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专题十六 三角函数与三角恒等变换【母题原题1】【2018浙江，18】已知角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（）（）求sin（+）的值；（）若角满足sin（+）=，求cos的值【答案】（） , （） 或 （）由角的终边过点得，由得.由得，所以或.点睛：三角函数求值的两种类型：(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.【母题原题2】【2017浙江，18】已知函数（I）求的值（II）求的最小正周期及单调递增区间.【答案】（I）2；（II）的最小正周期是， .【解析】试题分析：本题主要考查三角函数的性质及其变换等基础知识，同时考查运算求解能力.满分14分.（）由函数概念，计算可得；（）化简函数关系式得，结合可得周期，利用正弦函数的性质求函数的单调递增区间（）由与得所以的最小正周期是由正弦函数的性质得，解得，所以， 的单调递增区间是【母题原题3】【2016浙江，文11理10】已知2cos2x+sin 2x=Asin(x+)+b(A0)，则A=_，b=_【答案】 ，【解析】，所以【考点】降幂公式，辅助角公式【思路点睛】解答本题时先用降幂公式化简，再用辅助角公式化简，进而对照可得和的值【命题意图】考查三角函数的概念、三角公式、三角恒等变换、三角函数的图象和性质，考查数学式子变形能力、运算求解能力、数形结合思想及分析问题与解决问题的能力 【命题规律】近几年高考在对三角恒等变换考查的同时，对三角函数图象与性质的考查力度有所加强，往往将三角恒等变换与图象和性质结合考查，往往先利用三角公式进行化简，然后进一步研究三角函数的性质.其中三角函数的定义域值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性以及图象变换是主要考查对象，难度仍然以中低档为主，重在对基础知识的考查，淡化特殊技巧，强调通解通法.【答题模板】求解2017年一类问题，一般考虑：第一步：化简三角函数式成为的形式.第二步：代入计算函数值.第三步：将视为一个整体，利用正弦函数的性质，按要求运算求解.【方法总结】1. 三角函数恒等变换要注意：（1）观察式子：主要看三点 整体观察：整个表达式是以正余弦为主，还是正切（大多数情况是正余弦），确定后进行项的统一（有句老话：切割化弦） 确定研究对象：是以作为角来变换，还是以的表达式（例如）看做一个角来进行变换. 式子是否齐次：看每一项（除了常数项）的系数是否一样（合角公式第二条：齐一次），若是同一个角（之前不是确定了研究对象了么）的齐二次式或是齐一次式，那么很有可能要使用合角公式，其结果成为的形式.例如：齐二次式：，齐一次式： （2）向“同角齐次正余全”靠拢，能拆就拆，能降幂就降幂：常用到前面的公式，（还有句老话：平方降幂）2.三角函数式的化简要遵循“三看”原则（1）一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的区别和联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；（2）而看“函数名称”看函数名称之间的差异，从而确定使用公式，常见的有“切化弦”；（3）三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式通分”等.3.变换技巧：(1)拆角、拼角技巧：2()()；.（3）化简技巧：切化弦、“1”的代换等4.的常规求法：（1）： 对于可通过观察在一个周期中所达到的波峰波谷（或值域）得到 对于可通过一个周期中最大，最小值进行求解： （2）：由可得：只要确定了的周期，即可立刻求出，而的值可根据对称轴（最值点）和对称中心（零点）的距离进行求解 如果相邻的两条对称轴为，则 如果相邻的两个对称中心为，则 如果相邻的对称轴与对称中心分别为，则注：在中，对称轴与最值点等价，对称中心与零点等价.（3）：在图像或条件中不易直接看出的取值，通常可通过代入曲线上的点进行求解，要注意题目中对的限制范围1【浙江省金华十校2018年4月高考模拟】在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点P(-3,-1)，则tan=_，cos+sin-2=_【答案】 33 02.【浙江省金华十校2018年4月高考模拟】已知函数f(x)=4sinxsinx+3，则函数f(x)的最小正周期T=_，在区间0,2上的值域为_【答案】 (0,3【解析】函数的解析式：fx=4sinxsin(x+3)=2sinx(3cosx+sinx)=23sinxcosx+2sin2x=3sin2x-cos2x+1=2sin(2x-6)+1函数f(x)的最小正周期T=22=x(0,2),2x-6(-6,56)，当2x-6=2,x=3时,fxmax=2+1=3，当2x-6=-6,x=0时,fxmin=-1+1=0，但取不到.所以值域为0,3.3【2018届浙江省绍兴市5月调测】已知函数f(x)=cos2x-sin2(x+6)，则f(6)=_，该函数的最小正周期为_【答案】 0 【解析】分析：由题意首先化简函数的解析式，然后结合函数的解析式整理计算即可求得最终结果.详解：由题意可得：fx=1+cos2x2-1-cos2x+32=12cos2x+12cos2xcos3-sin2xsin3=-1232sin2x-32cos2x=-32sin2x-3.则f6=-32sin26-3=0，函数的最小正周期为：T=22=.4【2017届四川省成都嘉祥外国语学校4月月考】在平面直角坐标系中，若角的始边为轴的非负半轴，其终边经过点.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）2；（2）.