资源描述
全等三角形中的两大辅助线技巧突破点1倍长中线倍长中线法:延长三角形一边的中线至一点,使所延长的部分与该中线相等,并连接该点与这条边的一个顶点,得到两个全等的三角形.这种方法主要用于构造全等三角形或证明对应边之间的关系.倍长中线常用辅助线添加方法(倍长中线等中线,等量关系一大片)叙述图示结论基本图形:在ABC中,AD为BC边上的中线.倍长中线:延长AD到点E,使ED=AD,连接BE.ACDEBD;根据三角形三边的关系得到:AD12(AB+AC).倍长中线的变形作法一:M为AB上一点,连接MD并延长到点N,使ND=MD,连接CN;作法二:过点C作CNAB,与过点D的直线交于点N,该直线与AB交于点M.BDMCDN 如图,在ABC中,AD是中线,BAC=BCA,点E在BC的延长线上,CE=AB,连接AE.求证:AE=2AD.思路分析见到中线,试一下倍长中线的辅助线作法,得到相等的线段,再利用三角形全等和等量代换进行证明.自主解答1.如图,在ABC中,AB=5,AC=3,则中线AD的取值范围是.(第1题)(第2题)2.如图,在ABC中,点E,F分别在AB,AC上,点D是BC边上的中点,DEDF,则BE+CF与EF的大小关系为.3.如图,在ABC中,AD是BC边上的中线,点E是AD上一点,且BE=AC,延长BE交AC于点F.求证:AF=EF.4.如图,在ABC中,AD交BC于点D,点E是BC的中点, EFAD交CA的延长线于点F,交AB于点G,已知BG=CF,求证:AD为ABC的角平分线.突破点2旋转图形的旋转是近几年河南中考必考的内容.运用旋转的全等变换,证明线段相等、和差倍分关系以及角相等、和差倍分关系都是近几年中考常见的类型.旋转的基本性质:对应点到旋转中心的距离相等;对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;旋转前后的图形全等.旋转的基本图形图形旋转的要点利用旋转作辅助线的基本思路如图,将AOB旋转至AOB,则AOA=BOB.1.找准旋转中的“变”与“不变”;2.找准旋转前后的“对应关系”;3.充分挖掘旋转过程中线段之间的关系;4.找旋转点,得等边、等角;5.证全等或相似;6.利用全等或相似得到边、角关系.1.以等边三角形为背景的旋转60(遇60旋转60);2.以正方形为背景的旋转90(遇90旋转90);3.将分散的条件通过旋转变换集中在一块“形成合力”破解难题(若条件是分散的,则试试看把图形进行平移、旋转、翻折).如图,将AOB旋转至AOB,连接AA,BB,则AOABOB. 如图,在O的内接四边形ABCD中,AB=3,AD=5,BAD= 60,点C为BD的中点,则AC的长是 .思路分析四边形ABCD是O的内接四边形,ABC+ADC=180,又点C为BD的中点,BC=CD.将ABC绕点C旋转至EDC,则A,D,E三点共线,这样就把分散的条件集中在一块了,旋转变换后的图形是等腰三角形,再利用等腰三角形“三线合一”的性质和锐角三角函数求出AC的值即可.(利用旋转时,一般要满足两个条件:有相等的边,两角之和为180)5.如图,点P为等边三角形ABC内的一点,且点P到ABC三个顶点A,B,C的距离分别为1,2,3,则ABC的面积为.(第5题)(第6题)6.如图,在正方形ABCD中,点E为BC上一点,点F为CD上一点,BE+DF=EF,则EAF的度数为.7.如图,在ABC中,C=90,点D,E,F分别在边CA,AB,BC上,且四边形CDEF是正方形,已知BE=2.2,EA=4.1,则BFE和AED的面积之和为.8.如图,OA=OD,OAOD,OB=OC,OBOC,经过点O的直线l分别交AB,CD于点E,F.(1)试说明:SOAB=SOCD;(2)若直线l平分CD,求证:OF=12AB.9.如图,点D为等腰直角三角形ABC斜边AB的中点,DMDN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F.