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几何图形的动态问题精编1.如图，平行四边形ABCD中，AB= cm，BC=2cm，ABC=45，点P从点B出发，以1cm/s的速度沿折线BCCDDA运动，到达点A为止，设运动时间为t(s)，ABP的面积为S(cm2)，则S与t的大致图象是（ ）A.B.C.D.【答案】A 【解析】 ：分三种情况讨论：当0t2时，过A作AEBC于EB=45，ABE是等腰直角三角形AB= ，AE=1，S= BPAE= t1= t；当2t 时，S= = 21=1；当 t 时，S= APAE= （ -t）1= （ -t）故答案为：A【分析】根据题意分三种情况讨论：当0t2时，过A作AEBC于E；当2t 2 +时；当 2 + t 4 +时，分别求出S与t的函数解析式，再根据各选项作出判断，即可得出答案。2.如图，边长为a的菱形ABCD中,DAB=60,E是异于A、D两点的动点,F是CD上的动点,满足AE+CF=a,BEF的周长最小值是( )A.B.C.D.【答案】B 【解析】 ：连接BD四边形ABCD是菱形，AB=AD，DAB=60，ABD是等边三角形，AB=DB，BDF=60A=BDF又AE+CF=a，AE=DF，在ABE和DBF中，ABEDBF（SAS），BE=BF，ABE=DBF，EBF=ABD=60，BEF是等边三角形E是异于A、D两点的动点,F是CD上的动点,要使BEF的周长最小，就是要使它的边长最短当BEAD时，BE最短在RtABE中，BE=BEF的周长为【分析】根据等边三角形的性质及菱形的性质，证明A=BDF，AE=DF，AB=AD，就可证明ABEDBF，根据全等三角形的性质，可证得BE=BF，ABE=DBF，再证明BEF是等边三角形，然后根据垂线段最短，可得出当BEAD时，BE最短，利用勾股定理求出BE的长，即可求出BEF的周长。3.如图,菱形 的边长是4厘米, ,动点 以1厘米/秒的速度自 点出发沿 方向运动至 点停止,动点 以2厘米/秒的速度自 点出发沿折线 运动至 点停止若点 同时出发运动了 秒,记 的面积为 ,下面图象中能表示 与 之间的函数关系的是( )A.B.C.D.【答案】D 【解析】 当0t2时，S=2t （4-t）=- t2+4 t；当2t4时，S=4 （4-t）=-2 t+8 ；只有选项D的图形符合故答案为：D【分析】分别求出当0t2时和当2t4时，s与t的函数解析式，再根据各选项的图像逐一判断即可。4.如图,矩形ABCD,R是CD的中点,点M在BC边上运动,E，F分别为AM，MR的中点,则EF的长随M点的运动( )A.变短B.变长C.不变D.无法确定【答案】C 【解析】 ：E，F分别为AM，MR的中点,EF是ANR的中位线EF= ARR是CD的中点，点M在BC边上运动AR的长度一定EF的长度不变。故答案为：C【分析】根据已知E，F分别为AM，MR的中点,，可证得EF是ANR的中位线，根据中位线定理，可得出EF= AR，根据已知可得出AR是定值，因此可得出EF也是定值，可得出结果。5.如图甲，A，B是半径为1的O上两点，且OAOB点P从A出发，在O上以每秒一个单位的速度匀速运动，回到点A运动结束设运动时间为x，弦BP的长度为y，那么如图乙图象中可能表示y与x的函数关系的是（ ）A.B.C.或D.或【答案】C 【解析】 当点P顺时针旋转时，图象是，当点P逆时针旋转时，图象是，故答案为.故答案为：C【分析】由题意知PB的最短距离为0，最长距离是圆的直径；而点P从A点沿顺时针旋转和逆时针旋转后与点B的距离有区别，当点P从A点沿顺时针旋转时，弦BP的长度y的变化是：从AB的长度增大到直径的长，然后渐次较小至点B为0，再从点B运动到点A，则弦BP的长度y由0增大到AB的长；当点P从A点沿逆时针旋转时，弦BP的长度y的变化是：从AB的长度减小到0，再由0增大到直径的长，最后由直径的长减小到AB的长。