八年级数学上册 第13章 轴对称 13.3 等腰三角形 13.3.2 等边三角形同步练习 新人教版.doc

13.3.2 等边三角形学校：_姓名：_班级：_一选择题（共12小题）1如图，AOB是边长为2的等边三角形，顶点A的坐标是（）A（，）B（，1）C（1，）D（，1）2平面上，若点P与A、B、C三点中的任意两点均构成等腰三角形，则称点P是A、B、C三点的巧妙点若A、B、C三点构成三角形，也称点P是ABC的巧妙点则平面上等边ABC的巧妙点有（）个A7B8C9D103在ABC中，AB=BC=AC=6，则ABC的面积为（）A9B18C9D184下列几种三角形：有一个角为60的等腰三角形；三个外角都相等的三角形；一边上的高也是这边上的中线的三角形；有一外角为120的等腰三角形其中是等边三角形的有（）A4个B3个C2个D1个5等腰ABC的顶角A为120，过底边上一点D作底边BC的垂线交AC于E，交BA的延长线于F，则AEF是（）A等边三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等腰但非等边三角形6如图，E是等边ABC中AC边上的点，1=2，BE=CD，则ADE的形状是（）A等腰三角形B等边三角形C不等边三角形D不能确定形状7下面给出几种三角形：（1）有两个角为60的三角形；（2）三个外角都相等的三角形；（3）一边上的高也是这边上的中线的三角形；（4）有一个角为60的等腰三角形，其中是等边三角形的个数是（）A4个B3个C2个D1个8在下列结论中：（1）有一个外角是120的等腰三角形是等边三角形；（2）有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形；（3）有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形；（4）三个外角都相等的三角形是等边三角形其中正确的个数是（）A4个B3个C2个D1个9已知：在ABC中，A=60，如要判定ABC是等边三角形，还需添加一个条件现有下面三种说法：如果添加条件“AB=AC”，那么ABC是等边三角形；如果添加条件“B=C”，那么ABC是等边三角形；如果添加条件“边AB、BC上的高相等”，那么ABC是等边三角形上述说法中，正确的有（）A3个B2个C1个D0个10如图，在ABC中，AB=AC，D、E是ABC内的两点，AD平分BAC，EBC=E=60若BE=6cm，DE=2cm，则BC的长为（）A4cmB6cmC8cmD12cm11如图，在四边形ABCD中，AB=AC，ABD=60，ADB=78，BDC=24，则DBC=（）A18B20C25D1512在下列结论中：有一个外角是120的等腰三角形是等边三角形；有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形；有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形；有一个角是60，且是轴对称的三角形是等边三角形其中正确的个数是（）A4个B3个C2个D1个二填空题（共8小题）13如图，在等边三角形ABC中，点D是边BC的中点，则BAD= 14将数轴按如图所示从某一点开始折出一个等边三角形ABC，设点A表示的数为x3，点B表示的数为2x+1，点C表示的数为4，若将ABC向右滚动，则x的值等于 ，数字xx对应的点将与ABC的顶点 重合15如图，MON=30，点A1，A2，A3，在射线ON上，点B1，B2，B3，在射线OM上，A1B1A2，A2B2A3，A3B3A4均为等边三角形若OA1=1，则AnBnAn+1的边长为 16下列三角形：（1）有两个角等于60；（2）有一个角等于60的等腰三角形；（3）三个外角都相等的三角形；（4）一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形，其中是等边三角形的有 17在直角坐标系中，已知ABC三个顶点的坐标分别是A（0，），B（1，0），C（1，0）（1）ABC为 三角形（2）若ABC三个顶点的纵坐标不变，横坐标分别加3，则所得的图形与原来的三角形相比，主要的变化是 18如果三角形的三边a、b、c适合（a22ac）（ba）=c2（ab），则a、b、c之间满足的关系是 ；有同学分析后判断ABC是等边三角形，你的判断是 19如图，AB=AC，DB=DC，若ABC为60，BE=3cm，则AB= cm20如图是两块完全一样的含30角的直角三角板，将它们重叠在一起并绕其较长直角边的中点M转动，使上面一块三角板的斜边刚好过下面一块三角板的直角顶点C已知AC=5，则这块直角三角板顶点A、A之间的距离等于 三解答题（共5小题）21已知：在ABC中，AB=AC，A=60，求：B、C的度数，ABC是什么三角形？22如图，在等边ABC中，AC=6，点O在AC上，且AO=2，点P是AB上一动点，连接OP，将线段OP绕点O逆时针旋转60得到线段OD要使点D恰好落在BC上，则AP的长是多少？