(1)当MDN绕点D转动时,求证:DE=DF;(2)若AB=2,求四边形DECF的面积.10.如图,等腰三角形ABC绕顶点B逆时针旋转到A1BC1的位置,AB与A1C1相交于点D,AC与A1C1,BC1分别相交于点E,F.(1)求证:BCFBA1D;(2)当C=时,判断四边形A1BCE的形状并说明理由.一线三直角模型1.模型说明一线三直角是一个常见的相似模型,指的是有三个直角的顶点在同一条直线上构成的相似图形,有些地区称“三垂直模型”,也有称“K形图”或“M形图”.(一线三等角不仅可以是直角,也可以是锐角或钝角.本专题主要研究一线三直角模型)2.识别方法(1)查找图形中已知的直角,顺着这个直角的顶点寻找或者构造模型中的“一线”;(2)构造其他直角,构造的直角的顶点必须在“同一条直线”上, “这条直线”可能在已知角的外部,也可能“穿过”这个角.3.构造一线三直角的基本步骤做题过程中,若出现一直角的顶点在一条直线上的形式,就可以构造两侧的直角三角形,利用全等三角形或相似三角形解决相关问题.综合性题目往往就会把全等和相似的转化作为出题的一种形式.本质就是找角、定线、构相似.一线三直角的基本图形一般结论一线三直角的应用ACDBAE.特殊地,当AB=AC时,ACDBAE.图形中已经存在“一线三直角”,直接应用模型解题;图形中存在“一线两直角”,补上“一直角”构造此模型;图形中只有直线上的一个直角,补上“两直角”构造此模型;图形中只有一个直角,过该直角顶点补上“一线”,再补上“两直角”,构造此模型;对坐标系中在x轴或y轴(也可以是平行于x轴或y轴的直线)上构造“一线三等角”是解决问题的关键.突破点1三角形中运用一线三直角进行相关的运算 如图,在RtABC中,C=90,AEB=135,BE=32,DEBE交AB于点D,若DE=2,则AE的长为.思路分析观察题图,有两个直角:DEB和C,有“一条线”:直线AC,过点D作AC的垂线,即可构造一线三直角模型,然后配合题中的条件用“相似+勾股”进行证明和计算.突破点2四边形中运用一线三直角求线段长 如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,点E为BC边的中点,将ABE沿AE折叠,使点B落在矩形内的点F处,连接CF,则CF的长为.思路分析题图中的直角有很多,与CF联系紧密且易于构造一线三直角模型的直角是AFE,过直角顶点F用竖直的线(作矩形ABCD的边AD边垂线),可构造一线三直角模型,再配合题中的条件用“相似+勾股”进行相关计算.突破点3一线三直角在二次函数中的运用 抛物线y=x2-4x+3与坐标轴交于A,B,C三点,点P在抛物线上,PEBC于点E,若PE=2CE,则点P的坐标为.思路分析图形中与点P相关的直角顶点是E,可过点E作x轴或y轴的平行线(也可以是平行于x轴或y轴的直线),构造一线三直角模型,然后利用相关知识进行计算.1.在四边形ABCD中,BAD=ACB=90,AB=AD,AC=4BC,若CD的长为5,则四边形ABCD的面积为.(第1题)(第2题)2.如图,已知ABC=90,AD=BC,CE=BD,AE与CD相交于点M,则AMD=.3.如图,在平面直角坐标系中,等腰直角三角形OAB的一个顶点在原点处,ABO=90,OB=AB,已知点A(2,4),则点B的坐标为.(第3题)(第4题)4.如图,在平面直角坐标系中,点A(0,23),点B(4,0),点C在第一象限内,若ABC为等边三角形,则点C的坐标为.5.如图,在平面直角坐标系中,把矩形OABC的顶点O放在原点处,把其边OA,OC分别放在x轴的正半轴、y轴的正半轴上,点D在OC边上,把BDC沿直线BD翻折,点C的对应点恰好落在x轴上的点E处,已知B(10,8),则直线BD的解析式为.(第5题)(第6题)6.如图,在四边形ABCD中,AD=4,CD=3,ABC=ACB=ADC=45,则BD的长为.7.在四边形ABCD中,ABC=BAD=90,ACD=45,AB=3,AD=4,则BC的长为.(第7题)(第8题)8.