6.如图，一块等边三角形的木板，边长为1，现将木板沿水平线翻滚，那么B点从开始至结束所走过的路径长度为_【答案】【解析】 ：从图中发现：B点从开始至结束所走过的路径长度为两段弧长即第一段= ，第二段= 故B点从开始至结束所走过的路径长度= + = 故答案为：【分析】B点的运动路径是2个圆心角是120度的扇形的弧长，根据弧长公式求解。7.如图，长方形ABCD中，AB=4cm，BC=3cm，点E是CD的中点，动点P从A点出发，以每秒1cm的速度沿ABCE 运动，最终到达点E若点P运动的时间为x秒，那么当x= _时，APE的面积等于5 【答案】或5 【解析】 如图1，当P在AB上时，APE的面积等于5， x3=5，x= ；当P在BC上时，APE的面积等于5， ，34 (3+4x)2 23 4(x4)=5，x=5；当P在CE上时， (4+3+2x)3=5，x= 3+4+2，此时不符合；故答案为： 或5.【分析】先对点P所在不同线段的区间进行分类讨论，再结合实际情况与所得结果进行对比从而判断结果的合理性.8.如图，在矩形 中， 点 同时从点 出发，分别在 ， 上运动，若点 的运动速度是每秒2个单位长度，且是点 运动速度的2倍，当其中一个点到达终点时，停止一切运动以 为对称轴作 的对称图形 点 恰好在 上的时间为_秒在整个运动过程中， 与矩形 重叠部分面积的最大值为_【答案】；【解析】 ：（1）如图，当B与AD交于点E，作FMAD于F，DFM=90四边形ABCD是矩形，CD=ABAD=BCD=C=90四边形DCMF是矩形，CD=MFMNB与MNE关于MN对称，MNBMNE，ME=MB，NE=BNBN=t，BM=2t，EN=t，ME=2tAB=6，BC=8，CD=MF=6，CB=DA=8AN=6-t在RtMEF和RtAEN中，由勾股定理，得（1）EF=AE=2t解得 ：t=（2）如图，MNE与MNB关于MN对称，MEN=MBN=90MEN+MBN+EMB+ENB=360，EMB+ENB=180ENA+ENB=180，ENA=EMBtanENA=tanEMB=四边形ABCD是矩形，ADBC，EFG=EMBBN=t，BM=2t，EN=t，ME=2tAB=6，BC=8，CD=MF=6，CB=DA=8AN=6GA=(6-t) GN=(6-t)EG=EN-GN=t-(6-t)=EF=()=2t-当时，S=t2-(2t-)()=-(t-6)2+t=4时，s最大=.当0t时，S=t2t=时，S最大=.最大值为【分析】（1）如图，当B与AD交于点E，作FMAD于F，根据矩形的性质得出CD=ABAD=BCD=C=90进而判断出四边形DCMF是矩形，根据矩形的对边相等得出CD=MF根据翻折的性质得出MNBMNE，根据全等三角形对应边相等得出ME=MB，NE=BN然后表示出EN=t，ME=2tCD=MF=6，CB=DA=8AN=6-t，在RtMEF和RtAEN中，由勾股定理EF,AE的长，根据线段的和差得出方程，求解得出t的 值；（2）根据翻折的性质得出MEN=MBN=90根据四边形的内角和，邻补角定义及等量代换得出ENA=EMB根据等角的同名三角函数值相等得出tanENA=tanEMB=， 根据矩形的性质得出EFG=EMBEN=t，ME=2tCD=MF=6，CB=DA=8AN=6-t，进而表示出GA,GN,EG,EF,的长，当 t 4 时，与当0t 时，分别求出S的值，再比大小即可得出答案。9.