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单元检测(五)四边形(考试用时:90分钟满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)1.如图,在ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,添加下列条件不能判定ABCD是菱形的只有()A.ACBDB.AB=BCC.AC=BDD.1=2答案C解析A.正确.对角线相等是平行四边形的菱形.B.正确.邻边相等的平行四边形是菱形.C.错误.对角线相等的平行四边形是矩形,不一定是菱形.D.正确.可以证明平行四边形ABCD的邻边相等,即可判定是菱形.2.如图,在菱形ABCD中,AC=8,BD=6,则ABC的周长是()A.14B.16C.18D.20答案C解析在菱形ABCD中,AC=8,BD=6,AB=BC,AOB=90,AO=4,BO=3,BC=AB=42+32=5,ABC的周长=AB+BC+AC=5+5+8=18.3.如图,在矩形OACB中,A(-2,0),B(0,1).若正比例函数y=kx的图像经过点C,则k的取值为()A.-12B.12C.-2D.2答案A解析A(-2,0),B(0,1),OA=2,OB=1,四边形OACB是矩形,BC=OA=2,AC=OB=1,点C在第二象限,C点坐标为(-2,1),正比例函数y=kx的图像经过点C,-2k=1,k=-12.4.如图,矩形纸片ABCD中,AD=4 cm,把纸片沿直线AC折叠,点B落在E处,AE交DC于点O,若AO=5 cm,则AB的长为()A.6 cmB.7 cmC. 8cmD. 9cm答案C解析根据折叠前后角相等可知BAC=EAC,四边形ABCD是矩形,ABCD,BAC=ACD,EAC=ACD,AO=CO=5cm,在直角三角形ADO中,DO=AO2-AD2=3cm,AB=CD=DO+CO=3+5=8cm.5.如图,在ABCD中,用直尺和圆规作BAD的平分线AG交BC于点E.若BF=8,AB=5,则AE的长为()A.5B.6C.8D.12答案B解析连接EF,AE与BF交于点O,四边形ABCD是平行四边形,AB=AF,四边形ABEF是菱形,AEBF,OB=12BF=4,OA=12AE.AB=5,在RtAOB中,AO=25-16=3,AE=2AO=6.6.(xx山东临沂)如图,点E、F、G、H分别是四边形ABCD边AB、BC、CD、DA的中点.则下列说法:若AC=BD,则四边形EFGH为矩形;若ACBD,则四边形EFGH为菱形;若四边形EFGH是平行四边形,则AC与BD互相平分;若四边形EFGH是正方形,则AC与BD互相垂直且相等.其中正确的个数是()A.1B.2C.3D.4答案A解析因为一般四边形的中点四边形是平行四边形,当对角线BD=AC时,中点四边形是菱形,当对角线ACBD时,中点四边形是矩形,当对角线AC=BD,且ACBD时,中点四边形是正方形,故选项正确.7.(xx浙江宁波)如图,在ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,E是边CD的中点,连接OE.若ABC=60,BAC=80,则1的度数为()A.50B.40C.30D.20答案B解析ABC=60,BAC=80,BCA=180-60-80=40,对角线AC与BD相交于点O,E是边CD的中点,EO是DBC的中位线,EOBC,1=ACB=40.8.(xx山东威海)矩形ABCD与CEFG,如图放置,点B,C,E共线,点C,D,G共线,连接AF,取AF的中点H,连接GH.若BC=EF=2,CD=CE=1,则GH=()A.1B.23C.22D.52答案C解析如图,延长GH交AD于点P,四边形ABCD和四边形CEFG都是矩形,ADC=ADG=CGF=90,AD=BC=2,GF=CE=1,ADGF,GFH=PAH,又H是AF的中点,AH=FH,在APH和FGH中,PAH=GFH,AH=FH,AHP=FHG,APHFGH(ASA),AP=GF=1,GH=PH=12PG,PD=AD-AP=1,CG=2、CD=1,DG=1,则GH=12PG=12PD2+DG2=22.9.(xx江苏宿迁)如图,菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,点E为边CD的中点,若菱形ABCD的周长为16,BAD=60,则OCE的面积是()A.3B.2C.23D.4答案A解析菱形ABCD的周长为16,菱形ABCD的边长为4,BAD=60,ABD是等边三角形,又O是菱形对角线AC、BD的交点,ACBD,在RtAOD中,AO=AD2-OD2=16-4=23,AC=2AO=43,SACD=12ODAC=12243=43,又O、E分别是中点,OEAD,COECAD,OEAD=12,SCOESCAD=14,SCOE=14SCAD=1443=3.10.(xx山东潍坊)如图,菱形ABCD的边长是4 cm,B=60,动点P以1 cm/s的速度自A点出发沿AB方向运动至B点停止,动点O以2 cm/s的速度自B点出发沿折线BCD运动至D点停止.若点P,Q同时出发运动了t秒,记BPQ的面积为S cm2,下面图象中能表示S与t之间的函数关系的是()答案D解析当0t2时,S=2t32(4-t)=-3t2+43t;当2t0)的顶点为C,与x轴的正半轴交于点A,它的对称轴与抛物线y=ax2(a0)交于点B.若四边形ABOC是正方形,则b的值是.答案-2解析四边形ABOC是正方形,点B的坐标为-b2a,-b2a.