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第二十七章 相似章末小结与提升相似类型1相似多边形1.如图,把一张矩形纸片对折两次得到四个小矩形,如果每个小矩形都与原矩形相似,则原矩形纸片的长与宽之比为(B)A.21B.21C.31D.412.如图,有一块矩形草坪,沿草坪四周有宽为3 m的环形小路.(1)问小路内外边缘所成的两个矩形相似吗?(2)若矩形草坪的长、宽分别为a m,b m.则当a,b满足什么关系式时,能使小路内外边缘所成的两个矩形一定相似?(3)若a=50 m,b=30 m,则沿草坪四周的环形小路的宽应如何改变,才能保证小路的内外边缘所成的两个矩形相似?解:(1)小路内外边缘所成的两个矩形不一定相似.(2)小路内外边缘所成的两个矩形相似,ab=a+6b+6,解得a=b.(3)设沿草坪四周的环形小路的纵向宽为x,横向宽为y,则5030=50+2x30+2y,解得xy=53,故当沿草坪四周的环形小路的纵向宽与横向宽的比为53时,小路的内外边缘所成的两个矩形相似.类型2相似三角形的判定典例1如图,在ABC中,P为AB上的一点,在下列四个条件中:ACP=B;APC=ACB;AC2=APAB;ACCP=APBC.其中能满足APC和ACB相似的条件是()A.B.C.D.【解析】当ACP=B时,又A是公共角,所以APCACB;当APC=ACB时,又A是公共角,所以APCACB;当AC2=APAB时,即ACAB=APAC,又A是公共角,所以APCACB;当ACCP=APBC时,即CPBC=APAC,而PAC=CAB,夹角APC与ACB不一定相等,所以不能判断APC和ACB相似.【答案】 D【针对训练】1.如图,已知ABC和DEF,点E在BC边上,点A在DE边上,边EF和边AC相交于点G.如果AE=EC,AEG=B,那么添加下列一个条件后,仍无法判定DEF与ABC一定相似的是(C)A.ABBC=DEEFB.ADAE=GFGEC.AGAC=EGEFD.EDEF=EGEA2.将三角形纸片(ABC)按如图所示的方式折叠,使点C落在AB边上的点D,折痕为EF.已知AB=AC=3,BC=4,若以点B,D,F为顶点的三角形与ABC相似,那么CF的长度为127或2.3.(江西中考)如图,在正方形ABCD中,点E,F,G分别在AB,BC,CD上,且EFG=90.求证:EBFFCG.证明:四边形ABCD为正方形,B=C=90,BEF+BFE=90.EFG=90,BFE+CFG=90,BEF=CFG,EBFFCG.类型3相似三角形的性质典例2如图,点C,D在线段AB上,PCD是等边三角形,且ACPPDB.(1)求APB的大小;(2)说明线段AC,CD,BD之间的数量关系.【解析】(1)PCD是等边三角形,PCD=60,ACP=120.ACPPDB,APC=B.A=A,ACPAPB,APB=ACP=120.(2)ACPPDB,ACPD=PCBD,PDPC=ACBD.PCD是等边三角形,PC=PD=CD,CD2=ACBD.【针对训练】1.若ABCDEF,它们的周长分别为6 cm和8 cm,那么下列各式中一定成立的是(D)A.3AB=4DEB.4AC=3DEC.3A=4DD.4(AB+BC+AC)=3(DE+EF+DF)2.如图,CE是平行四边形ABCD的边AB的垂直平分线,垂足为O,CE与DA的延长线交于点E.连接AC,BE,DO,DO与AC交于点F,则下列结论:四边形ACBE是菱形;ACD=BAE;AFBE=23;S四边形AFOESCOD=23.其中正确的结论有.(填写所有正确结论的序号)类型4相似三角形的实际应用典例3如图,身高为1.6 m的小李AB站在河的一岸,利用树的倒影去测河对岸一棵树CD的高度,CD的倒影是CD,且A,E,C在一条视线上.已知河宽BD=12 m,BE=2 m,则树高CD=m.【解析】AB,CD均垂直于地面,ABCD,ABECDE,ABCD=BEDE,即1.6CD=210,解得CD=8,CD=8m.【答案】 8【针对训练】1.如图,电影胶片上每一个图片的规格为3.5 cm3.5 cm,放映屏幕的规格为2 m2 m,若放映机的光源S距胶片20 cm,那么光源S距屏幕807m时,放映的图象刚好布满整个屏幕.2.如图,现要对三角形ABC空地进行绿化,中位线MN把ABC空地分割成两部分,其中AMN部分种植红花,四边形BCNM部分种植绿草,已知红花的种植面积是20 m2,则绿草的种植面积为60m2.3.在一次数学活动课上,老师让同学们到操场上测量旗杆的高度,然后回来交流各自的测量方法.小芳的测量方法是:拿一根高3.5米的竹竿直立在离旗杆27米的C处(如图),然后沿BC方向走到D处,这时目测旗杆顶部A与竹竿顶部E恰好在同一直线上,又测得C,D两点的距离为3米,小芳的目高为1.5米,这样便可知道旗杆的高.你认为这种测量方法是否可行?请说明理由.解:这种测量方法可行.理由:设旗杆高AB=x.过点F作FGAB于点G,交CE于点H.所以AGFEHF.因为FD=1.5,GF=27+3=30,HF=3,所以EH=3.5-1.5=2,AG=x-1.5.由AGFEHF,得AGEH=GFHF,即x-1.52=303,所以x-1.5=20,解得x=21.5(米).答:旗杆的高为21.5米.类型5位似图形典例4如图,正方形OABC和正方形DEFG是位似图形,点B的坐标为(-1,1),点F的坐标为(4,2),且位似中心在这两个图形的同侧,则位似中心的坐标为.【解析】点B的坐标为(-1,1),点F的坐标为(4,2),AB=1,DG=2,AD=1+2=3.正方形OABC和正方形DEFG是位似图形,且位似中心在这两个图形的同侧,则作直线BG交x轴于点M,点M为位似中心,MAMD=ABDG,MAMA+3=12,MA=3,OM=MA+OA=4,M(-4,0).【答案】(-4,0)【针对训练】1.如图,已知矩形OABC与矩形ODEF是位似图形,P是位似中心,若点B的坐标为(2,4),点E的坐标为(-1,2),则点P的坐标为(-2,0).2.如图,在平面直角坐标系xOy中,点A,B的坐标分别为(3,0),(2,-3),ACD是AOB关于点A的位似图形,且点C的坐标为(-1,0),则ACD的面积为8.3.如图,ABC在直角坐标平面内,三个顶点的坐标分别为A(0,3),B(3,4),C(2,2).(正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度)(1)画出ABC向下平移4个单位长度得到的A1B1C1,并写出点C1的坐标;(2)以点B为位似中心,在网格内画出A2B2C2,使A2B2C2与ABC位似,且位似比为21,并写出点C2的坐标.解:(1)A1B1C1如图所示,点C1的坐标是(2,-2).(2)A2B2C2如图所示,点C2的坐标是(1,0).
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