，F即为E在平面PAC内的正投影理由如下：由已知可得PBPA，PBPC，又EFPB，所以EFPA，EFPC，又PAPCP，因此EF平面PAC，即点F为E在平面PAC内的正投影连接CG，因为P在平面ABC内的正投影为D，所以D是正三角形ABC的中心，由(1)知，G是AB的中点，所以D在CG上，故CDCG.由题设可得PC平面PAB，DE平面PAB，所以DEPC，因此PEPG，DEPC.由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且PA6，可得DE2，PE2.在等腰直角三角形EFP中，可得EFPF2，所以四面体PDEF的体积V222.角度2垂直关系中的探索性问题如图所示，平面ABCD平面BCE，四边形ABCD为矩形，BCCE，点F为CE的中点(1)证明：AE平面BDF；(2)点M为CD上任意一点，在线段AE上是否存在点P，使得PMBE？若存在，确定点P的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由从BCCE，取BE的中点H，CHBE入手分析解(1)证明：连接AC交BD于O，连接OF，如右图四边形ABCD是矩形，O为AC的中点，又F为EC的中点，OF为ACE的中位线，OFAE，又OF平面BDF，AE平面BDF.AE平面BDF.(2)当P为AE中点时，有PMBE.证明如下：取BE中点H，连接DP, PH，CH.P为AE的中点，H为BE的中点，PHAB，又ABCD，PHCD，P，H，C，D四点共面平面ABCD平面BCE，平面ABCD平面BCEBC，CD平面ABCD，CDBC.CD平面BCE，又BE平面BCE，CDBE，BCCE，H为BE的中点，CHBE，又CDCHC，BE平面DPHC，又PM平面DPHC，BEPM，即PMBE.方法技巧1证明直线与平面垂直的常用方法(1)利用线面垂直的判定定理，这是主要证明方法(2)利用“两平行线中的一条与平面垂直，则另一条也与这个平面垂直”(3)利用“一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则与另一个也垂直”(4)利用面面垂直的性质定理2线面垂直中的探索性问题同“平行关系中的探索性问题”的规律方法一样，一般是先探求点的位置，多为线段的中点或某个三等分点，然后给出符合要求的证明见角度2典例冲关针对训练(xx济南模拟)如图，正方形ABCD和直角梯形ACEF所在的平面互相垂直，FAAC，EFAC，AB，EFFA1.(1)求证：CE平面BDF；(2)求证：BE平面DEF.证明(1)设正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O，连接FO.由题知EFOC1，因为EFAC，所以四边形CEFO为平行四边形，所以CEOF.又CE平面BDF，OF平面BDF，所以CE平面BDF.(2)因为平面ABCD平面ACEF，平面ABCD平面ACEFAC，FAAC，FA平面ACEF，故FA平面ABCD.连接EO，易知四边形AOEF为边长为1的正方形，所以EO平面ABCD，则EOBD.所以BDE为等腰三角形，BD2BO2OC2，BEDE.因为BD2BE2DE2，所以BEDE.同理在BEF中，BEEF，因为DEEFE，所以BE平面DEF.题型2面面垂直的判定与性质(xx北京高考)如图，在三棱锥PABC中，PAAB，PABC，ABBC，PAABBC2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点(1)求证：PABD；(2)求证：平面BDE平面PAC；(3)当PA平面BDE时，求三棱锥EBCD的体积首先分析已知中的垂直线段所在的平面，由于ABBC，取AC的中点是关键解(1)证明：因为PAAB, PABC，所以PA平面ABC.又因为BD平面ABC，所以PABD.(2)证明：因为ABBC，D为AC中点，所以BDAC.由(1)知，PABD，又PAACA，所以BD平面PAC.又BD平面BDE，所以平面BDE平面PAC.(3)因为PA平面BDE，平面PAC平面BDEDE，所以PADE.