八年级数学下册 专题突破讲练 巧用三角形中位线试题 （新版）青岛版.doc

巧用三角形中位线1. 三角形中位线定义连结三角形两边中点的线段叫中位线。注意：（1）要把三角形的中位线与三角形的中线区分开。（2）三角形有三条中位线。2. 定理三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半。如果EF为ABC的中位线，则EFBC且EF=BC。注意：位置关系平行数量关系等于第三边的一半3. 三角形中位线定理的应用：（1）证明角相等关系；（2）证明线段的倍分以及相等关系；（3）证明线段平行关系。例题1 如图，自ABC的顶点A，向B和C的平分线作垂线，垂足分别为D、E。求证：DEBC。解析：欲证ED/BC我们可想到有关平行的判定，但要找到有关角的关系很难，这时只要通过延长AD、AE，交BC与CB的延长线于G与H，通过证明三线合一易证D是AG的中点，同理E为AH的中点，故，ED是AHG的中位线，当然有DEBC。答案：证明：延长AD、AE交BC、CB的延长线于G、H，BD平分ABC，1=2，又BDAD，ADB=BDG=90ABG为等腰三角形AD=DG，同理可证，AE=GE，D，E分别为AG，AH的中点，EDBC点拨：本题巧妙地应用了等腰三角形的三线合一，但最终还是利用中位线的性质得出结论。例题2 如图，已知平行四边形ABCD中，BD为对角线，点E、F分别是AB、BC的中点，连结EF，交BD于M点。求证：（1）BM=BD；（2）ME=MF。解析：（1）由E、F分别为AB、BC的中点想到连结AC，由平行线等分线段定理可证得BM=MO。又因为平行四边形的对角线互相平分，可得BO=OD，即BM=BD。（2）由问题(1)中的辅助线，即连结AC，由三角形中位线定理可得，又由平行四边形对角线互相平分即可得到问题（2）的结论。答案：证明：（1）连结AC，交BD于O点，E、F分别为AB、BC中点，EFAC，BM=MO= BO又四边形ABCD是平行四边形BO=OD=BD，AO=OC=AC，BM=BO=BD；（2）M是BO的中点，E、F分别是AB、BC的中点。ME=AO，MF=OC，又AOOC，MEMF。点拨：问题（1）运用了三角形中位线的位置关系，即三角形的中位线平行于底边，而问题（2）直接运用了三角形中位线的数量关系。三角形中位线定理及其应用，在初中数学中占有很重要的地位，如何正确添加辅助线构造三角形中位线是一个重点也是一个难点。要善于觉察图形中的有关定理的基本图形，涉及到中点问题时要及时联想到有关定理。例题 如图，在四边形ABCD中，AD=BC，E、F分别是CD、AB的中点，直线EF分别交BC、AD的延长线于S、T两点，求证：ATF=BSF。解析：连结AC，取AC的中点H，连结EH、FH，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得EHAD，EH=AD，FHBC，FH=BC，然后求出EH=FH，根据等边对等角可得EFH=FEH，再根据两直线平行，同位角相等可得ATF=FEH，两直线平行，内错角相等可得BSF=EFH，然后等量代换即可得证。答案：证明：如图，连结AC，取AC的中点H，连结EH、FH，E、F分别是CD、AB的中点，EH、FH分别是ACD和ABC的中位线，EHAD，EH=AD，FHBC，FH=BCAD=BC，EH=FH，EFH=FEH，又EHAD，FHBC，ATF=FEH，BSF=EFH，ATF=BSF。点拨：本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，平行线的性质，等边对等角的性质，熟记各性质并作辅助线，考虑利用三角形的中位线定理是解题的关键。（答题时间：30分钟）一、选择题1.（宜昌）如图，A，B两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了A、B间的距离：先在AB外选一点C，然后测出AC，BC的中点M，N，并测量出MN的长为12m，由此他就知道了A、B间的距离。有关他这次探究活动的描述错误的是（）A. AB=24mB. MNABC. CMNCABD. CM：MA=1：22.（泸州）如图，等边ABC中，点D、E分别为边AB、AC的中点，则DEC的度数为（）A. 30B. 60C. 120D. 1503.（泰安）如图，ACB=90，D为AB的中点，连结DC并延长到E，使CE=CD，过点B作BFDE，与AE的延长线交于点F。若AB=6，则BF的长为（）A. 6B. 7C. 8D. 104. （福州模拟）如图，ABC的中线BD、CE交于点O，连结OA，点G、F分别为OC、OB的中点，BC=4，AO=3，则四边形DEFG的周长为（）A. 6B. 7C. 8D. 125.