23如图，在ABC中，BAC=90，BE平分ABC，AMBC于点M，交BE于点G，AD平分MAC，交BC于点D，交BE于点F（1）判断直线BE与线段AD之间的关系，并说明理由；（2）若C=30，图中是否存在等边三角形？若存在，请写出来并证明；若不存在，请说明理由24如图一，AB=AC，BD、CD分别平分ABC和ACB问：（答题时，注意书写整洁）（1）图一中有几个等腰三角形？（写出来，不需要证明）（2）过D点作EFBC，交AB于E，交AC于F，如图二，图中现在增加了几个等腰三角形，选一个进行证明（3）如图三，若将题中的ABC改为不等边三角形，其他条件不变，图中有几个等腰三角形？（写出来，不需要证明）线段EF与BE、CF有什么关系，并证明25如图，ABC中，AB=BC=AC=12cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动（1）点M、N运动几秒后，M、N两点重合？（2）点M、N运动几秒后，可得到等边三角形AMN？（3）当点M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN？如存在，请求出此时M、N运动的时间参考答案与试题解析一选择题（共12小题）1解：如图，过点A作AEx轴于点E，AOB是等边三角形，AEOB，OAE=30，OE=OA=1，AE=点A位于第二象限，（1，）故选：C2解：（1）点P在三角形内部时，点P是边AB、BC、CA的垂直平分线的交点，是三角形的外心，（2）点P在三角形外部时，一个对称轴上有三个点，如图：共有9个点符合要求，具有这种性质的点P共有10个故选：D3解：如图，作ADBC于D，AB=BC=AC=6，AD为BC边上的高，则D为BC的中点，BD=DC=3，AD=，等边ABC的面积=BCAD=63=9故选：C4解：因为有三角都是60，或有三边相等的三角形是等边三角形，那么可由，推出等边三角形，而只能得出这个三角形是等腰三角形故选：B5解：如图，AB=AC，B=CAEF=DEC=90C，F=90B，AEF=F又A=120，FAE=60AEF是等边三角形故选：A6解：ABC为等边三角形AB=AC1=2，BE=CDABEACDAE=AD，BAE=CAD=60ADE是等边三角形故选：B7解：有三角都是60，或有三边相等的三角形是等边三角形，那么可由（1），（2），（4）推出等边三角形，而（3）只能得出这个三角形是等腰三角形故选：B8解：（1）：因为外角和与其对应的内角的和是180，已知有一个外角是120，即是有一个内角是60，有一个内角为60的等腰三角形是等边三角形该结论正确（2）：两个外角相等说明该三角形中两个内角相等，而等腰三角形的两个底角是相等的，故不能确定该三角形是等边三角形该结论错误（3）：等腰三角形的底边上的高和中线本来就是重合的，“有一边”可能是底边，故不能保证该三角形是等边三角形该结论错误（4）若每一个角各取一个外角，则所有内角相等，即三角形是等边三角形；若一个顶点取2个的话，就不成立，该结论错误故选：D9解：若添加的条件为AB=AC，由A=60，利用有一个角为60的等腰三角形为等边三角形可得出ABC为等边三角形；若添加条件为B=C，又A=60，B=C=60，A=B=C，则ABC为等边三角形；若添加的条件为边AB、BC上的高相等，如图所示：已知：BAC=60，AEBC，CDAB，且AE=CD，求证：ABC为等边三角形证明：AEBC，CDAB，ADC=AEC=90，在RtADC和RtCEA中，RtADCRtCEA（HL），ACE=BAC=60，BAC=B=ACB=60，AB=AC=BC，即ABC为等边三角形，综上，正确的说法有3个故选：A10解：延长ED交BC于M，延长AD交BC于N，AB=AC，AD平分BAC，ANBC，BN=CN，EBC=E=60，BEM为等边三角形，EFD为等边三角形，BE=6cm，DE=2cm，DM=4cm，BEM为等边三角形，EMB=60，ANBC，DNM=90，NDM=30，NM=2cm，BN=4cm，BC=2BN=8cm故选：C11解：如图延长BD到M使得DM=DC，ADB=78，ADM=180ADB=102，ADB=78，BDC=24，ADC=ADB+BDC=102，ADM=ADC，在ADM和ADC中，ADMADC，AM=AC=AB，ABD=60，AMB是等边三角形，M=DCA=60，DOC=AOB，DCO=ABO=60，BAO=ODC=24，CAB+ABC+ACB=180，24+2（60+CBD）=180，CBD=18，故选：A12解：有一个外角是120的等腰三角形是等边三角形，正确；有两个外角相等的等腰三角形不一定是等边三角形，错误；有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形不一定是等边三角形，错误；有一个角是60，且是轴对称的三角形是等边三角形，正确故选：C二填空题（共8小题）13解：ABC是等边三角形，BAC=60，AB=AC又点D是边BC的中点，BAD=BAC=30故答案是：3014解：将数轴按如图所示从某一点开始折出一个等边三角形ABC，设点A表示的数为x3，点B表示的数为