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第二十七章相似1.三角形相似的证题思路:(1)相交线型常见的有如下四种情形,如图,已知1=B,则由公共角A得,ADEABC.如下左图,已知1=B,则由公共角A得,ADCACB,如下右图,已知B=D,则由对顶角1=2得,ADEABC.(2)旋转型已知BAD=CAE,B=D,则ADEABC,下图为常见的基本图形.(3)母子型已知ACB=90,ABCD,则CBDABCACD.解决相似三角形问题,关键是要善于从复杂的图形中分解出(构造出)上述基本图形.【例1】已知如图:(1),(2)中各有两个三角形,其边长和角的度数已在图上标注,图(2)中AB,CD交于O点,对于各图中的两个三角形而言,下列说法正确的是()A.都相似B.都不相似C.只有(1)相似D.只有(2)相似【标准解答】选A.图(1)中已有一组角相等,根据三角形的内角和定理,即可求得ABC的第三角,由有两角对应相等的三角形相似,即可判定(1)中的两个三角形相似.如图(1),A=35,B=75,C=180-A-B=70,E=75,F=70,B=E,C=F,ABCDEF.图(2)根据图形中的已知条件,即可证得OAOD=OCOB,又由对顶角相等,即可根据对应边成比例且夹角相等的三角形相似证得相似.如图(2),OA=4,OD=3,OC=8,OB=6,OAOD=OCOB,AOC=DOB,AOCDOB.【例2】如图, 1=2,添加一个条件使得ADEACB,.【标准解答】1=2,1+BAE=2+BAE,即DAE=CAB.当D=C或E=B或ADAC=AEAB时,ADEACB.答案:D=C(不唯一)【例3】如图在ABC中D是AB边上一点,连接CD,要使ADC与ABC相似,应添加的条件是.【标准解答】ABC和ACD中,DAC=CAB,若要ADC与ABC相似,需添加的条件为:ADC=ACB;ACD=B;ADAC=ACAB或AC2=ABAD.答案:ADC=ACB(不唯一)2.添平行线构造相似三角形的方法:(1)相似三角形中,往往碰到要证的问题与三角形相似联系不上,或者说图中根本不存在相似三角形.为此我们通常过某一点作某条线段的平行线,构造出“A”型或“X”型,通过相似三角形转化为线段的比,从而解决问题.【例4】在图1至图3中,直线MN与线段AB相交于点O,1=2=45.(1)如图1,若AO=OB,请写出AO与BD的数量关系和位置关系.(2)将图1中的MN绕点O顺时针旋转得到图2,其中AO=OB.求证:AC=BD,ACBD.(3)将图2中的OB拉长为AO的k倍得到图3,求BDAC的值.【标准解答】(1)AO=BD,AOBD.(2)如图,过点B作BECA交DO于E,ACO=BEO.又AO=OB,AOC=BOE,AOCBOE.AC=BE.又1=45,ACO=BEO=135,DEB=45.2=45,BE=BD,EBD=90.AC=BD.延长AC交DB的延长线于F,如图:BEAC,AFD=90.ACBD.(3)如图,过点B作BECA交DO于E,BEO=ACO.又BOE=AOC,BOEAOC.BEAC=BOAO.又OB=kAO,由(2)的方法易得BE=BD.BDAC=k.(2)在添加相关的平行线时,应尽量使所求结论的比例关系快捷地展现在平行线中,且最大限度地保留已知条件,尤其是比例关系在平行线中的简洁展现.(3)在直角三角形或有垂线时,往往作垂线,得到辅助线与已知垂直线段平行.【例5】如图(1),在直角ABC中,ACB=90,CDAB,垂足为D,点E在AC上,BE交CD于点G,EFBE交AB于点F,若AC=mBC,CE=nEA(m,n为实数).试探究线段EF与EG的数量关系.(1)如图(2),当m=1,n=1时,EF与EG的数量关系是.证明:(2)如图(3),当m=1,n为任意实数时,EF与EG的数量关系是.