因为D为AC的中点，所以DEPA1，BDDC.由(1)知，PA平面ABC，所以DE平面ABC.所以三棱锥EBCD的体积VBDDCDE.结论探究在典例条件下，证明：平面PBC平面PAB.证明由(1)知PABC，又BCAB且PAABA，BC平面PAB，又BC平面PBC，平面PBC平面PAB.方法技巧面面垂直的应用策略1证明平面和平面垂直的方法：面面垂直的定义；面面垂直的判定定理2已知两平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直冲关针对训练 (xx全国卷)如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE平面ABCD.(1)证明：平面AEC平面BED；(2)若ABC120，AEEC，三棱锥EACD的体积为，求该三棱锥的侧面积解(1)证明：因为四边形ABCD为菱形，所以ACBD.因为BE平面ABCD，所以ACBE，又BEBDD，故AC平面BED.又AC平面AEC，所以平面AEC平面BED.(2)设ABx，在菱形ABCD中，由ABC120，可得AGGCx，GBGD.因为AEEC，所以在RtAEC中，可得EGx.由BE平面ABCD，知EBG为直角三角形，可得BEx.由已知得，三棱锥EACD的体积VEACDACGDBEx3，故x2，从而可得AEECED.所以EAC的面积为3，EAD的面积与ECD的面积均为，故三棱锥EACD的侧面积为32.1.(xx全国卷)在正方体ABCD A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则()AA1EDC1 BA1EBDCA1EBC1 DA1EAC答案C解析如图，A1E在平面ABCD上的投影为AE，而AE不与AC，BD垂直，B，D错误；A1E在平面BCC1B1上的投影为B1C，且B1CBC1，A1EBC1，故C正确；(证明：由条件易知，BC1B1C，BC1CE，又CEB1CC，BC1平面CEA1B1.又A1E平面CEA1B1，A1EBC1.)A1E在平面DCC1D1上的投影为D1E，而D1E不与DC1垂直，故A错误故选C.2(xx河北唐山一模)如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，那么，在这个空间图形中必有()AAG平面EFH BAH平面EFHCHF平面AEF DHG平面AEF答案B解析根据折叠前、后AHHE，AHHF不变，AH平面EFH，B正确；过A只能有一条直线与平面EFH垂直，A不正确；AGEF，EFGH，AGGHG，EF平面HAG，又EF平面AEF，平面HAGAEF，过H作直线垂直于平面AEF，一定在平面HAG内，C不正确；已证平面HAG平面AEF，若证HG平面AEF，只需证HGAG，已证AHHG，故HGAG不成立，HG与平面AEF不垂直，D不正确故选B.3(xx全国卷)如图，在四棱锥PABCD中，ABCD，且BAPCDP90.(1)证明：平面PAB平面PAD；(2)若PAPDABDC，APD90，且四棱锥PABCD的体积为，求该四棱锥的侧面积解(1)证明：由已知BAPCDP90，得ABAP, CDPD.由于ABCD，故ABPD，又PAPDP，从而AB平面PAD.又AB平面PAB，所以平面PAB平面PAD.(2)如图，在平面PAD内作PEAD，垂足为E.由(1)知，AB平面PAD，故ABPE，ABAD，可得PE平面ABCD.设ABx，则由已知可得ADx，PEx.故四棱锥PABCD的体积VPABCDABADPEx3.由题设得x3，故x2.从而结合已知可得PAPDABDC2，ADBC2，PBPC2.可得四棱锥PABCD的侧面积为PAPDPAABPDDCBC2sin6062.4(xx山东模拟)如图，AB是圆O的直径，点C，D是圆O上异于A，B的点，CDAB，F为PD中点，PO垂直于圆O所在的平面，ABC60.(1)证明：PB平面COF；(2)证明：ACPD.