资源描述
第二章逻辑代数基础,2.1逻辑代数的基本公式和常用公式,2.2逻辑函数及其表示方法,2.3逻辑函数的化简,2.4具有无关项的逻辑函数的化简,2.1逻辑代数的基本公式和常用公式,基本公式,常用公式,逻辑代数的基本定理,一、基本公式,结合律,交换律,分配律,德摩根定理(反演律),还原律,二、若干常用公式,三、逻辑代数的基本定理,在任何一个包含变量A的逻辑等式中，若以另外一个逻辑式代入式中所有A的位置，则等式仍然成立。,1.代入定理,例1：,用逻辑式CD代入公式AB+A=A中所有A的位置，则等式CDB+CD=CD仍然成立。,2.反演定理,对任一逻辑式Y，若将其中所有的乘换成加，加换成乘，0换成1，1换成0，原变量换成反变量，反变量换成原变量，则得到的结果就是Y的反。,若,则,例2,若,则,注意：遵守“括号、乘、加”的运算优先次序。不属于单个变量上的反号应保留不变。,例3：,3.对偶定理,若两逻辑式相等，则它们的对偶式也相等。,对偶式：对于任何一个逻辑式Y，若将其中的“”换成“+”，“+”换成“”，0换成1，1换成0，则得到一个新的逻辑式YD，则YD叫做Y的对偶式。,若,若,例4：,则,则,例5：,2.2逻辑函数及其表示方法,逻辑函数,逻辑函数的表示方法,逻辑函数的两种标准形式,一、逻辑函数,各种逻辑关系中，输入与输出之间的函数关系，称为逻辑函数。,表示为：,变量和输出（函数）的取值只有0和1两种状态，这种逻辑函数是二值逻辑函数。,例1三人表决电路：三人A、B、C当中有两人或两人以上同意时，表决结果Y为通过，否则表决结果Y为没通过。表决结果Y的状态（通过与没通过）是三人A、B、C状态（同意与不同意）的函数。,任何一个具体的因果关系都可以用一个逻辑函数描述,逻辑函数为：,二、逻辑函数的表示方法,常用的表示方法,逻辑真值表逻辑函数式（逻辑式或函数式）逻辑图卡诺图,将输入变量所有的取值下对应的输出值找出来列成表格，即可得到逻辑真值表。,1.逻辑真值表,以三人表决电路为例，输入变量为1表示同意，0表示不同意，输出（函数）为1表示通过，0表示没通过。,三人表决电路真值表：,输入变量A、B、C为1表示同意，为0表示不同意；输出变量Y为1表示通过，为0表示没通过。,三人表决电路真值表,2.逻辑函数式,把输入与输出之间的逻辑关系写成与、或、非等运算的组合式，就得到了逻辑函数式。根据电路功能的要求和与、或的逻辑定义，三人表决电路的逻辑函数式为：,3.逻辑图,将逻辑函数中各变量之间的与、或、非等逻辑关系，用图形符号表示出来，就可画出表示函数关系的逻辑图。,4.各种表示方法间的互相转换,从真值表写出逻辑函数式,一般方法：（1）找出真值表中使逻辑函数为1的那些输入变量取值的组合。（2）每组输入变量取值的组合对应一个乘积项，其中取值为1的写入原变量，取值为0的写入反变量。（3）将这些乘积项相加，即得输出的逻辑函数式。,例2：将下图所示真值表转换为逻辑函数式。,从逻辑函数式列出真值表,将输入变量取值的所有组合状态逐一代入逻辑式,求出函数值，列成表。,例3：已知逻辑函数表达式：,求它对应的真值表。,解：,11110011,00000010,00010001,从逻辑函数式画出逻辑图,用图形符号代替逻辑函数式中的运算符号。,例4：已知逻辑函数式为,，画出对应的逻辑图。,从逻辑图写出逻辑函数式,从输入端到输出端逐级写出每个图形符号对应的逻辑式，即可得到对应的逻辑式。,1.最小项,定义：在n变量逻辑函数中，若m为包含n个因子的乘积项，而且这几个变量均以原变量或反变量的形式在m中出现一次，则称m为该组变量的最小项。n变量的最小项应为2n个。输入变量的每一组取值，都使一个对应的最小项的值等于1。,三、逻辑函数的两种标准形式,m0m1m2m3m4m5m6m7,01234567,000001010011100101110111,三变量最小项的编号表,最小项的性质：,在输入变量的任何取值下必有一个最小项，而且仅有一个最小项的值为1。2.全体最小项之和为1。3.任意两个最小项的乘积为0。4.具有相邻性的两个最小项之和，可以合并成一项并消去一对因子。,相邻性：若两个最小项只有一个因子不同，则这两个最小项具有相邻性。,2.最大项,n变量的最大项应为2n个。输入变量的每一组取值，都使一个对应的最大项的值等于0。,定义：在n变量逻辑函数中，若M为n个变量之和，而且这几个变量均以原变量或反变量的形式在M中出现一次，则称M为该组变量的最大项。