如图，在ABC中，BCAC5，AB8，CD为AB边的高，点A在x轴上，点B在y轴上，点C在第一象限，若A从原点出发，沿x轴向右以每秒1个单位长的速度运动，则点B随之沿y轴下滑，并带动ABC在平面内滑动，设运动时间为t秒，当B到达原点时停止运动（1）连接OC，线段OC的长随t的变化而变化，当OC最大时，t_； （2）当ABC的边与坐标轴平行时，t_。 【答案】（1）（2）t 【解析】 （1）如图：当 三点共线时， 取得最大值， （ 2 ）分两种情况进行讨论：设 时，CAOA，CAy轴，CAD=ABO.又 RtCADRtABO， 即 解得 设 时， CBx轴，RtBCDRtABO， 即 综上可知,当以点C为圆心,CA为半径的圆与坐标轴相切时,t的值为 或 故答案为： 或 【分析】（1）当 O , C , D 三点共线时，OC取得最大值，此时OC是线段AB的中垂线， 根据中垂线的性质，及勾股定理得出OA =OB = 4, 然后根据时间等于路程除以速度即可得出答案；（ 2 ）分两种情况进行讨论：设OA = t 1 时，CAOA，故CAy轴，然后判断出RtCADRtABO，根据相似三角形对应边成比例得出ABCA = AOCD ,从而得出答案；设 A O = t 2 时，BC OB ，故CBx轴，然后判断出RtBCDRtABO，根据相似三角形对应边成比例得出BCAB=BD AO,从而得出答案.10.如图，在平面直角坐标系中，A(4，0)、B(0，-3)，以点B为圆心、2 为半径的B上 有一动点P.连接AP，若点C为AP的中点，连接OC，则OC的最小值为_【答案】【解析】 ：作A关于y轴的对称点A，则A（4，0），OC是AAP的中位线，当AP取最小值时，OC取最小值连接AB交B于点P，此时AP最小在RtOAB中，OA=4，OB=3，AB=5，AP=5-2=3，OC= ，OC的最小值 故答案为： 【分析】作A关于y轴的对称点A，可得出点A的坐标，可证得OC是AAP的中位线，因此当AP取最小值时，OC取最小值连接AB交B于点P，此时AP最小，再利用勾股定理求出AB，再根据圆的半径求出AP的长，利用三角形的中位线定理，即可求出OC的最小值 。11.已知矩形 中， 是 边上的一个动点，点 ， ， 分别是 ， ， 的中点.（1）求证： ； （2）设 ，当四边形 是正方形时，求矩形 的面积. 【答案】（1）解：点F,H分别是BC,CE的中点，FHBE， 又点G是BE的中点， 又 ，BGF FHC（2）解：当四边形EGFH是正方形时，可知EFGH且 在BEC中，点G，H分别是BE,EC的中点, 且GHBC, 又ADBC, ABBC, ， 【解析】【分析】（1）根据点F,H分别是BC,CE的中点，可证得FH是BCE的中位线，就可证得FHBE， FH=BE 再根据点G是BE的中点，得出FH=BG，就可证得结论。（2）当四边形EGFH是正方形时，可知EFGH且 E F = G H ，根据已知在BEC中，点G，H分别是BE,EC的中点，可证得GH是BCE的中位线，可求出GH的长及GHBC，再根据ADBC, ABBC，可证得AB=GH，然后利用矩形的面积公式，即可求解。12.如图，在ABC中，C90，AC4cm，BC5cm，点D在BC上，且CD3cm.动点P、Q分别从A、C两点同时出发，其中点P以1cm/s的速度沿AC向终点C移动；点Q以 cm/s的速度沿CB向终点B移动过点P作PECB交AD于点E，设动点的运动时间为x秒（1）用含x的代数式表示EP； （2）当Q在线段CD上运动几秒时，四边形PEDQ是平行四边形； （3）当Q在线段BD(不包括点B、点D)上运动时，求当x为何值时，四边形EPDQ面积等于 . 【答案】（1）解:如图所示，PECB，AEPADC.又EAPDAC，AEPADC， ， ，EP x.（2）解：由四边形PEDQ1是平行四边形，可得EPDQ1.