证明如图所示，AB是圆O的直径，ABC是直角三角形，又ABC60.BCAB，又四边形ABCD是圆的内接四边形，四边形ABCD是等腰梯形，四边形ADCO，DOBC都是以半径为边长的菱形(1)连接BD交OC于H，则H是BD中点，连接FH，因为F为PD中点，FHPB，且PB平面COF，FH平面COF，PB平面COF.(2)四边形ADCO是以半径为边长的菱形ACDO，PO垂直于圆O所在的平面，POAC，且DOPOO，AC平面POD，PD平面POD，ACPD. 重点保分 两级优选练A级一、选择题1设l为直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是 ()A若l，l，则 B若l，l，则C若l，l，则 D若，l，则l答案B解析如图所示，在正方体A1B1C1D1ABCD中，对于A项，设l为AA1，平面B1BCC1，平面DCC1D1为 ，.A1A平面B1BCC1，A1A平面DCC1D1，而平面B1BCC1平面DCC1D1C1C；对于C项，设l为A1A，平面ABCD为，平面DCC1D1为.A1A平面ABCD；A1A平面DCC1D1，而平面ABCD平面DCC1D1DC；对于D项，设平面A1ABB1为，平面ABCD为，直线D1C1为l，平面A1ABB1平面ABCD，D1C1平面A1ABB1，而D1C1平面ABCD.故A，C，D三项都是错误的而对于B项，根据垂直于同一直线的两平面平行，知B项正确故选B.2(xx山西临汾二模)已知点A，B在半径为的球O表面上运动，且AB2，过AB作相互垂直的平面，若平面，截球O所得的截面分别为圆M，N，则()AMN长度的最小值是2BMN的长度是定值C圆M面积的最小值是2D圆M、N的面积和是定值8答案B解析如图所示，平面ABC为平面，平面ABD为平面，则BDBC.BC2BD2412，CD2，M，N分别是AC，AD的中点，MN的长度是定值.故选B.3(xx江西南昌摸底)如图，在四面体ABCD中，已知ABAC，BDAC，那么点D在平面ABC内的射影H必在()A直线AB上B直线BC上C直线AC上DABC内部答案A解析因为ABAC，BDAC，ABBDB，所以AC平面ABD，又AC平面ABC，所以平面ABC平面ABD，所以点D在平面ABC内的射影H必在直线AB上故选A.4(xx江西九江模拟)如图，在三棱锥DABC中，若ABCB，ADCD，E是AC的中点，则下列命题中正确的是()A平面ABC平面ABDB平面ABD平面BCDC平面ABC平面BDE，且平面ACD平面BDED平面ABC平面ACD，且平面ACD平面BDE答案C解析因为ABCB，且E是AC的中点，所以BEAC，同理，DEAC，由于DEBEE，于是AC平面BDE.因为AC平面ABC，所以平面ABC平面BDE.又AC平面ACD，所以平面ACD平面BDE.故选C.5(xx甘肃二诊)已知长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1，AB4，若在棱AB上存在点P，使得D1PPC，则AD的取值范围是()A(0,1 B(0,2 C(1， D1,4)答案B解析连接DP，由D1PPC，DD1PC，且D1P，DD1是平面DD1P内两条相交直线，得PC平面DD1P，PCDP，即点P在以CD为直径的圆上，又点P在AB上，则AB与圆有公共点，即0 ADCD2.故选B.6(xx河北模拟)在四棱锥PABCD中，底面ABCD是直角梯形，BAAD，ADBC，ABBC2，PA3，AD4，PA底面ABCD，E是棱PD上异于P，D的动点设m，则“0m2”是“三棱锥CABE的体积不小于1”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案B解析如图，过E点作EHAD，H为垂足，则EH平面ABCD.VCABEVEABC，三棱锥CABE的体积为EH.若三棱锥CABE的体积不小于1，则EH，又PA3，m1，0m1.故选B.7如图，三棱锥PABC的所有棱长都相等，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中不成立的是()ABC平面PDFBDF平面PAEC平面PDF平面ABCD平面PAE平面ABC答案C解析BCDF，BC平面PDF，A正确BCPE，BCAE，BC平面PAE.