,三变量最大项的编号表,最大项的性质：,在输入变量的任何取值下必有一个最大项，而且仅有一个最大项的值为0。2.全体最大项之积为0。3.任意两个最大项的和为1。4.只有一个变量不同的两个最大项的乘积，等于各相同变量之和。,最大项和最小项之间的关系,例5：已知最小项,3.逻辑函数的最小项之和形式,可以把任何一个逻辑函数化为最小项之和的标准形式。,利用,例6：给定逻辑函数,则可化为：,例7：将逻辑函数,展开为最小项之和的形式。,4.逻辑函数的最大项之积形式,任何一个逻辑函数，都可以化成最大项之积的标准形式。,若给定逻辑函数最小项之和表达式：,可得其反函数最小项之和表达式：,则该逻辑函数的最大项之积形式为：,例8：将逻辑函数,展开成最大项之积的形式。,解：已求得,2.3逻辑函数的化简,逻辑函数的最简形式,逻辑函数的公式化简法,逻辑函数的卡诺图化简法,一、逻辑函数的最简形式,最简与-或式：逻辑式中包含的乘积项已经最少，而且每个乘积项里的因子也不能再减少。,化简的目的：得到逻辑函数的最简形式。,定义：函数式中相加的乘积项不能再减少，而且每项中相乘的因子不能再减少。,例1：将逻辑函数,化为与非-与非形式。,解：,通常先化简成最简与-或式，再转换成其他形式。,例2：将逻辑函数,化为与或非形式。,解：,二、逻辑函数的公式化简法,反复使用逻辑代数的基本公式和常用公式，消去函数式中多余的乘积项和多余的因子，以得到函数式的最简形式。,1.并项法,利用公式,例3：,例4：用并项法将,化简为最简与-或表达式。,解：,2.吸收法,利用公式,例5：,例6：,3.消项法,利用公式,例7：,例8：,例9：,4.消因子法,利用公式,例10：,例11：,5.配项法,根据公式,可在逻辑函数式中重复写入某一项。,例12：,根据公式,可在逻辑函数式中的某一项乘,例13：,然后拆成两项分别与其他项合并。,，,综合法,例14：,三、逻辑函数的卡诺图化简法,将n变量的全部最小项各用一个小方块表示，并使具有逻辑相邻性的最小项在几何位置上也相邻地排列起来，所得到的图形叫做n变量的卡诺图。,1.逻辑函数的卡诺图表示法,表示最小项的卡诺图,两变量卡诺图,四变量卡诺图,三变量卡诺图,用卡诺图表示逻辑函数,方法：把逻辑函数化为最小项之和的形式。在卡诺图上与这些最小项对应的位置添1。在其余的位置上添入0。,任何一个逻辑函数，都等于它的卡诺图中添入1的那些最小项之和。,例15：用卡诺图表示逻辑函数,解：先将逻辑函数化为最小项之和的形式，,画出四变量最小项的卡诺图。,在对应函数式中各最小项的位置上填入1，,其余位置上填入0。,再根据,例16：已知逻辑函数的卡诺图，写出该函数的逻辑式。,解：函数Y等于卡诺图中填入1的那些最小项之和，所以可得：,2.用卡诺图化简逻辑函数,合并最小项的规则：若两个最小项相邻，则可合并为一项并消去一对因子。2.若四个最小项相邻且排列成一个矩形组，则可合并为一项并消去两对因子。3.若八个最小项相邻且排列成一个矩形组，则可合并为一项并消去三对因子。,合并两个相邻最小项的情况：,合并四个相邻最小项的情况：,B,合并八个相邻最小项的情况：,卡诺图化简的步骤：,将函数化为最小项之和的形式。画出表示该逻辑函数的卡诺图。找出可以合并的最小项。选取化简后的乘积项。,这些乘积项应包含函数式中所有的最小项。所用的乘积项数目最少。每个乘积项包含的因子最少。,选取乘积项的原则：,例17：用卡诺图将下式化简为最简与-或逻辑函数式。,解：,A,解：,例18：用卡诺图将下式化简为最简与-或逻辑函数式。,2.4具有无关项的逻辑函数的化简,约束项、任意项和逻辑函数式中的无关项,无关项在化简逻辑函数中的应用,一、约束项、任意项和逻辑函数式中的无关项,1.约束项、任意项和逻辑函数式中的无关项,约束项：这些恒等于0的最小项叫做约束项。,000，011，101，110，111中的任何一种都不可能出现，可表示为：,或,任意项：在输入变量的某些取值下函数值是1是0皆可，并不影响电路的功能。在这些变量取值下，其值等于1的那些最小项成为任意项。,约束项和任意项既可以写入函数式，也可从函数式中删掉，不影响函数值。因此约束项和任意项又统称为函数式中的无关项。,在真值表和卡诺图中用表示无关项。,二、无关项在化简逻辑函数中的应用,例1：化简逻辑函数,约束条件：,解：,例2：化简逻辑函数,约束条件：,解：,例3：化简逻辑函数,约束条件：,解：,第二章结束！,
展开阅读全文