即 x3 x，所以x1.5.0x2.4当Q在线段CD上运动1.5秒时，四边形PEDQ是平行四边形（3）解： S四边形EPDQ2 ( x x3)(4x)x2 x6，四边形EPDQ面积等于 ，x2 x6 ，整理得：2x211x150.解得：x3或x2.5，当x为3或2.5时，四边形EPDQ面积等于 . 【解析】【分析】（1）抓住已知条件PECB，证明AEPADC，再根据相似三角形的性质得出对应边成比例，可得出EP的长。（2）根据已知可知PECB，要证四边形PEDQ是平行四边形，则EPDQ1 ， 建立关于x的方程，求出x的值，再写出x的取值范围即可。（3）根据PECB，可证得四边形EPDQ是梯形，根据梯形的面积=， 建立关于x的方程，再解方程求解即可。13.如图1，图2中，正方形ABCD的边长为6，点P从点B出发沿边BCCD以每秒2个单位长的速度向点D匀速运动，以BP为边作等边三角形BPQ，使点Q在正方形ABCD内或边上，当点Q恰好运动到AD边上时，点P停止运动。设运动时间为t秒（t0）。 （1）当t2时，点Q到BC的距离_； （2）当点P在BC边上运动时，求CQ的最小值及此时t的值； （3）若点Q在AD边上时，如图2，求出t的值； （4）直接写出点Q运动路线的长。 【答案】（1）解： （2）解：点P在BC边上运动时，有 ，根据垂线段最短，当 时，CQ最小，如图，在直角三角形BCQ中， ， （3）解：若点Q在AD边上，则 RtBAQRtBCP（HL）, ，且由勾股定理可得， 解得： （不合题意，舍去）， （4）解：点Q运动路线的长等于点 运动的路线长： 【解析】【解答】 如图：过点 作 当 时， 是等边三角形，故答案为： 【分析】(1）过点 Q 作QEBC, 根据路程等于速度乘以时间，由 t = 2 ， 得出BP的长，根据等边三角形的性质得出BQ = 4 , QBE = 60 ,在RtBPQ中，根据正弦函数的定义即可得出QE的长；（2）点P在BC边上运动时，有 QBC = 60 ，根据垂线段最短，当 CQBQ 时，CQ最小，如图，在直角三角形BCQ中， QBC= 60 ，从而得出BQ的长度，根据等边三角形的性质得出BP=BQ=3，根据时间等于路程除以速度，从而得出t的值，再根据正切函数的定义，即可得出CQ的长；（3）若点Q在AD边上，则 C P = 2 t 6 ， 首先利用HL判断出RtBAQRtBCP，根据全等三角形对应边相等得出A Q = C P = 2 t 6 , 进而得出DQ =DP= 12 2 t , 由 BP = PQ ，且由勾股定理可得，DQ 2 + DP 2 =QP 2 ， BC 2 +CP2 =BP 2,得出关于t的方程，求解并检验即可得出t的值；（4）根据题意点Q运动路线的长等于点 P 运动的路线长，由路程等于速度乘以时间即可得出答案。14.已知：如图，在平行四边形ABCD中，AB=12，BC=6，ADBD以AD为斜边在平行四边形AB CD的内部作RtAED，EAD=30，AED=90（1）求AED的周长； （2）若 AED以每秒2个单位长度的速度沿DC向右平行移动，得到AE0D0 ， 当A0D0与BC重合时停止移动，设运动时间为t秒，A0E0D0与BDC重叠的面积为S，请直接写出 S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围； （3）如图，在（2）中，当AED停止移动后得到BEC，将BEC绕点C按顺时针方向旋转（0180），在旋转过程中，B的对应点为B1 ， E的对应点为E1 ， 设直线B1E1与直线BE交于点P、与直线CB交于点Q是否存在这样的，使BPQ为等腰三角形？若存在，求出的度数；若不存在，请说明理由 【答案】（1）解：（1）四边形ABCD是平行四边形，AD=BC=6在RtADE中，AD=6，EAD=30，AE=ADcos30=6=3，DE=ADsin30=6=3，AED的周长为：6+3+3=9+3。