又DFBC，DF平面PAE，B正确BC平面PAE，BC平面ABC，平面PAE平面ABC，D正确故选C.8湖北武汉月考)如图，在矩形ABCD中，AB，BC1，将ACD沿AC折起，使得D折起后的位置为D1，且D1在平面ABC上的射影恰好落在AB上，在四面体D1ABC的四个面中，有n对平面相互垂直，则n等于()A2 B3 C4 D5答案B解析设D1在平面ABC上的射影为E，连接D1E，则D1E平面ABC，D1E平面ABD1，平面ABD1平面ABC.D1E平面ABC，BC平面ABC，D1EBC，又ABBC，D1EABE，BC平面ABD1，又BC平面BCD1，平面BCD1平面ABD1.BC平面ABD1，AD1平面ABD1，BCAD1，又CD1AD1，BCCD1C，AD1平面BCD1，又AD1平面ACD1，平面ACD1平面BCD1.共有3对平面互相垂直故选B.9(xx静海县校级月考)如图所示，三棱锥PABC的底面在平面内，且ACPC，平面PAC平面PBC，点P，A，B是定点，则动点C的轨迹是()A一条线段 B一条直线C一个圆 D一个圆，但要去掉两个点答案D解析平面PAC平面PBC，而平面PAC平面PBCPC，又AC平面PAC，且ACPC，AC平面PBC，而BC平面PBC，ACBC，点C在以AB为直径的圆上，点C的轨迹是一个圆，但是要去掉A和B两点故选D.10(xx吉林期末)已知E，F分别是正方体ABCDA1B1C1D1中棱AB，AA1的中点，M，N分别是线段D1E与C1F上的点，则与平面ABCD垂直的直线MN有()A0条 B1条 C2条 D无数条答案B解析如图，设D1E与平面AA1C1C相交于点M，在平面AA1C1C内过点M作MNAA1交C1F于点N，连接MN，由C1F与D1E为异面直线知MN唯一，且MN平面ABCD.故选B.二、填空题11(xx开封二模)三棱锥SABC中，SBASCA90，ABC是斜边ABa的等腰直角三角形，则以下结论中：异面直线SB与AC所成的角为90；直线SB平面ABC；平面SBC平面SAC；点C到平面SAB的距离是a.其中正确的是_答案解析由题意知AC平面SBC，故ACSB，故正确；再根据SBAC，SBAB，可得SB平面ABC，平面SBC平面SAC，故正确；取AB的中点E，连接CE，可证得CE平面SAB，故CE的长度即为点C到平面SAB的距离为a，正确12(xx苏州期末)如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，底面ABCD为正方形，则下列结论：AD平面PBC；平面PAC平面PBD；平面PAB平面PAC；平面PAD平面PDC.其中正确的结论序号是_答案解析由底面为正方形，可得ADBC，AD平面PBC，BC平面PBC，可得AD平面PBC；在正方形ABCD中，ACBD，PA底面ABCD，可得PABD，PAACA，可得BD平面PAC，BD平面PBD，即有平面PAC平面PBD；假设面PAB面PAC，面PAB面PACPA，又PA面ABCD，PAAC.由面面垂直性质定理，AC面PAB，AB面PAB，ACAB.而四边形ABCD为正方形，BAC45，矛盾面PAB面PAC不成立；在正方形ABCD中，可得CDAD，PA底面ABCD，可得PACD，PAADA，可得CD平面PAD，CD平面PCD，即有平面PAD平面PDC.综上可得，正确故答案为.13(xx三元区月考)如图，在四边形ABCD中，ADBC，ADAB，BCD45，BAD90，将ADB沿BD折起，使CD平面ABD，构成三棱锥ABCD.则在三棱锥ABCD中，平面BCD，平面ADC，平面ABC，平面ABD，互相垂直的有_答案平面ABD平面ACD、平面ABD平面BCD、平面ABC平面ACD解析在四边形ABCD中，ADBC，ADAB，BCD45，BAD90，BDCD.由CD平面ABD，CD平面BCD，所以平面ABD平面BCD，由CD平面ABD，则CDAB，又ADAB.故AB平面ADC，所以平面ABC平面ADC，平面ABD平面ADC.14(xx泰安模拟)如图，四边形ABCD中，ABADCD1，BD，BDCD.