如图,已知抛物线y=-12x2与直线AB交于A(-2,-4),B两点,连接AO,BO,若AOB=90,则点B的坐标为.参考答案高分突破微专项1全等三角形中的两大辅助线技巧例1证明:如图,延长AD至点F,使DF=DA,连接CF.在ABD和FCD中,AD=FD,ADB=FDC,BD=CD,ABDFCD,AB=FC,B=DCF.CE=AB,BAC=BCA,ACE=BAC+B,CF=CE,ACE=BCA+DCF=ACF,在ACF和ACE中,AC=AC,ACF=ACE,CF=CE,ACFACE,AE=AF=2AD.强化训练1.1ADAE,且EC-AC2AD,AB-AC2AD,22AD8,1ADEF如图,延长ED至点P,使DP=DE,连接FP,CP,点D是BC的中点,BD=CD,又EDB=CDP,BDECDP,BE=CP.DEDF,DE=DP,EF=FP.又在CFP中,CP+CF=BE+CFFP,BE+CFEF.3.证明:如图,延长AD到点G,使得DG=AD,连接BG.AD是BC边上的中线,DC=DB.在ADC和GDB中,AD=DG,ADC=GDB,DC=DB,ADCGDB,CAD=G,BG=AC.BE=AC,BE=BG,BED=G,又BED=AEF,AEF=CAD,AF=EF.4.证明:如图,过点C作CHAB,交FE的延长线于点H,则B=ECH,BGE=H.点E是BC的中点,BE=CE.在BEG和CEH中,B=ECH,BGE=CHE,BE=CE,BEGCEH,BG=CH,又BG=CF,CH=CF,F=H.EFAD,F=CAD,BGE=BAD,又BGE=H,BAD=CAD,AD为ABC的角平分线.例2833如图,将ABC以点C为旋转中心,旋转至EDC,则ABCEDC,AB=ED,AC=EC,ABC=EDC.四边形ABCD是O的内接四边形,ABC+ADC=180,EDC+ADC=180,A,D,E三点共线,AE=AD+ED=8.BAD= 60,点C为BD的中点,CAE=12BAD=30.过点C作CFAE于点F,则AF=12AE=4.在RtACF中,cosCAF=AFAC,即32=4AC,解得AC=833.强化训练5.32+334如图,将ABP以点A为旋转中心逆时针旋转60,得ACD,过点A作AECD交CD的延长线于点E,连接PD,易得ABPACD,AP=AD,BP=CD,PAD=BAC=60,ADP为等边三角形,AP=PD.在CDP中,DP=1,CD=2,PC=3,PD2+CD2=PC2,CDP是直角三角形,且CDP=90,CDP+ADP=150,ADE=30.在RtADE中,AE=12AD=12,ED=3AE=32,CE=CD+DE=2+32,AC2=3+6,SABC=34AC2=32+334.6.45如图,将ABE绕点A逆时针旋转90至ADG的位置,得EAG=90,ABEADG,BE=DG,AE=AG,又BE+DF=EF,FG=EF,AEFAGF,EAF=GAF,EAF=12EAG=45.7.4.51方法一:如图(1),将BEF绕点E逆时针旋转90到GED的位置,易得EGAE,BEFGED,GE=BE=2.2,SBFE+SAED=SAEG=12AEEG=122.24.1=4.51.方法二:如图(2),将AED绕点E顺时针旋转90到GEF的位置,则EGAE,AEDGEF,GE=AE=4.1,SBFE+SAED=SGBE=12BEEG=122.24.1=4.51.图(1)图(2)8.(1)证明:OA=OD,可将AOB以点O为旋转中心旋转至DOG的位置,如图所示,则AOBDOG,SOAB=SODG,AOB=DOG,OB=OG.OAOD,OB=OC,OBOC,COD+AOB=COD+DOG=180,OC=OG,C,O,G三点共线,OD为CDG中CG边上的中线,SODG=SOCD,SOAB=SOCD.(2)证明:直线l平分CD,CF=DF.由(1)可知,OC=OG,OF为CDG的中位线,OF=12DG,由旋转性质可得DG=AB,OF=12AB.9.