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18.2.3正方形知能演练提升能力提升1.四个角相等,四条边也相等的四边形一定是()A.正方形B.菱形C.矩形D.平行四边形2.如图,正方形ABCD的边长为8,M在DC上,且DM=2,N是AC上一动点,则DN+MN的最小值为()A.8B.10C.217D.823.小明在学习了正方形之后,给同桌小文出了道题.从下列四个条件AB=BC;ABC=90;AC=BD;ACBD中选两个作为补充条件,使ABCD成为正方形,如图,现有下列四种选法,你认为其中错误的是()A.B.C.D.4.如图,将n个边长都为1 cm的正方形按如图所示摆放,点A1,A2,An分别是正方形对角线的交点,则n个这样的正方形重叠部分的面积和为()A.14 cm2B.n4 cm2C.n-14 cm2D.14n cm25.矩形各内角平分线若能围成一个四边形,则这个四边形一定是.6.以边长为2的正方形的对角线的交点O为端点,引两条相互垂直的射线,分别与正方形的边交于A,B两点,则线段AB的最小值是.7.如图,在正方形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,E,F分别在OD,OC上,且DE=CF,连接DF,AE,AE的延长线交DF于点M.求证:AMDF.8.如图,在ABCD中,对角线AC,BD交于点O,E是BD延长线上的点,且ACE是等边三角形.(1)求证:四边形ABCD是菱形;(2)若AED=2EAD,求证:四边形ABCD是正方形.9.已知正方形ABCD的边长为a,两条对角线AC,BD相交于点O,P是射线AB上任意一点,过点P分别作直线AC,BD的垂线PE,PF,垂足为E,F.(1)如图,当点P在线段AB上时,求PE+PF的值;(2)如图,当点P在线段AB的延长线上时,求PE-PF的值.图图10.如图,在边长为5的正方形ABCD中,点E,F分别是BC,DC边上的点,且AEEF,BE=2.(1)延长EF交正方形外角平分线CP于点P(如图),试判断AE与EP的大小关系,并说明理由;(2)在AB边上是否存在一点M,使得四边形DMEP是平行四边形?若存在,请给予证明;若不存在,请说明理由.创新应用11.如图,在正方形ABCD中,P是BD上的一点,点E在AD的延长线上,且PA=PE,PE交CD于点F.图图(1)证明:PC=PE;(2)求CPE的度数;(3)如图,把正方形ABCD改为菱形ABCD,其他条件不变,当ABC=120时,连接CE,试探究线段AP与线段CE的数量关系,并说明理由.参考答案能力提升1.A四个角相等的四边形是矩形,四条边相等的四边形是菱形,既是菱形又是矩形的四边形一定是正方形,故选A.2.B连接BM交AC于点N(图略),此时DN+MN有最小值,且DN+MN=BM=BC2+CM2=10.3.B4.C5.正方形6.2如图,四边形CDEF是正方形,OCD=ODB=45,COD=90,OC=OD.AOOB,AOB=90,COA+AOD=90,AOD+DOB=90,COA=DOB.在COA和DOB中,OCA=ODB,OC=OD,AOC=DOB,COADOB,OA=OB.AOB=90,AOB是等腰直角三角形,由勾股定理,得AB=OA2+OB2=2OA,要使AB最小,只要OA取最小值即可,根据垂线段最短,OACD时,OA最小.O是正方形CDEF的对角线的交点,且正方形边长为2,OA=12CD=1,即AB=2.7.证明在正方形ABCD中,AO=DO=OC,ACBD,AOE=DOF=90,OAE+AEO=90.又DE=CF,OE=OF,AOEDOF.AEO=DFO,OAE+DFO=90.AMF=90,AMDF.8.证明(1)四边形ABCD是平行四边形,AO=CO.又ACE是等边三角形,EOAC,即DBAC.ABCD是菱形.(2)ACE是等边三角形,AEC=60.EOAC,AEO=12AEC=30.AED=2EAD,EAD=15.ADO=EAD+AED=45.四边形ABCD是菱形,又ADC=2ADO=90.四边形ABCD是正方形.9.解(1)四边形ABCD为正方形,ACBD.PFBD,PFAC.同理PEBD.四边形PFOE为矩形,故PE=OF.又PBF=45,PF=BF.PE+PF=OF+FB=OB.在RtOBC中,OB2+OC2=BC2,2OB2=a2.OB=22a或a2,即PE+PF=22a或a2.(2)四边形ABCD为正方形,ACBD.PFBD,PFAC.同理PEBD.四边形PFOE为矩形,PE=OF.又PBF=45,PF=BF.PE-PF=OF-BF=OB.由(1)得OB=22a或a2,PE-PF=22a或a2.10.解(1)AE=EP.理由:在AB上取一点G,使BG=BE,连接GE,AB=BC,AG=EC.AEEF,2+3=90.四边形ABCD为正方形,B=BCD=90.1+3=90,1=2.又AGE=ECP=135,AGEECP.AE=EP.(2)在AB边上存在一点M,使四边形DMEP是平行四边形.证明过程如下:在AB边上取一点M,使AM=BE,连接ME,MD,DP.在正方形ABCD中,AD=BA,DAM=ABE=90,RtDAMRtABE.DM=AE,1=4.DM=EP.1+5=90,4+5=90.AEDM.AEEP,DMEP.四边形DMEP为平行四边形.创新应用11.(1)证明四边形ABCD是正方形,AD=CD,ADP=CDP.DP=DP,ADPCDP.PA=PC.又PA=PE,PC=PE.(2)解ADPCDP,DAP=DCP.PA=PE,DAP=E.FCP=E.PFC=DFE,EDF=90,CPE=EDF=90.(3)解AP=CE.理由:四边形ABCD是菱形,ABC=120,ADC=120.EDC=60.同理可得CPE=EDF=60.又PC=PE,PCE是等边三角形.PA=PE,AP=CE.
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