将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体ABCD，使平面ABD平面BCD，则BAC_，VABCD_.答案90解析由题设知：BAD为等腰直角三角形，CD平面ABD，得BA平面ACD，BAC90，VABCDVCABD.B级三、解答题15(xx临汾期末)在三棱柱ABCA1B1C1，侧面ABB1A1为矩形，AB2，AA12，D是AA1中点，BD与AB1交于点O，且OC平面ABB1A1.证明：平面AB1C平面BCD.证明ABB1A1为矩形，AB2，AA12，D是AA1的中点，BAD90，ABB190，BB12，ADAA1，tanABD，tanAB1B，ABDAB1B，AB1BBAB1ABDBAB1，AOB，即AB1BD.CO平面ABB1A1，AB1平面ABB1A1，AB1CO，又BDCOO，AB1平面BCD.AB1平面AB1C，平面AB1C平面BCD.16(xx黄冈调研)在三棱锥PABC中，PAB是等边三角形，PAAC，PBBC.(1)证明：ABPC；(2)若PC2，且平面PAC平面PBC，求三棱锥PABC的体积解(1)证明：在RtPAC和RtPBC中AC，BC.PAPB，ACBC.取AB中点M，连接PM，CM，则ABPM，ABMC，AB平面PMC，而PC平面PMC，ABPC.(2)在平面PAC内作ADPC，垂足为D，连接BD.平面PAC平面PBC，AD平面PBC，又BD平面PBC，ADBD，又RtPACRtPBC，ADBD，ABD为等腰直角三角形设ABPAPBa，则ADa，在RtPAC中，由PAACPCAD得a2a，a.SABDADBD2，VPABCSABDPC2.17(xx绵阳期末)如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，点D是AB的中点，M是AA1上一点，AMtAA1.(1)求证：BC1平面A1CD；(2)若3AB2AA1，当t为何值时，B1M平面A1CD?解(1)证明：连接AC1，交A1C于点O，那么点O是AC1的中点，连接OD，由点D是AB的中点，可得BC1OD，BC1平面A1CD，OD平面A1CD，可得BC1平面A1CD.(2)由3AB2AA1，D为AB中点可得，当时，可得RtA1ADRtB1A1M，DA1AMB1A1，A1MB1DA1AA1MB1MB1A190，B1MA1D.D是AB的中点，CDAB，又CDAA1，ABAA1A，CD平面AA1B1B.B1M平面AA1B1B，CDB1M.CDA1DD，B1M平面A1CD，此时，3AB2AA1，所以A1MAA1，故AMAA1，即当t时，B1M平面A1CD.18(xx昌平区调研)已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，M是DD1的中点(1)求证：BD1平面AMC；(2)求证：ACBD1；(3)在线段BB1上是否存在点P，当时，平面A1PC1平面AMC？若存在，求出的值并证明；若不存在，请说明理由解(1)证明：在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，连接BD交AC于N，连接MN.因为ABCD为正方形，所以N为BD中点，在DBD1中，因为M为DD1中点，所以BD1MN.因为MN平面AMC，BD1平面AMC，所以BD1平面AMC.(2)证明：因为ABCD为正方形，所以ACBD.因为DD1平面ABCD，所以DD1AC.因为DD1BDD，所以AC平面BDD1.因为BD1平面BDD1，所以ACBD1.(3)当，即点P为线段BB1的中点时，平面A1PC1平面AMC.因为AA1CC1，且AA1CC1，所以四边形AA1C1C是平行四边形，所以ACA1C1.取CC1的中点Q，连接MQ, QB.因为M为DD1中点，所以MQAB，且MQAB，所以四边形ABQM是平行四边形所以BQAM.同理BQC1P.所以AMC1P.因为A1C1C1PC1，ACAMA，所以平面A1PC1平面AMC.