（2）解：在AED向右平移的过程中：（I）当0t1.5时，如答图1所示，此时重叠部分为D0NKDD0=2t，ND0=DD0sin30=t，NK=ND0tan30=t，S=SD0NK=1ND0NK=tt=t2；（II）当1.5t4.5时，如答图2所示，此时重叠部分为四边形D0E0KNAA0=2t，A0B=AB-AA0=12-2t，A0N=A0B=6-t，NK=A0Ntan30=（6-t）S=S四边形D0E0KN=SA0D0E0-SA0NK=3-（6-t）（6-t）=-t2+2t-；（III）当4.5t6时，如答图3所示，此时重叠部分为五边形D0IJKNAA0=2t，A0B=AB-AA0=12-2t=D0C，A0N=A0B=6-t，D0N=6-（6-t）=t，BN=A0Bcos30=（6-t）；易知CI=BJ=A0B=D0C=12-2t，BI=BC-CI=2t-6，S=S梯形BND0I-SBKJ=t+（2t-6）（6-t）-（12-2t）=故答案为：S=t2；（0t1.5）S=-t2+2t-（1.5t4.5）；S=（4.5t6）（3）证明：存在，使BPQ为等腰三角形理由如下：经探究，得BPQB1QC，故当BPQ为等腰三角形时，B1QC也为等腰三角形（I）当QB=QP时（如答图4），则QB1=QC，B1CQ=B1=30，即BCB1=30，=30；（II）当BQ=BP时，则B1Q=B1C，若点Q在线段B1E1的延长线上时（如答图5），B1=30，B1CQ=B1QC=75，即BCB1=75，=75；若点Q在线段E1B1的延长线上时（如答图6），CB1E1=30，B1CQ=B1QC=15，即BCB1=180-B1CQ=180-15=165，=165当PQ=PB时（如答图7），则CQ=CB1 ， CB=CB1 ， CQ=CB1=CB，又点Q在直线CB上，0180，点Q与点B重合，此时B、P、Q三点不能构成三角形综上所述，存在=30，75或165，使BPQ为等腰三角形 【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质求出AD的长，再利用解直角三角形求出AE、DE的长，然后求出AED的周长即可。（2）在AED向右平移的过程中，分三种情况讨论：（I）当0t1.5时，如答图1所示，此时重叠部分为D0NK；（II）当1.5t4.5时，如答图2所示，此时重叠部分为四边形D0E0KN；（III）当4.5t6时，如答图3所示，此时重叠部分为五边形D0IJKN；分别根据题意求出s与t的函数解析式即可。（3）根据已知易证BPQB1QC，故当BPQ为等腰三角形时，B1QC也为等腰三角形，分三种情况讨论：（I）当QB=QP时（如答图4）；（II）当BQ=BP时，则B1Q=B1C；当PQ=PB时（如答图7），则CQ=CB1；分别求出的度数即可。15.如图，在直角坐标系XOY中，菱形OABC的边OA在x轴正半轴上，点B，C在第一象限，C=120，边长OA=8，点M从原点O出发沿x轴正半轴以每秒1个单位长的速度作匀速运动，点N从A出发沿边ABBCCO以每秒2个单位长的速度作匀速运动.过点M作直线MP垂直于x轴并交折线OCB于P，交对角线OB于Q，点M和点N同时出发，分别沿各自路线运动，点N运动到原点O时，M和N两点同时停止运动.（1）当t=2时，求线段PQ的长； （2）求t为何值时，点P与N重合； （3）设APN的面积为S，求S与t的函数关系式及t的取值范围. 【答案】（1）解：在菱形OABC中，AOC=60，AOQ=30，当t=2时，OM=2，PM=2 ，QM= ，PQ= （2）解：当t4时，AN=PO=2OM=2t，t=4时，P到达C点，N到达B点，点P，N在边BC上相遇.