资源描述
一元二次方程的根一、单选题1.关于x的一元二次方程(a-1)x2+x+a2-1=0的一个根是0，则a值为（ ） A.1B.-1C.1或-1D.2.一元二次方程x21=0的根是（ ） A.1B.1C.D.13.关于x的一元二次方程x2-5x+p2-2p+5=0的一个根为1，则实数p的值是（） A.4B.0或2C.1D.14.方程 的解是( ) A.B.C.， D.， 5.关于x的一元二次方程 的一个根为2，则 的值是（ ） A.B.C.D.6.一元二次方程ax2+x+c=0，若4a-2b+c=0，则它的一个根是（） A.-2B.C.-4D.27.一元二次方程x2+px2=0的一个根为2，则p的值为（ ） A.1B.2C.1D.28.若，是方程x2+2xxx=0的两个实数根，则2+3+的值为（ ） A.xxB.2003C.xxD.40109.已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程x2-7x+12=0的两根，则这个三角形的斜边长是（ ） A.B.7C.5D.1210.若一元二次方程有一个根为，则下列等式成立的是（ ） A.B.C.D.11.若关于x的一元二次方程（m1）x2+5x+m23m+2=0有一个根为0，则m的值（） A.0B.1或2C.1D.212.下面是李刚同学在一次测验中解答的填空题，其中答对的是（ ） A.若x2=4，则x=2B.若x2+2x+k=0有一根为2，则k=8C.方程x（2x1）=2x1的解为x=1D.若分式 的值为零，则x=1，213.若关于x的一元二次方程x2xm=0的一个根是x=1，则m的值是（ ） A.1B.0C.1D.2二、填空题14.若x=2是关于x的方程 的一个根，则a 的值为_. 15.若方程x2+mx+1=0的一个根是2，则m=_ 16.关于x的方程a（x+m）2+b=0的解是x1=2，x2=1，（a，b，m均为常数，a0），则方程a（x+m+2）2+b=0的解是_ 17.若x=2是关于x的方程x22ax+8=0的一个根，则a=_ 18.方程 =x的根是_ 19.已知关于x的一元二次方程为ax2+bx+5=0（a0）的解是x=1，则xxab的值是_ 20.已知x=1是一元二次方程x2+ax+b=0的一个根，则代数式a2+b2+2ab的值是_ 三、计算题21.先化简，再求值 ，其中m是方程x2+3x1=0的根 22.阅读下面的材料，回答问题：解方程x45x2+4=0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设x2=y，那么x4=y2 ， 于是原方程可变为y25y+4=0 ，解得y1=1，y2=4当y=1时，x2=1，x=1；当y=4时，x2=4，x=2；原方程有四个根：x1=1，x2=1，x3=2，x4=2请你按照上述解题思想解方程（x2+x）24（x2+x）12=0 23.先化简，再求值： （a1+ ），其中a是方程x2x=6的根 24.已知m是方程x2x1=0的一个根，求m（m+1）2m2（m+3）+4的值 四、解答题25.已知关于x的一元二次方程x26x+k=0的一根为2，求方程的另一根及k的值 26.已知m是方程x2+x1=0的一个根，求代数式（m+1）2+（m+1）（m1）的值 27.如图ABC中，C=90，A=30，BC=5cm；DEF中，D=90,E=45,DE=3cm.现将DEF的直角边DF与ABC的斜边AB重合在一起，并将DEF沿AB方向移动（如图）.在移动过程中，D、F两点始终在AB边上（移动开始时点D与点A重合，一直移动至点F与点B重合为止）.（1）在DEF沿AB方向移动的过程中，有人发现：E、B两点间的距离随AD的变化而变化，现设AD=x , BE=y,请你写出y与x之间的函数关系式及其定义域.（2）请你进一步研究如下问题：问题：当DEF移动至什么位置，即AD的长为多少时，E、B的连线与AC平行？