抛物线y=ax2过点B,-b2a=a-b2a2,解得b1=0(舍去),b2=-2.三、解答题(本大题共6小题,共58分)19.(6分)(xx湖南湘潭)如图,在正方形ABCD中,AF=BE,AE与DF相交于点O.(1)求证:DAFABE;(2)求AOD的度数.(1)证明四边形ABCD是正方形,DAB=ABC=90,AD=AB,在DAF和ABE中,AD=AB,DAF=ABE=90,AF=BE,DAFABE(SAS).(2)解由(1)知,DAFABE,ADF=BAE,ADF+DAO=BAE+DAO=DAB=90,AOD=180-(ADF+DAO)=90.20.(10分)(xx湖南娄底)如图,已知四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,且OA=OC,OB=OD,过O点作EFBD,分别交AD,BC于点E,F.(1)求证:AOECOF;(2)判断四边形BEDF的形状,并说明理由.(1)证明OA=OC,OB=OD,四边形ABCD是平行四边形,ADBC,EAO=FCO,在AOE和COF中,EAO=FCO,OA=OC,AOE=COF,AOECOF(ASA).(2)解结论:四边形BEDF是菱形,AOECOF,AE=CF,AD=BC,DE=BF,DEBF,四边形BEDF是平行四边形,OB=OD,EFBD,EB=ED,四边形BEDF是菱形.21.(10分)(xx贵州安顺)如图,在ABC中,AD是BC边上的中线,E是AD的中点,过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F,连接CF.(1)求证:AF=DC;(2)若ABAC,试判断四边形ADCF的形状,并证明你的结论.(1)证明AFBC,AFE=DBE,E是AD的中点,AD是BC边上的中线,AE=DE,BD=CD,在AFE和DBE中AFE=DBE,FEA=BED,AE=DE,AFEDBE(AAS),AF=BD,AF=DC.(2)解四边形ADCF是菱形,证明:AFBC,AF=DC,四边形ADCF是平行四边形,ACAB,AD是斜边BC的中线,AD=12BC=DC,平行四边形ADCF是菱形.22.(10分)(xx江苏连云港)如图,矩形ABCD中,E是AD的中点,延长CE,BA交于点F,连接AC,DF.(1)求证:四边形ACDF是平行四边形;(2)当CF平分BCD时,写出BC与CD的数量关系,并说明理由.(1)证明四边形ABCD是矩形,ABCD,FAE=CDE,E是AD的中点,AE=DE,又FEA=CED,FAECDE(ASA),CD=FA,又CDAF,四边形ACDF是平行四边形;(2)解BC=2CD.证明:CF平分BCD,DCE=45,CDE=90,CDE是等腰直角三角形,CD=DE,E是AD的中点,AD=2CD,AD=BC,BC=2CD.23.(10分)(xx山东潍坊)如图,点M是正方形ABCD边CD上一点,连接AM,作DEAM于点E,BFAM于点F,连接BE.(1)求证:AE=BF;(2)已知AF=2,四边形ABED的面积为24,求EBF的正弦值.(1)证明四边形ABCD为正方形,BA=AD,BAD=90,DEAM于点E,BFAM于点F,AFB=90,DEA=90,ABF+BAF=90,EAD+BAF=90,ABF=EAD,在ABF和DAE中BFA=DEA,ABF=EAD,AB=DA,ABFDAE(AAS),BF=AE;(2)解设AE=x,则BF=x,DE=AF=2,四边形ABED的面积为24,12xx+12x2=24,解得x1=6,x2=-8(舍去),EF=x-2=4,在RtBEF中,BE=42+62=213,sinEBF=EFBE=4213=21313.24.(12分)(xx四川自贡)如图,抛物线y=ax2+bx-3过A(1,0),B(-3,0),直线AD交抛物线于点D,点D的横坐标为-2,点P(m,n)是线段AD上的动点.(1)求直线AD及抛物线的解析式;(2)过点P的直线垂直于x轴,交抛物线于点Q,求线段PQ的长度l与m的关系式,m为何值时,PQ最长?(3)在平面内是否存在整点(横、纵坐标都为整数)R,使得P,Q,D,R为顶点的四边形是平行四边形?若存在,直接写出点R的坐标;若不存在,说明理由.解(1)把(1,0),(-3,0)代入函数解析式,得a+b-3=09a-3b-3=0,解得a=1b=2,抛物线的解析式为y=x2+2x-3;当x=-2时,y=(-2)2+2(-2)-3,解得y=-3,即D(-2,-3).设直线AD的解析式为y=kx+b,将A(1,0),D(-2,-3)代入,得k+b=0-2k+b=-3,解得k=1b=-1,直线AD的解析式为y=x-1;(2)设P点坐标为(m,m-1),Q(m,m2+2m-3),l=(m-1)-(m2+2m-3)化简,得l=-m2-m+2配方,得l=-m+122+94,当m=-12时,l最大=94;(3)DRPQ且DR=PQ时,PQDR是平行四边形,由(2)得0PQ94,又PQ是正整数,PQ=1,或PQ=2.当PQ=1时,DR=1,-3+1=-2,即R(-2,-2),-3-1=-4,即R(-2,-4);当PQ=2时,DR=2,-3+2=-1,即R(-2,-1),-3-2=-5,即R(-2,-5),综上所述:R点的坐标为(-2,-2),(-2,-4),(-2,-1),(-2,-5),使得以P,Q,D,R为顶点的四边形是平行四边形.
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