设t秒时，点P与N重合，则(t-4)+2(t-4)=8,t= .即t= 秒时，点P与N重合（3）解：当0t4时，PN=OA=8，且PNOA，PM= t，SAPN= 8 t=4 t；当4t 时，PN=8-3(t-4)=20-3t，SAPN= 4 (20-3t)=40 -6 t；当 t8时，PN=3(t-4)-8=3t-20，SAPN= 4 (3t-20)= 6 t -4 ；8t12时，ON=24-2t，N到OM距离为12 - t, N到CP距离为4 -(12 - t)= t-8 ，CP=t-4，BP=12-t，SAPN=S菱形-SAON- SCPN- SAPB=32 - 8(12 - t)- （t-4）（ t-8 ）- （12-t）4 = - t2+12 t-56 综上，S与t的函数关系式为： 【解析】【分析】（1）根据菱形的性质得出AOC=60，AOQ=30，当t=2时，OM=2，再直角三角形中根据含30角的直角三角形的边之间的关系得出PM,QM的长，进而利用线段的和差得出PQ的长；（2）当t4时，AN=PO=2OM=2t，t=4时，P到达C点，N到达B点，点P，N在边BC上相遇.设t秒时，点P与N重合，根据相遇问题的等量关系，列出方程，求解得出t的值；（3）当0t4时，PN=OA=8，且PNOA，PM= 3 t，根据三角形的面积公式，及平行线间的距离是一个定值即可得出S与t的函数关系式；当4t时，P,N都在BC上相向运动，此时PN=8-3(t-4)=20-3t，根据三角形的面积公式，及平行线间的距离是一个定值即可得出S与t的函数关系式；当t8时，P,N都在BC上运动，不过此时是背向而行，此时PN=3(t-4)-8=3t-20，根据三角形的面积公式，及平行线间的距离是一个定值即可得出S与t的函数关系式；8t12时，N在OC上运动，ON=24-2t，M在A点的右侧运动，N到OM距离为12-t, N到CP距离为4 -(12- t)=t-8，CP=t-4，BP=12-t，由SAPN=S菱形-SAON- SCPN- SAPB即可得出答案；综上所述即可得出S与t的函数关系式。16.如图，已知ABC的顶点坐标分别为A（3，0），B（0，4），C（-3，0）。动点M，N同时从A点出发，M沿AC,N沿折线ABC，均以每秒1个单位长度的速度移动，当一个动点到达终点C时，另一个动点也随之停止移动，移动时间记为t秒。连接MN。（1）求直线BC的解析式； （2）移动过程中，将AMN沿直线MN翻折，点A恰好落在BC边上点D处，求此时t值及点D的坐标； （3）当点M,N移动时，记ABC在直线MN右侧部分的面积为S，求S关于时间t的函数关系式。 【答案】（1）解：设直线BC解析式为：y=kx+b，B（0，4），C（-3，0）， ，解得： 直线BC解析式为：y= x+4.（2）解：依题可得：AM=AN=t，AMN沿直线MN翻折，点A与点点D重合，四边形AMDN为菱形，作NFx轴，连接AD交MN于O，A（3，0），B（0，4），OA=3,OB=4，AB=5,M（3-t，0），又ANFABO， = = , = = ,AF= t，NF= t，N（3- t， t），O（3- t, t），设D（x,y）, =3- t， = t，x=3- t,y= t，D（3- t， t），又D在直线BC上， （3- t）+4= t，t= ，D（- ， ）.（3）当0t5时（如图2），ABC在直线MN右侧部分为AMN，S= = AMDF= t t= t ,当5t6时，ABC在直线MN右侧部分为四边形ABNM，如图3AM=AN=t，AB=BC=5，BN=t-5，CN=-5-（t-5）=10-t，又CNFCBO， = , = ,NF= （10-t），S= - = ACOB- CMNF，= 64- （6-t） （10-t），=- t + t-12. 