问题：在DEF的移动过程中，是否存在某个位置，使得EBD=22.5，如果存在，求出AD的长度；如果不存在，请说明理由.问题：当DEF移动至什么位置，即AD的长为多少时，以线段AD、EB、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形？ 五、综合题28.如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，AD=6，若OA、OB的长是关于x的一元二次方程x27x+12=0的两个根，且OAOB（1）求OA、OB的长 （2）若点E为x轴正半轴上的点，且SAOE= ，求经过D、E两点的直线解析式及经过点D的反比例函数的解析式，并判断AOE与AOD是否相似 （3）若点M在平面直角坐标系内，则在直线AB上是否存在点F，使以A、C、F、M为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出F点的坐标，若不存在，请说明理由 29.关于x的一元二次方程x26x+p22p+5=0的一个根为2 （1）求p值 （2）求方程的另一根 答案解析部分一、单选题1.关于x的一元二次方程(a-1)x2+x+a2-1=0的一个根是0，则a值为（ ） A.1B.-1C.1或-1D.【答案】B 【考点】一元二次方程的解 【解析】【分析】由题意把x=0代入一元二次方程(a-1)x2+x+a2-1=0即可得到关于a的方程，求得a的值，再结合二次项系数不为0即可求得结果。【解答】由题意得a2-1=0且a-10，解得a=-1.故选B.【点评】解答本题的关键是熟练掌握方程的根的定义：方程的根就是使方程左右两边相等的未知数的值；同时注意一元二次方程的二次项系数不能为0.2.一元二次方程x21=0的根是（ ） A.1B.1C.D.1【答案】D 【考点】一元二次方程的解 【解析】【解答】解：x21=0，x2=1，两边直接开平方得：x=1，则x1=1，x2=1，故选：D【分析】首先把1移到等号左边，再两边直接开平方即可3.关于x的一元二次方程x2-5x+p2-2p+5=0的一个根为1，则实数p的值是（） A.4B.0或2C.1D.1【答案】C 【考点】一元二次方程的解 【解析】【分析】本题根据一元二次方程的根的定义、一元二次方程的定义求解【解答】x=1是方程的根，由一元二次方程的根的定义，可得p2-2p+1=0，解此方程得到p=1故本题选C【点评】本题逆用一元二次方程解的定义易得出p的值，但不能忽视一元二次方程成立的条件，此题二次项系数是1，不用考虑因此在解题时要重视解题思路的逆向分析4.方程 的解是( ) A.B.C.， D.， 【答案】A 【考点】一元二次方程的解 【解析】【解答】解：依据题意有 ，则-1x5.x+1=（5-x） x-11x+24=0 （x-3）（x-8）=0 x1=3或者x2=8（舍）所以方程的解为x=3.故选A.【分析】将方程化为一元二次方程，同时注意x的取值范围.5.关于x的一元二次方程 的一个根为2，则 的值是（ ） A.B.C.D.【答案】D 【考点】一元二次方程的根 【解析】【解答】根据题意得： ，解得：a= 故答案为：D【分析】将根为2带入方程即可求解。6.一元二次方程ax2+x+c=0，若4a-2b+c=0，则它的一个根是（） A.-2B.C.-4D.2【答案】A 【考点】一元二次方程的解 【解析】【分析】根据方程的根的定义结合4a-2b+c=0即可判断结果。【解答】在方程ax2+x+c=0中，当x=-2时，4a-2b+c=0.故选A.【点评】解答本题的关键是熟练掌握方程的根的定义：方程的根就是使方程左右两边相等的未知数的值。7.一元二次方程x2+px2=0的一个根为2，则p的值为（ ） A.1B.2C.1D.2【答案】C 【考点】一元二次方程的解 【解析】【解答】解：一元二次方程x2+px2=0的一个根为2， 22+2p2=0，解得 p=1故选：C【分析】把x=2代入已知方程，列出关于p的一元一次方程，通过解该方程来求p的值8.