证明:(3)如图(1),当m,n均为任意实数时,EF与EG的数量关系是.(写出关系式,不必证明)【标准解答】(1)如图,连接DE,AC=mBC,CDAB,当m=1,n=1时,AD=BD,ACD=45,CD=AD=12AB,AE=nEC,DE=AE=EC=12AC,EDC=45,DEAC,A=45,A=EDG,EFBE,AEF+FED=FED+DEG=90,AEF=DEG,AEFDEG,EF=EG.(2)EF=1nEG.证明:作EMAB于点M,ENCD于点N,EMCD,AEMACD,EMCD=AEAC=1n+1,即EM=1n+1CD,同理可得,EN=nn+1AD,ACB=90,CDAB,tanA=CDAD=BCAC=1,EMEN=1n,又EMAB,ENCD,EMF=ENG=90,EFBE,FEM=GEN,EFMEGN,EFEG=EMEN=1n,即EF=1nEG.(3)EF=1mnEG.1.如图,在ABC中,DEBC,ADDB=12,则下列结论中正确的是()A.AEAC=12B.DEBC=12C.ADE的周长ABC的周长=13D.ADE的面积ABC的面积=132.如图,已知AB,CD,EF都与BD垂直,垂足分别是B,D,F,且AB=1,CD=3,那么EF的长是()A.13B.23C.34D.453.如图,下列条件不能判定ADBABC的是()A.ABD=ACBB.ADB=ABCC.AB2=ADACD.ADAB=ABBC4.在ABC中,DEBC,AEEC=23,DE=4,则BC等于()A.10B.8C.9D.65.如图,已知ABC中,点D在AC上,且ABD=C,求证:AB2=ADAC.6.如图,已知ABCD,AD与BC相交于点E,BF平分ABC交AD于点F.(1)当CE=12BE时,线段CD与AB之间有怎样的数量关系?请写出你的结论并给予证明.(2)当AF=12AD时,线段AB,BC,CD之间有怎样的数量关系?请写出你的结论并给予证明.7.如图,四边形ABCD中,ACBD交BD于点E,点F,M分别是AB,BC的中点,BN平分ABE交AM于点N,AB=AC=BD,连接MF,NF.(1)判断BMN的形状,并证明你的结论.(2)判断MFN与BDC之间的关系,并说明理由.8.如图,已知B,C,E三点在同一条直线上,ABC与DCE都是等边三角形.其中线段BD交AC于点G,线段AE交CD于点F.求证:(1)ACEBCD.(2)AGGC=AFFE.9.如图,ABC中,CD是边AB上的高,且ADCD=CDBD.(1)求证:ACDCBD.(2)求ACB的大小.10.如图,在ABC中,AB=AC,点P,D分别是BC,AC边上的点,且APD=B.(1)求证:ACCD=CPBP.(2)若AB=10,BC=12,当PDAB时,求BP的长.3.位似变换平面直角坐标系中的位似变换一般有两种情况:(1)位似变换是以原点为位似中心:相似比为k,则位似图形对应点坐标的比等于k或-k.(2)位似变换的位似中心不在原点:此时抓住对应线段的比等于相似比,再把点的坐标转化为一些线段长度,即向x轴、y轴分别作出垂线段,找到相似三角形,再计算一些长度.(3)两个位似图形的主要特征是:每对位似对应点与位似中心共线;不经过位似中心的对应线段平行,则位似中心就是两对对应点的连线所在直线的交点,有时要分类讨论了.【例1】已知:A(-4,2),B(-1,-1),以原点O为位似中心,相似比为12,把ABO缩小,则点A的对应点A的坐标为.【标准解答】因为以原点O为位似中心,相似比为12,所以点A的对应点A的坐标为(-2,1)或(2,-1).答案:(-2,1)或(2,-1)【例2】在1313的网格中,已知ABC和点M(1,2).(1)以点M为位似中心,相似比为21,画出ABC的位似图形ABC.(2)写出ABC的各顶点坐标.