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二次函数章末小结与提升类型1二次函数图象和性质典例1(齐齐哈尔中考)如图,抛物线y=ax2+bx+c(a0)的对称轴为直线x=1,与x轴的一个交点坐标为(-1,0),其部分图象如图所示,下列结论:4ac0;当y0时,x的取值范围是-1x3;当x0时,y随x增大而增大.其中结论正确的个数是()A.4B.3C.2D.1【解析】由题意知,a0,即4ac0时,x的取值范围是-1x3,错误;当x0时,y随x增大而增大,正确.则正确结论有3个.【答案】 B【针对训练】1.(张家界中考)在同一平面直角坐标系中,函数y=ax+b与y=ax2-bx的图象可能是(C)2.在同一直角坐标系中,函数y=mx+m和y=-mx2+2x+2(m是常数,且m0)的图象可能是(D)3.如图小明观察二次函数y=ax2+bx+c图象,得出了五条信息:a0;c=0;函数的最小值为-3;当0x1x2y2;对称轴是直线x=2.其中正确的个数为(C)A.2B.3C.4D.54.如图,在平面直角坐标系中,点A在y轴上,点A,B,C(3,n)均在抛物线y=(x-1)2+1上,点D在抛物线的对称轴上,CDx轴.若点P为抛物线上A,B两点间任意一点(包括点A,B),则PCD面积S的取值范围是3S4.类型2用待定系数法求二次函数解析式典例2已知二次函数的顶点坐标为(2,-2),且其图象经过点(3,1),求此二次函数的解析式,并求出该函数图象与y轴的交点坐标.【解析】设二次函数的解析式为y=a(x-2)2-2,把(3,1)代入y=a(x-2)2-2,得a(3-2)2-2=1,解得a=3,所以二次函数的解析式为y=3(x-2)2-2,当x=0时,y=34-2=10,所以函数图象与y轴的交点坐标为(0,10).【针对训练】已知二次函数图象的顶点坐标是(3,5),且抛物线经过点A(1,3).(1)求此抛物线的解析式;(2)如果点A关于该抛物线对称轴的对称点是B点,且抛物线与y轴的交点是C点,求ABC的面积.解:(1)设抛物线的解析式为y=a(x-3)2+5,将A(1,3)代入上式得3=a(1-3)2+5,解得a=-,所以抛物线的解析式为y=-(x-3)2+5.(2)因为A(1,3)关于抛物线对称轴x=3对称点B为(5,3),令x=0,y=-(0-3)2+5=,则C为.所以ABC的面积=(5-1)=5.类型3二次函数与一元二次方程、不等式(组)的关系典例3已知直线y=mx+n和抛物线y=ax2+bx+c在同一坐标系中的位置如图所示,且抛物线与x轴交于点(-1,0),(2,0),抛物线与直线交点的横坐标为1和-,那么不等式mx+nax2+bx+c0的解集是()A.1x2B.x1C.-x2D.-1x2【解析】由题意,当ax2+bx+c0时,-1x2,当mx+nax2+bx+c时,x1,则原不等式的解集为1x0;不等式ax2+(b-m)x+c-n0的解集为-3x-1;抛物线与x轴的另一个交点是(3,0);方程ax2+bx+c+3=0有两个相等的实数根.其中正确的是(D)A.B.C.D.类型4二次函数的应用典例4(潍坊中考)旅游公司在景区内配置了50辆观光车供游客租赁使用,假定每辆观光车一天内最多只能出租一次,且每辆车的日租金x(元)是5的倍数.发现每天的营运规律如下:当x不超过100元时,观光车能全部租出;当x超过100元时,每辆车的日租金每增加5元,租出去的观光车就会减少1辆.已知所有观光车每天的管理费是1100元.(1)优惠活动期间,为使观光车全部租出且每天的净收入为正,则每辆车的日租金至少应为多少元?(注:净收入=租车收入-管理费)(2)当每辆车的日租金为多少元时,每天的净收入最多?【解析】(1)由题意知,若观光车能全部租出,则00,解得x22,又x是5的倍数,每辆车的日租金至少应为25元.(2)设每天的净收入为y元,当0100时,y2=x-1100=-x2+70x-1100=-(x-175)2+5025,当x=175时,y2的最大值为5025,50253900,当每辆车的日租金为175元时,每天的净收入最多,是5025元.【针对训练】1.对某城市最近十几个月商品房价格涨幅情况进行调查,分析发现,与去年同期相比,房价涨幅y(%)与第x个月近似于二次函数y=-x2+3x+7,如图所示,结合所学的知识,判断下列问题正确的有(C)房价从第1个月到第5个月持续增长;第6个月涨幅到达最大值;房价涨幅最大值为34%;房价与去年同期持平时间在第14个月.A.1个B.2个C.3个D.4个2.合肥市人民广场上要建一个圆形的喷水池,并在水池中央垂直安装一个柱子OP,柱子顶端P处装上喷头,由P处向外喷出的水流(在各个方向上)沿形状相同的抛物线路径落下(如图所示).若已知OP=3米,喷出的水流的最高点A距水平面的高度是4米,离柱子OP的距离为1米.(1)求这条抛物线的解析式;(2)若不计其他因素,水池的半径至少要多少米,才能使喷出的水流不至于落在池外.解:(1)设这条抛物线解析式为y=a(x+m)2+k,由题意知顶点A为(1,4),所以y=a(x-1)2+4,将P(0,3)代入得a=-1.所以这条抛物线的解析式为y=-(x-1)2+4.(2)令y=0,则0=-(x-1)2+4,解得x1=3,x2=-1(舍去).所以若不计其他因素,水池的半径至少3米,才能使喷出的水流不至于落在池外.
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