若，是方程x2+2xxx=0的两个实数根，则2+3+的值为（ ） A.xxB.2003C.xxD.4010【答案】B 【考点】一元二次方程的解，根与系数的关系 【解析】【解答】解：，是方程x2+2xxx=0的两个实数根，则有+=2 是方程x2+2xxx=0的根，得2+2xx=0，即：2+2=xx所以2+3+=2+2+（+）=2+22=xx2=2003故选B【分析】根据一元二次方程根的定义和根与系数的关系求解则可设x1 ， x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a0，a，b，c为常数）的两个实数根，则x1+x2= ，x1x2= 而2+3+=2+2+（+），即可求解9.已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程x2-7x+12=0的两根，则这个三角形的斜边长是（ ） A.B.7C.5D.12【答案】C 【考点】一元二次方程的解，勾股定理 【解析】【分析】解出方程的两个根，然后运用勾股定理可得出三角形的斜边长【解答】x2-7x+12=0的两根为x1=3，x2=4，故可得斜边长=5故选C【点评】此题考查了勾股定理及根与系数的关系，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理的内容10.若一元二次方程有一个根为，则下列等式成立的是（ ） A.B.C.D.【答案】B 【考点】一元二次方程的解 【解析】【分析】把x=-1代入，得a-b+c=0.选B。【点评】本题难度较低，主要考查学生对一元二次方程知识点的掌握，把已知解代入原方程即可。11.若关于x的一元二次方程（m1）x2+5x+m23m+2=0有一个根为0，则m的值（） A.0B.1或2C.1D.2【答案】D 【考点】一元二次方程的定义，一元二次方程的解 【解析】【解答】解：关于x的一元二次方程（m1）x2+5x+m23m+2=0有一个根为0，m23m+2=0，且m10，（m1）（m2）=0，且m10，解得，m=2，故选D【分析】根据一元二次方程的定义得到m10，由方程的解的定义，把x=0代入已知方程，列出关于m的新方程，通过解新方程来求m的值12.下面是李刚同学在一次测验中解答的填空题，其中答对的是（ ） A.若x2=4，则x=2B.若x2+2x+k=0有一根为2，则k=8C.方程x（2x1）=2x1的解为x=1D.若分式 的值为零，则x=1，2【答案】B 【考点】一元二次方程的解 【解析】【解答】解：A、若x2=4，则x=2，所以A选项错误；B、若x2+2x+k=0有一根为2，则4+4+k=0，解得k=8，所以B选项正确；C、方程x（2x1）=2x1，则（2x1）（x1）=0，则方程的解为x1=1，x2= ，所以C选项错误；D、根据题意得x23x+2=0且x10，则x=2，所以D选项错误故选B【分析】根据直接开平方法对A进行判断；根据一元二次方程的解的定义对B进行判断；利用因式分解法对C进行判断；根据分式为0的条件对D进行判断13.若关于x的一元二次方程x2xm=0的一个根是x=1，则m的值是（ ） A.1B.0C.1D.2【答案】B 【考点】解一元一次方程，一元二次方程的解 【解析】【解答】将x=1代入x2xm=0得1-1-m=0，则m=0.故选B.【分析】将x=1代入方程可得一个关于m的一元一次方程，求出m的值即可.二、填空题14.若x=2是关于x的方程 的一个根，则a 的值为_. 【答案】【考点】一元二次方程的解，解一元二次方程-直接开平方法 【解析】【解答】x=2是关于x的方程x2-x-a2+5=0的一个根，将x=2代入方程得：22-2-a2+5=0，即a2=7，解得：a1= 或a2=- 故答案是 【分析】由x=2是关于x的方程x2-x-a2+5=0的一个根，将x=2代入方程得到关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值15.