【解析】【分析】（1）设直线BC解析式为：y=kx+b，将B、C两点坐标代入即可得出二元一次方程组，解之即可得出直线BC解析式.（2）依题可得：AM=AN=t，根据翻折性质得四边形AMDN为菱形，作NFx轴，连接AD交MN于O，结合已知条件得M（3-t，0），又ANFABO，根据相似三角形性质得 = = ,代入数值即可得AF= t，NF= t，从而得N（3- t， t），根据中点坐标公式得O（3- t, t），设D（x,y）,再由中点坐标公式得D（3- t， t），又由D在直线BC上，代入即可得D点坐标.（3）当0t5时（如图2），ABC在直线MN右侧部分为AMN，根据三角形面积公式即可得出S表达式.当5t6时，ABC在直线MN右侧部分为四边形ABNM，由CNFCBO，根据相似三角形性质得 = ,代入数值得NF= （10-t），最后由S= - = ACOB- CMNF，代入数值即可得表达式.17.已知RtOAB，OAB=90，ABO=30，斜边OB=4，将RtOAB绕点O顺时针旋转60，如题图1，连接BC（1）填空：OBC=_； （2）如图1，连接AC，作OPAC，垂足为P，求OP的长度； （3）如图2，点M，N同时从点O出发，在OCB边上运动，M沿OCB路径匀速运动，N沿OBC路径匀速运动，当两点相遇时运动停止，已知点M的运动速度为1.5单位/秒，点N的运动速度为1单位/秒，设运动时间为x秒，OMN的面积为y，求当x为何值时y取得最大值？最大值为多少？ 【答案】（1）60（2）解：如图1中，OB=4，ABO=30，OA= OB=2，AB= OA=2 ，SAOC= OAAB= 22 =2 ，BOC是等边三角形，OBC=60，ABC=ABO+OBC=90，AC= =2 ，OP= = = （3）解：当0x 时，M在OC上运动，N在OB上运动，此时过点N作NEOC且交OC于点E则NE=ONsin60= x，SOMN= OMNE= 1.5x x，y= x2 x= 时，y有最大值，最大值= 当 x4时，M在BC上运动，N在OB上运动作MHOB于H则BM=81.5x，MH=BMsin60= （81.5x），y= ONMH= x2+2 x当x= 时，y取最大值，y ，当4x4.8时，M、N都在BC上运动，作OGBC于GMN=122.5x，OG=AB=2 ，y= MNOG=12 x，当x=4时，y有最大值，最大值=2 ，综上所述，y有最大值，最大值为 【解析】【解答】解：（1）由旋转性质可知：OB=OC，BOC=60，OBC是等边三角形，OBC=60故答案为60【分析】（1）根据旋转的性质得出OB=OC，BOC=60，根据有一个角是60的等腰三角形是等边三角形可判断出OBC是等边三角形，根据等边三角形的性质即可得出答案；（2）根据含30角的直角三角形的边之间的关系得出OA,AB的长，由SAOC=OAAB得出AOC的面积，根据等边三角形的性质及角的和差得出ABC=90，根据勾股定理得出AC的长，利用三角形的面积法即可得出OP的长；（3）当0x时，M在OC上运动，N在OB上运动，此时过点N作NEOC且交OC于点E利用正弦函数的定义由NE=ONsin60，表示出NE的长，根据SOMN=OMNE，得出y与x之间的函数关系式，根据函数的性质得出答案；当x4时，M在BC上运动，N在OB上运动，作MHOB于H则BM=81.5x，MH=BMsin60=（81.5x），根据三角形的面积公式由y= ONMH得出y与x之间的函数关系，根据函数性质得出结论；当4x4.8时，M、N都在BC上运动，作OGBC于GMN=122.5x，OG=AB=2，根据三角形的面积公式由y= MNOG得出y与x之间的函数关系，根据函数性质得出结论；通过比较即可得出最终答案。