(1)证明:连接DC,点D为等腰直角三角形ABC斜边AB的中点,CDAB,CD=DA,CD平分BCA,ECD=DCA=45.DMDN,EDN=90,又CDA=90,CDE=FDA.在CDE和ADF中,DCE=A,CD=AD,CDE=FDA,CDEADF,DE=DF.(2)CDEADF,SCDE=SADF,S四边形DECF=SACD=12CDAD=12.10.(1)证明:ABC是等腰三角形,AB=BC,A=C.将等腰三角形ABC绕顶点B逆时针旋转到A1BC1的位置,A1B=AB=BC,A1=A=C,A1BD=CBC1.在BCF与BA1D中,A1=C,A1B=BC,A1BD=CBF,BCFBA1D.(2)当C=时,四边形A1BCE是菱形.理由:由题易得A1=A.又ADE=A1DB,AED=A1BD=,DEC=180-.C=,A1=,A1BC=360-A1-C-A1EC=180-,A1=C,A1BC=A1EC,四边形A1BCE是平行四边形,又A1B=BC,四边形A1BCE是菱形.高分突破微专项2一线三直角模型例13如图,过点D作DFAC于点F.AEB=135,CEB=45,CEB是等腰直角三角形.又BE=32,BC=CE=3.根据一线三直角模型,可得EFDBCE,FED=FDE=45.又DE=2,EF=DF=1.易证AFDACB,AFAC=DFBC.设AF=a,则aa+4=13,解得a=2,AE=AF+EF=2+1=3.例2185如图,过点F作AD的垂线,交AD于点M,交BC于点N,则FMA=ENF=90.BC=6,点E为BC边的中点,BE=12BC=3.由折叠的性质可知,EF=BE=3,AF=AB=4,AFE=B=90.根据一线三直角模型,可得AMFFNE,FNAM=ENFM=EFAF=34.设EN=3x,FM=4x,则FN=4-4x,AM=3x+3,4-4x3x+3=34,解得x=725,NC=EC-EN=3-3x,FC=5-5x=5-5725=185.例3(133,409)方法一:如图(1),过点E作EFy轴,交y轴于点F,过点P作PGEF,交FE的延长线于点G.当y=0时,x2-4x+3=0,解得x1=1,x2=3,A(1,0),B(3,0),OA=1,OB=3.当x=0时,y=3,点C的坐标是(0,3).OC=3,OB=OC,BOC为等腰直角三角形.又EFOB,EFC是等腰直角三角形.CFE=EGP=CEP=90,根据一线三直角模型,可得CEFEPG.PE=2CE,CEPE=CFEG=EFPG=12.设点E的横坐标为m,易得EG=PG=2m,点P的坐标为(3m,3+m).把点P的坐标代入y=x2-4x+3中,解得m1=139,m2=0(不符合题意,舍去),点P的坐标为(133,409).方法二:如图(2),当y=0时,x2-4x+3=0,解得x1=1,x2=3,A(1,0),B(3,0),OA=1,OB=3.当x=0时,y=3,点C的坐标是(0,3).OC=3,OB=OC,BOC为等腰直角三角形.过点B作BFBC,交CP的延长线于点F,过点F作FHx轴于点H,PEBC,EPBF,CEPCBF.PE=2CE,CEPE=CBFB=12.由一线三直角模型可得BOCFHB,BH=FH=2AB=6,点F的坐标为(9,6).易求出直线CF的解析式为y=13x+3.令x2-4x+3=13x+3,解得x1=0(舍去),x2=133,把x=133代入到y=13x+3,得点P的坐标为(133,409).图(1)图(2)强化训练1.10如图,过点D作DEAC,交AC于点E.BAD=ACB=90,AB=AD,根据一线三直角模型,可得ABCDAE,AE=BC,AC=DE.设BC=AE=a,则CE=3a.在RtCDE中,CE2+DE2=CD2,即(3a)2+(4a)2=52,解得a=1(负值已舍去),DE=AC=4a=4,S四边形ABCD=SABC+SACD=12BCAC+12ACDE=1214+1244=10.2.45如图,过点A作ANAB,且AN=BD,连接DN,CN.AD=BC,DANCBD,AND=CDB,DN=DC.