若方程x2+mx+1=0的一个根是2，则m=_ 【答案】 【考点】一元二次方程的解 【解析】【解答】解：把x=2代入方程x2+mx+1=0，得 4+2m+1=0，解得m= 故答案是： 【分析】把x=2代入已知方程，列出关于m的新方程，通过解新方程可以求得m的值16.关于x的方程a（x+m）2+b=0的解是x1=2，x2=1，（a，b，m均为常数，a0），则方程a（x+m+2）2+b=0的解是_ 【答案】x3=0，x4=3 【考点】一元二次方程的解 【解析】【解答】解：关于x的方程a（x+m）2+b=0的解是x1=2，x2=1，（a，m，b均为常数，a0），方程a（x+m+2）2+b=0变形为a（x+2）+m2+b=0，即此方程中x+2=2或x+2=1，解得x=0或x=3故答案为：x3=0，x4=3【分析】把后面一个方程中的x+2看作整体，相当于前面一个方程中的x求解17.若x=2是关于x的方程x22ax+8=0的一个根，则a=_ 【答案】3 【考点】一元二次方程的解 【解析】【解答】解：x=2是关于x的方程x22ax+8=0的一个根， 代入得：（2）22a（2）+8=0，解得：4+4a+8=0，4a=12，a=3，故答案为：3【分析】把x=2代入方程得出一个关于a的方程，求出方程的解即可18.方程 =x的根是_ 【答案】x=4 【考点】一元二次方程的解 【解析】【解答】解：两边平方得：82x=x2 ， 整理得：（x+4）（x2）=0，可得x+4=0或x2=0，解得：x=4或x=2，经检验x=2是增根，无理方程的解为x=4故答案为：x=4【分析】方程两边平方转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到无理方程的解19.已知关于x的一元二次方程为ax2+bx+5=0（a0）的解是x=1，则xxab的值是_ 【答案】xx 【考点】一元二次方程的解 【解析】【解答】解：依题意得 a12+b1+5=0，整理得a+b=5，所以 xxab=xx（a+b）=xx+5=xx故答案是：xx【分析】把x=1代入已知方程求得a+b=5，然后将其整体代入所求的代数式进行求值20.已知x=1是一元二次方程x2+ax+b=0的一个根，则代数式a2+b2+2ab的值是_ 【答案】1 【考点】一元二次方程的解 【解析】【解答】解：x=1是一元二次方程x2+ax+b=0的一个根，1+a+b=0，即a+b=1，a2+b2+2ab=（a+b）2=1故答案是：1【分析】把x=1代入x2+ax+b=0得到1+a+b=0，易求a+b=1，将其整体代入所求的代数式进行求值即可三、计算题21.先化简，再求值 ，其中m是方程x2+3x1=0的根 【答案】解：原式= = = ，m是方程x2+3x1=0的根，m2+3m=1，则原式= 【考点】分式的化简求值，一元二次方程的解 【解析】【分析】先把整式看成分母为一的式子通分计算，然后再计算除法，计算除法的时候分子分母能分解因式的必须分解因式，然后约分化为最简形式，然后根据方程根的定义得出m2+3m=1，再整体代入即可。22.阅读下面的材料，回答问题：解方程x45x2+4=0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设x2=y，那么x4=y2 ， 于是原方程可变为y25y+4=0 ，解得y1=1，y2=4当y=1时，x2=1，x=1；当y=4时，x2=4，x=2；原方程有四个根：x1=1，x2=1，x3=2，x4=2请你按照上述解题思想解方程（x2+x）24（x2+x）12=0 【答案】解：y=x2+x，则由原方程，得y24y12=0，整理，得（y6）（y+2）=0，解得y=6或y=2，当y=6时，x2+x=6，即（x+3）（x2）=0，解得x1=3，x2=2当y=2时，x2+x=2，即x2+x+2=0，该方程无解综上所述，该方程的解为：x1=3，x2=2 【考点】一元二次方程的解 【解析】【分析】设y=x2+x，将原方程转化为关于y的一元二次方程，通过解方程求得y即x2+x的值，然后再来解关于x的一元二次方程23.