【解析】试题分析：（1）直接根据任意角三角函数的定义求解即可（2）利用诱导公式化解，“弦化切”的思想即可解决试题解析：(1)由任意三角函数的定义可得： .(2) 原式5【2017届江苏省南京师范大学附属中学模拟二】已知角的终边上有一点，（1）求的值；（2）求的值【答案】（1）3; （2）【解析】【试题分析】（1）先依据正切函数的定义求出；（2）依据求得，继而求出 解：根据题意，（1）；（2） 6【2018届江苏省盐城中学全仿真模拟】在平面直角坐标系xOy中，以ox轴为始边作角，角+4的终边经过点P(-2,1).(I)求cos的值；()求cos(56-2)的值.【答案】(1)-1010；(2)43-310.【解析】分析：（1）由于角+4其终边经过点P(-2,1)，故cos(+4)=-255，sin(+4)=55，再利用两角和与差的正余弦公式即可； (2) sin=sin(+4-4) =sin(+4)cos4-cos (+4)sin4=31010.则sin2=2sincos= -35cos2=cos2- sin2=-45，cos(56-2)=cos56 cos2+sin56sin2=43-310.7【浙江省杭州市2016-2017学年高二下学期期末】设A是单位圆O和x轴正半轴的交点，P，Q是圆O上两点，O为坐标原点，AOP=，AOQ=，0， （1）若Q，求cos（）的值；（2）设函数f（）=sin（ ），求f（）的值域【答案】（1） （2） 【解析】试题分析：（1）由三角函数定义得，再根据两角差余弦公式得cos（）的值；（2）先根据向量数量积得，再利用二倍角公式、配角公式得，最后根据正弦函数性质求值域试题解析：（1）由已知得 （2） 8【2018届浙江省绍兴市3月模拟】已知函数f(x)=12sinxcosx -32cos2x+34.（）求f(x)的最小正周期；（）若x00,2，且f(x0)=12，求f(2x0)的值.【答案】(1) T= (2) -34【解析】试题分析：（1）第（）问，直接化简函数，再利用三角函数的周期公式求解. (2)第（）问，先解方程f(x0)=12得到x0的值，再求f(2x0)的值.试题解析：（）f(x)=12sinxcosx -32cos2x+34 =14sin2x-34 (1+cos2x)+34.即f(x)=12sin(2x-3).所以f(x)的最小正周期T=.（）由x00,2，得2x0-3-3,23，又因为f(x0)=12sin(2x0-3) =12，所以2x0-3=2，即2x0=56.所以f(2x0)=f(56) =12sin(256-3) =12sin43=-34.9.【2018届浙江省杭州市第二次检测】已知函数fx=sinx+74+cos(x-34)(）求f(x)的最小正周期和最大值;()求函数y=f(-x)的单调减区间【答案】（）最小正周期是2，最大值是2（）(54+2k，94+2k)(kz) 【解析】试题分析：1利用两角和与差的余弦公式，二倍角的三角函数公式和辅助角公式化简，即可得到f(x)的最小正周期和最大值2先求出f(-x)=2sin(x-34)，再求单调区间解析：（）因为sin(x74)cos(x34），所以f(x)2sin(x74）=-2sin(x+34).所以函f(x)的最小正周期是2，最大值是2（）因为f(-x)=2sin(x-34)，所以单调递减区间为(54+2k，94+2k)(kz)10【2018届浙江省温州市9月一模】已知函数f(x)=4cosxcos(x+23)+1（1）求f(6)的值；（2）求f(x)的最小正周期及单调递增区间【答案】（1）-2 ；（2），k+6,23+k（kZ）【解析】试题分析：（1）将x=6代入f(x)=4cosxcos(x+23)+1，由两角和的余弦公式结合特殊角的三角函数可得结果；（2）将cos(x+23)展开与4cosx相乘后利用余弦的二倍角公式以及辅助角公式可得f(x)=-2sin(2x+6，根据周期公式可得f(x)的最小正周期，根据利用正弦函数 的单调性，解不等式即可得到单调递增区间.试题解析：（1）f(6)=4cos6cos(6+23)+1 =4cos6cos56+1 =432(-32)+1=-2（2）f(x)=4cosxcos(x+23)+1 =4cosx(-12cosx-32sinx)+1 =-2cos2x-3sin2x+1=-3sin2x-cos2x =-2sin(2x+6)所以，f(x)的最小正周期为，当2k+22x+632+2k（kZ）时，f(x)单调递增，即f(x)的单调递增区间为k+6,23+k（kZ）11.【腾远2018年（浙江卷）红卷】已知函数f(x)=2cosxsin(x+6)-12.（1）求f(6)的值；（2）当x0,4时，求函数f(x)的取值范围.【答案】（1）1；（2）12,1.【解析】分析：（1）由三角恒等变换的公式化简得fx=sin(2x+6)，即可求解f(6)的值；（2）由（1）得fx=sin(2x+6)，当x0,4时，得sin(2x+6)12,1，即可求解f(x)的取值范围.详解：（1）f(x)=3cosxsin(x+6)-12=2cosx(32sinx+12cosx)-12=3sinxcosx+cos2x-12=32sin2x+12cos2x=sin(2x+6)，则f(x)=sin(26+6)=sin2=1.（2）由（1）得f(x)=sin(2x+6)，当x0,4时，2x+66,23，则sin(2x+6)12,1，即f(x)的取值范围为12,1.12【2018届浙江省宁波市高三上期末】已知函数.（）求的最小正周期；（）求在区间上的最大值与最小值.【答案】() ；()最大值，最小值为.（）因为，所以.当，即时， 取得最大值；当，即时，.即的最小值为.
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