又AND+NDA=90,CDB+NDA=90,NDC=90,CDN是等腰直角三角形,NCD=45.AN=DB,CE=BD,AN=CE.又ANCE,四边形ANCE是平行四边形,CNAE,AMD=NCD=45.3.(3,1)如图,过点B作x轴的垂线,垂足为F,过点A作y轴的垂线,垂足为E,两线交于点D,则ADB=BFO=90.ABO=90,AB=OB,根据一线三直角模型,可得ABDBOF,AD=BF,BD=OF.设AD=BF=a,BD=OF=b.A(2,4),AE=2,DF=4,a+2=b,a+b=4,解得a=1,b=3.OF=3,BF=1,故点B的坐标为(3,1).4.(5,33)如图,过点C作CDAB于点D,过点D作y轴的垂线,垂足为E,过点C作CFED,交ED的延长线于点F.点A(0,23),点B(4,0),OA=23,OB=4.ABC为等边三角形,CD=3AD.易知DE为AOB的中位线,DE=12OB=2,AE=12OA=3.根据一线三直角模型,可得ADEDCF,AEDF=DECF=ADCD=13,解得DF=3,CF=23,EF=DE+DF=5,CF+OE=33,点C的坐标为(5,33).5.y=12x+3在矩形OABC中,B(10,8),OC=AB=8,OA=BC=10.由折叠的性质可知DE=CD,BE=BC=10.在RtABE中,AE=BE2-AB2=6,OE=OA-AE=10-6=4.根据一线三直角模型可知,DOEEAB,ODOE=AEAB,即OD4=68,解得OD=3,点D的坐标为(0,3).设直线BD的解析式为y=ax+3,将B(10,8)代入,解得a=12,故直线BD的解析式为y=12x+3.6.41如图,过点C作CFAD于点F,过点B作BEAD,交DA的延长线于点E.在RtCDF中,ADC=45,CD=2DF=2CF,CF=DF=322,AF=AD-DF=4-322.CFA=CAB=AEB=90,AC=AB,根据一线三直角模型,可得ACFBAE,AE=CF=322,BE=AF=4-322,DE=AD+AE=4+322.在RtBDE中,BD=DE2+BE2=41.7.2+7方法一:如图(1),过点D作DEAC于点E,过点E作AB的平行线,分别交BC,AD于点G,H,则四边形ABGH是矩形.ACD=45,DCE为等腰直角三角形,DE=CE.DHE=EGC=DEC=90,根据一线三直角模型,可得DEHECG,EH=CG,DH=EG.设DH=EG=m, 则CG=EH=3-m,AH=4-m,BC=CG+AH=7-2m.易知CEGCAB,EGBA=CGCB,即m3=3-m7-2m,解得m1=5+72(不合题意,舍去),m2=5-72,BC=7-2m=2+7.方法二:如图(2),过点A作AEAC与CD的延长线交于点E,过点E作EFAB,交BA的延长线于点F.ACD=45,则ACE为等腰直角三角形,AC=AE.EAC=EFA=ABC=90,根据一线三直角模型,可得AEFCAB.AF=BC,EF=BA=3.设AF=BC=a,过点E作EHBC于点H,则四边形EFBH为矩形,EH=BF=a+3,CH=BC-BH=BC-EF=a-3,DG=AD-AG=4-EF=1.ABC=BAD=90,DGCH,EGDEHC,EGEH=DGCH,即aa+3=1a-3,解得a1=2+7,a2=2-7(不合题意,舍去).故BC的长为2+7.图(1)图(2)8.(1,-12)如图,分别过A,B两点作ADx轴于点D,BCx轴于点C.ADO=OCB=AOB=90,根据一线三直角模型,可得AODOBC,ODAD=BCOC.A(-2,-4),OD=2,AD=4,ODAD=BCOC=12,OC=2BC.设BC=a,则OC=2a,点B的坐标为(2a,-a),代入y=-12x2,得-a=-12(2a)2,解得a1=12,a2=0(不符合题意,舍去),故点B的坐标为(1,-12).
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