先化简，再求值： （a1+ ），其中a是方程x2x=6的根 【答案】解：解方程x2x=6得到：x1=3，x2=2，a是方程x2x=6的根，a=3或a=2（a1+ ），= ，= ，= 当a=3时，原式= = 当a=2时，原式= = 【考点】分式的化简求值，一元二次方程的解 【解析】【分析】先解方程x2x=6得出a的值，再将各分式分解因式，根据分式加法和除法法则化简分式，再分别将a的值代入化简的分式即可求出答案.24.已知m是方程x2x1=0的一个根，求m（m+1）2m2（m+3）+4的值 【答案】解：m是方程x2x1=0的一个根， m2m1=0，m2=m+1，m（m+1）2m2（m+3）+4=m（m2+2m+1）（m+1）（m+3）+4=m（m+1+2m+1）（m2+4m+3）+4=3m2+2mm24m3+4=2m22m+1=2（m+1）2m+1=2m+22m+1=3 【考点】一元二次方程的解 【解析】【分析】根据一元二次方程的解的定义得到m2m1=0，则m2=m+1，然后利用降次的方法对原式进行化简即可四、解答题25.已知关于x的一元二次方程x26x+k=0的一根为2，求方程的另一根及k的值 【答案】解：设方程的另一根为x2 ， 由韦达定理，得：2+x2=6，2x2=k，解得x2=4，k=8所以方程的另一根为4，k的值为8 【考点】一元二次方程的解，根与系数的关系 【解析】【分析】设方程的另一根为x2 ， 根据根与系数的关系得2+x2=6，2x2=k，然后先求出x2 ， 再计算k的值26.已知m是方程x2+x1=0的一个根，求代数式（m+1）2+（m+1）（m1）的值 【答案】解：把x=m代入方程得：m2+m1=0，即m2+m=1，则原式=m2+2m+1+m21=2（m2+m）=2 【考点】一元二次方程的解 【解析】【分析】由m为已知方程的解，将x=m代入方程求出m2+m的值，原式整理后代入计算即可求出值27.如图ABC中，C=90，A=30，BC=5cm；DEF中，D=90,E=45,DE=3cm.现将DEF的直角边DF与ABC的斜边AB重合在一起，并将DEF沿AB方向移动（如图）.在移动过程中，D、F两点始终在AB边上（移动开始时点D与点A重合，一直移动至点F与点B重合为止）.（1）在DEF沿AB方向移动的过程中，有人发现：E、B两点间的距离随AD的变化而变化，现设AD=x , BE=y,请你写出y与x之间的函数关系式及其定义域.（2）请你进一步研究如下问题：问题：当DEF移动至什么位置，即AD的长为多少时，E、B的连线与AC平行？问题：在DEF的移动过程中，是否存在某个位置，使得EBD=22.5，如果存在，求出AD的长度；如果不存在，请说明理由.问题：当DEF移动至什么位置，即AD的长为多少时，以线段AD、EB、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形？ 【答案】解：（1）ABC中，C=90，A=30，BC=5，AB=10AD=x , BD=10-xBE=(其中0x7)（2）当BEAC时，则EBD=A=30，(10-x)=9，x=10-当EBD=22.5，EFD=45，EF=BF，=10-x-3 , x=7-AD=x , BE=，BC=5当AD为斜边时,AD2=BE2+BC2 ， x2=x2-20x+109+25解得x=6.7当BE为斜边时,BE2=AD2+BC2 ， x2-20x+109=x2+25解得x=4.2当BC为斜边时,BC2=BE2+AD2 ， 25=x2+x2-20x+109无实数解 【考点】一元二次方程的解，勾股定理，特殊角的三角函数值 【解析】【分析】（1）根据题意，观察图形，由勾股定理即可求出；（2）因为B=90，A=30，BC=5cm，所以AC=10cm，又因为FDE=90，DEF=45，DE=3cm，连接BE，设BEAC，则可求证FCD=A=30，故AD的长可求；假设EBD=22.5，因为EDF=45，所以EF=BF，求得AD=,故不存在设AD=x，则BE=， 再分情况讨论：FC为斜边；AD为斜边；BC为斜边综合分析即可求得AD的长；五、综合题28.