18.如图1，四边形 是矩形，点 的坐标为 ，点 的坐标为 .点 从点 出发，沿 以每秒1个单位长度的速度向点 运动，同时点 从点 出发，沿 以每秒2个单位长度的速度向点 运动，当点 与点 重合时运动停止.设运动时间为 秒.（1）当 时，线段 的中点坐标为_； （2）当 与 相似时，求 的值； （3）当 时，抛物线 经过 、 两点，与 轴交于点 ，抛物线的顶点为 ，如图2所示.问该抛物线上是否存在点 ，使 ，若存在，求出所有满足条件的 点坐标；若不存在，说明理由. 【答案】（1）（ ，2）（2）解：如图1，四边形OABC是矩形，B=PAQ=90当CBQ与PAQ相似时，存在两种情况：当PAQQBC时， ， ，4t2-15t+9=0，（t-3）（t- ）=0，t1=3（舍），t2= ，当PAQCBQ时， ， ，t2-9t+9=0，t= ，0t6， 7，x= 不符合题意，舍去，综上所述，当CBQ与PAQ相似时，t的值是 或 （3）解：当t=1时，P（1，0），Q（3，2），把P（1，0），Q（3，2）代入抛物线y=x2+bx+c中得：，解得： ，抛物线：y=x2-3x+2=（x- ）2- ，顶点k（ ，- ），Q（3，2），M（0，2），MQx轴，作抛物线对称轴，交MQ于E，KM=KQ，KEMQ，MKE=QKE= MKQ，如图2，MQD= MKQ=QKE，设DQ交y轴于H，HMQ=QEK=90，KEQQMH， ， ，MH=2，H（0，4），易得HQ的解析式为：y=- x+4，则 ，x2-3x+2=- x+4，解得：x1=3（舍），x2=- ，D（- ， ）；同理，在M的下方，y轴上存在点H，如图3，使HQM= MKQ=QKE，由对称性得：H（0，0），易得OQ的解析式：y= x，则 ，x2-3x+2= x，解得：x1=3（舍），x2= ，D（ ， ）；综上所述，点D的坐标为：D（- ， ）或（ ， ） 【解析】【解答】解：（1）如图1，点A的坐标为（3，0），OA=3，当t=2时，OP=t=2，AQ=2t=4，P（2，0），Q（3，4），线段PQ的中点坐标为：（ ， ），即（ ，2）；故答案为：（ ，2）；【分析】（1）根据A点坐标得出OA的长度，当t=2时，OP=t=2，AQ=2t=4，从而得出P,Q两点的坐标，根据线段中点坐标公式得出线段PQ的中点坐标；（2）根据矩形的性质得出B=PAQ=90，当CBQ与PAQ相似时，存在两种情况：当PAQQBC时， PA AQ QBBC ，当PAQCBQ时， PAAQBCQB ，从而得出关于t的方程，求解并检验得出t的值；（3）当t=1时，得出P,Q两点的坐标，再将P,Q两点的坐标分别代入抛物线y=x2+bx+c中得：得出关于b,c的二元一次方程组，求解得出b,c的值，从而得出抛物线的解析式，进一步得出抛物线的顶点K的坐标，根据Q,M两点的坐标特点得出MQx轴，作抛物线对称轴，交MQ于E，根据抛物线的对称性得出KM=KQ，KEMQ，根据等腰三角形的三线合一得出MKE=QKE=MKQ，如图2，MQD=MKQ=QKE，设DQ交y轴于H，然后判断出KEQQMH，根据相似三角形对应边成比例得出KEEQMQMH，从而得出MH的长度，H点的坐标，用待定系数法得出直线HQ的解析式，解联立直线HQ的解析式及抛物线的解析式组成的方程组，并检验得出D点的坐标，同理，在M的下方，y轴上存在点H，如图3，使HQM=MKQ=QKE，由对称性得H点的坐标，用待定系数法得出直线OQ的解析式，解联立直线OQ的解析式及抛物线的解析式组成的方程组，并检验得出D点的坐标;综上所述得出答案。
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