2x+1，点C表示的数为4，4（2x+1）=2x+1（x3）；3x=9，x=3故A表示的数为：x3=33=6，点B表示的数为：2x+1=2（3）+1=5，即等边三角形ABC边长为1，数字xx对应的点与4的距离为：xx+4=xx，xx3=672，C从出发到xx点滚动672周，数字xx对应的点将与ABC的顶点C重合故答案为：3，C15解：A1B1A2是等边三角形，A1B1=A2B1，3=4=12=60，2=120，MON=30，1=18012030=30，又3=60，5=1806030=90，MON=1=30，OA1=A1B1=1，A2B1=1，A2B2A3、A3B3A4是等边三角形，11=10=60，13=60，4=12=60，A1B1A2B2A3B3，B1A2B2A3，1=6=7=30，5=8=90，A2B2=2B1A2，B3A3=2B2A3，A3B3=4B1A2=4，A4B4=8B1A2=8，A5B5=16B1A2=16，以此类推：AnBnAn+1的边长为 2n1故答案是：2n116解：（1）根据已知求出A=B=C，所以ABC是等边三角形；（2）有一个角为60的等腰三角形是等边三角形；（3）由三个外角都相等，得出三角形的三个内角也相等，根据三角都相等的三角形是等边三角形；所以是等边三角形；（4）、AD=DC，BDAC，AB=BC，AB=AC，AB=AC=BC，ABC是等边三角形；故答案为（1）（2）（3）（4）17解：（1）如图，由题中条件可得，BC=2，OA=，OB=OC=1，AB=AC=2=BC，ABC是等边三角形；（2）如上图，若将ABC三个顶点的纵坐标不变，横坐标分别加3，则所得的图形与原来的三角形全等，只不过相当于将ABC向右平移318解：（a22ac）（ba）=c2（ab），ab，a22ac=c2，（ac）2=0，a=c，ABC是等腰三角形，a、b、c之间满足的关系是a=cb，故答案为：a=cb，ABC是等腰三角形19解：在ABD和ACD中，ABDACDBAD=CAD又AB=AC，BE=EC=3cmBC=6cmAB=AC，BAC=60，ABC为等边三角形AB=6cm故答案为：620解：连接AA，点M是线段AC、线段AC的中点，AC=5，AM=MC=AM=MC=2.5，MAC=30，MCA=MAC=30，MCB=18030=150，CMC=360（MCB+B+C）=360（150+60+90）=60，AMA=CMC=60，AAM是等边三角形，AA=AM=2.5故答案为：2.5三解答题（共5小题）21解：在ABC中，AB=AC，A=60，ABC是等边三角形，B=C=6022解：连接DP，DOP=60，OD=OP，ODP是等边三角形，OPD=60，PO=PD，等边三角形ABC，A=B=60，AOP+OPA=120，OPA+DPB=120，AOP=DPB，在AOP和BPD中，AOPBPD，AO=BP=2，AP=ABAP=62=423解：（1）BE垂直平分AD，理由：AMBC，ABC+5=90，BAC=90，ABC+C=90，5=C；AD平分MAC，3=4，BAD=5+3，ADB=C+4，5=C，BAD=ADB，BAD是等腰三角形，又1=2，BE垂直平分AD（2）ABD是等边三角形理由：5=C=30，AMBC，ABD=60，BAC=90，CAM=60，AD平分CAM，4=CAM=30，ADB=3+C=60，BAD=60，ABD=BDA=BAD，ABD是等边三角形24解：（1）AB=AC，ABC=ACB，BD、CD分别是角平分线，DBC=ABC=ACB=DCB，DB=DC，BDC是等腰三角形，即在图1中共有两个等腰三角形；EFBC，EDB=DBC，BD平分ABC，DBE=DBC，DBE=EDB，EB=ED，EBD为等腰三角形，同理FDC为等腰三角形，EFBC，AEF=AFE，AB=AC，AEF为等腰三角形，即在图2中增加了三个等腰三角形；（2）同可证明得EBD为等腰三角形，FDC为等腰三角形，所以EF=BE+CF，即只有两个等腰三角形25解：（1）设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，x1+12=2x，解得：x=12；（2）设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形AMN，如图，AM=t1=t，AN=ABBN=122t，三角形AMN是等边三角形，t=122t，解得t=4，点M、N运动4秒后，可得到等边三角形AMN（3）当点M、N在BC边上运动时，可以得到以MN为底边的等腰三角形，由（1）知12秒时M、N两点重合，恰好在C处，如图，假设AMN是等腰三角形，AN=AM，AMN=ANM，AMC=ANB，AB=BC=AC，ACB是等边三角形，C=B，在ACM和ABN中，ACMABN，CM=BN，设当点M、N在BC边上运动时，M、N运动的时间y秒时，AMN是等腰三角形，CM=y12，NB=362y，CM=NB，y12=362y，解得：y=16故假设成立当点M、N在BC边上运动时，能得到以MN为底边的等腰三角形AMN，此时M、N运动的时间为16秒