（邢台二模）如图，四边形ABCD的两条对角线AC、BD互相垂直，A1B1C1D1是四边形ABCD的中点四边形，如果AC=8，BD=10，那么四边形A1B1C1D1的面积为（）A. 20B. 40C. 36D. 10二、填空题6. （怀化）如图，D、E分别是ABC的边AB、AC上的中点，则SADE：SABC=_。7.（邵阳）如图，在RtABC中，C=90，D为AB的中点，DEAC于点E。A=30，AB=8，则DE的长度是_。8.（沈阳）如图，ABC三边的中点D，E，F组成DEF，DEF三边的中点M，N，P组成MNP，将FPM与ECD涂成阴影。假设可以随意在ABC中取点，那么这个点取在阴影部分的概率为_。9.（天桥区一模）如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AB，AC的中点，如果EF=2，那么菱形的周长为_。10.（海门市模拟）如图，在ABC中，ACB=52，点D，E分别是AB，AC的中点。若点F在线段DE上，且AFC=90，则FAE的度数为_。三、解答题11.（南京）如图，在ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，过点E作EFAB，交BC于点F。（1）求证：四边形DBFE是平行四边形；（2）当ABC满足什么条件时，四边形DBFE是菱形？为什么？12.（鞍山一模）（1）如图1所示，在四边形ABCD中，E、F分别是BC、AD的中点，连接FE并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、N，则BME=CNE，求证：AB=CD。（提示取BD的中点H，连结FH，HE作辅助线）（2）如图2所示，在ABC中，且O是BC边的中点，D是AC边上一点，E是AD的中点，直线OE交BA的延长线于点G，若AB=DC=5，OEC=60，求OE的长度。一、选择题1. D 解析：M、N分别是AC，BC的中点，MNAB，MN=AB，AB=2MN=212=24m，CMNCAB，M是AC的中点，CM=MA，CM：MA=1：1，故描述错误的是D选项。2. C 解析：由等边ABC得C=60，由三角形中位线的性质得DEBC，DEC=180C=18060=120，3. C 解析：如图，ACB=90，D为AB的中点，AB=6，CD=AB=3。又CE=CD，CE=1，ED=CE+CD=4。又BFDE，点D是AB的中点，ED是AFB的中位线，BF=2ED=8。4.B 解析：BD，CE是ABC的中线，EDBC且ED=BC，F是BO的中点，G是CO的中点，FGBC且FG=BC，ED=FG=BC=2，同理GD=EF=AO=1.5，四边形DEFG的周长为1.5+1.5+2+2=7。5. A 解：A1B1C1D1是四边形ABCD的中点四边形，AC=8，BD=10，A1D1=B1C1=BD=5，A1B1=C1D1=AC=4，A1D1BDB1C1，A1B1ACC1D1，四边形ABCD的两条对角线AC、BD互相垂直，四边形A1B1C1D1是矩形，SA1B1C1D1=54=20。二、填空题6. 1：4 解析：D、E是边AB、AC上的中点，DE是ABC的中位线，DEBC且DE=BC，ADEABC，SADE：SABC=（1：2）2=1：4。7. 2 解析：D为AB的中点，AB=8，AD=4，DEAC于点E，A=30，DE=AD=2。8. 解析：D、E分别是BC、AC的中点，DE是ABC的中位线，EDAB，且DE=AB，CDECBA，=，SCDE=SCBA。同理，SFPM=SFDE=SCBA，SFPM+SCDE=SCBA，则=。9. 16 解析：菱形ABCD中，E，F分别是AB，AC的中点，EF=2，BC=2EF=22=4。即AB=BC=CD=AD=4。故菱形的周长为4BC=44=16。10. 64 解析：D，E分别是AB，AC的中点，DE是三角形ABC的中位线，DEBC，AED=ACB，AFC=90，E为AC的中点，EF=AC，AE=CE，EF=CE，EFC=ECF，ECF=EFC=ACB=26，FAE的度数为9026=64，三、解答题11. 解：（1）证明：D、E分别是AB、AC的中点，DE是ABC的中位线，DEBC，又EFAB，四边形DBFE是平行四边形；（2）解：当AB=BC时，四边形DBFE是菱形。理由如下：D是AB的中点，BD=AB，DE是ABC的中位线，DE=BC，AB=BC，BD=DE，又四边形DBFE是平行四边形，四边形DBFE是菱形。12.（1）证明：连结BD，取DB的中点H，连结EH、FH。E、F分别是BC、AD的中点，EHAB，EH=AB，FHCD，FH=CD，BME=CNE，BME=HEF，CNE=HFE，HEF=HFE。HE=HF，AB=CD；（2）解：连结BD，取DB的中点H，连结EH、OH，EHAB，EH=AB，HODC，HO=DC。AB=CD，HO=HE，HOE=HEO，OEC=60，HEO=AGO=60，OEH是等边三角形，AB=DC=5，OE=。