如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，AD=6，若OA、OB的长是关于x的一元二次方程x27x+12=0的两个根，且OAOB（1）求OA、OB的长 （2）若点E为x轴正半轴上的点，且SAOE= ，求经过D、E两点的直线解析式及经过点D的反比例函数的解析式，并判断AOE与AOD是否相似 （3）若点M在平面直角坐标系内，则在直线AB上是否存在点F，使以A、C、F、M为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出F点的坐标，若不存在，请说明理由 【答案】（1）解：方程x27x+12=0，分解因式得：（x3）（x4）=0，可得：x3=0，x4=0，解得：x1=3，x2=4，OAOB，OA=4，OB=3（2）解：根据题意，设E（x，0），则SAOE= OAx= 4x= ，解得：x= ，E（ ，0），四边形ABCD是平行四边形，点D的坐标是（6，4），设经过D、E两点的直线的解析式为y=kx+b，则 ，解得： ，解析式为y= x ；设反比例函数解析式为y= ，把D（6，4）代入得：m=24，反比例函数解析式为y= ；在AOE与DAO中， = = ， = = ， = ，又AOE=OAD=90，AOEDAO（3）解：AOBC，AO平分BAC，分四种情况考虑：AC、AF是邻边，点F在射线AB上时，AF=AC=5，点F与B重合，即F（3，0）；AC、AF是邻边，点F在射线BA上时，M应在直线AD上，且FC垂直平分AM，此时点F坐标为（3，8）；AC是对角线时，做AC垂直平分线L，AC解析式为y= x+4，直线L过（ ，2），且k值为 （平面内互相垂直的两条直线k值乘积为1），L解析式为y= x+ ，联立直线L与直线AB，得： ，解得：x= ，y= ，F（ ， ）；AF是对角线时，过C做AB垂线，垂足为N，SABC= BCOA= ABCN=12，CN= = ，在BCN中，BC=6，CN= ，根据勾股定理得BN= = ，即AN=ABBN=5 = ，做A关于N的对称点，记为F，AF=2AN= ，过F做y轴垂线，垂足为G，FG=AFsinBAO= = ，F（ ， ），综上所述，满足条件的点有四个：F1（3，0）；F2（3，8）；F3（ ， ）；F4（ ， ）【考点】一元二次方程的解，待定系数法求二次函数解析式 【解析】【分析】（1）解一元二次方程求出OA，OB的长度即可；（2）先根据三角形的面积求出点E的坐标，并根据平行四边形的对边相等的性质求出点D的坐标，然后利用待定系数法求解直线的解析式；分别求出两三角形夹直角的两对应边的比，如果相等，则两三角形相似，否则不相似；（3）根据菱形的性质，分AC与AF是邻边并且点F在射线AB上与射线BA上两种情况，以及AC与AF分别是对角线的情况分别进行求解计算29.关于x的一元二次方程x26x+p22p+5=0的一个根为2 （1）求p值 （2）求方程的另一根 【答案】（1）解：将x=2代入原方程，得：412+p22p+5=0， 整理，得：p22p3=0，解得：p=1或p=3（2）解：设方程的另一个根为m， 根据韦达定理，得：m+2=6，m=4答：方程的另一根为4 【考点】一元二次方程的解，根与系数的关系 【解析】【分析】（1）将x=2代入原方程可得出关于p的一元二次方程，解方程即可得出p的值；（2）设方程的另一个根为m，由根与系数的关系可得出m+2=6，解之即可得出结论
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