【标准解答】(1)如图:(2)A(3,6),B(5,2),C(11,4).【例3】如图,ABC中,A,B两个顶点在x轴的上方,点C的坐标是(-1,0).以点C为位似中心,在x轴的下方作ABC的位似图形ABC,并把ABC的边长放大到原来的2倍.设点B的对应点B的横坐标是a,则点B的横坐标是()A.-a2B.-12(a+1)C.-12(a-1)D.-12(a+3)【标准解答】选D.点C的坐标是(-1,0).以点C为位似中心,在x轴的下方作ABC的位似图形ABC,并把ABC的边长放大到原来的2倍.点B的对应点B的横坐标是a,FO=a,CF=a+1,点B的横坐标是:-12(a+1)-1=-12(a+3).故选D.1.如图,线段AB两个端点的坐标分别为A(6,6),B(8,2),以原点O为位似中心,在第一象限内将线段AB缩小为原来的12后得到线段CD,则端点C的坐标为()A.(3,3)B.(4,3)C.(3,1)D.(4,1)2.如图,OAB与OCD是以点O为位似中心的位似图形,相似比为12,OCD=90,CO=CD.若B(1,0),则点C的坐标为()A.(1,2)B.(1,1)C.(2,2)D.(2,1)3.如图,以点O为位似中心,将ABC放大得到DEF.若AD=OA,则ABC与DEF的面积之比为()A.12B.14C.15D.164.如图,正方形OABC与正方形ODEF是位似图形,点O为位似中心,相似比为12,点A的坐标为(0,1),则点E的坐标是.5.如图,ABC与DEF位似,位似中心为点O,且ABC的面积等于DEF面积的49,则ABDE=.6.如图,在边上为1个单位长度的小正方形网格中:(1)画出ABC向上平移6个单位长度,再向右平移5个单位长度后的A1B1C1.(2)以点B为位似中心,将ABC放大为原来的2倍,得到A2B2C2,请在网格中画出A2B2C2.(3)求CC1C2的面积.跟踪训练答案解析2.添平行线构造相似三角形的方法【跟踪训练】1.【解析】选C.ADDB=12,ADAB=13.DEBC,ADE=B,AED=C,ADEABC,相似比为13.故答案为C.2.【解析】选C.AB,CD,EF都与BD垂直,ABCDEF,DEFDAB,BEFBCD,EFAB=DFDB,EFCD=BFBD,EFAB+EFCD=DFDB+BFBD=BDBD=1.AB=1,CD=3,EF1+EF3=1,EF=34.3.【解析】选D.在ADB和ABC中,A是它们的公共角,那么当ADAB=ABAC时,才能使ADBABC,不是ADAB=ABBC.4.【解析】选A.DEBC,ADEABC,AEAC=DEBC.22+3=4BC.BC=10.故选A.5.【证明】ABD=C,A是公共角,ABDACB,ABAC=ADAB,AB2=ADAC.6.【解析】(1)CE=12BE,CEBE=12,又CDAB,ECDEBA,CEBE=CDBA=12.(2)当AF=12AD时,AB=BC+CD.证明:取BD的中点为K,连接FK交BC于G点,由中位线定理,得FKABCD,G为BC的中点,GFB=FBA,又BF平分ABC,FBA=GBF,GFB=GBF,FG=BG=12BC,而GK=12CD,KF=12AB,KF=FG+GK,即12AB=12BC+12CD,AB=BC+CD.7.【解析】(1)BMN是等腰直角三角形.AB=AC,点M是BC的中点,AMBC,AM平分BAC.BN平分ABE,ACBD,MNB=NAB+ABN=12(BAE+ABE)=45.BMN是等腰直角三角形.(2)MFNBDC.理由如下:点F,M分别是AB,BC的中点,FMAC,FM=12AC.AC=BD,FM=12BD,即FMBD=12.BMN是等腰直角三角形.NM=BM=12BC,即NMBC=12.FMBD=NMBC.AMBC,NMF+FMB=90.FMAC,FMBE.CBD+FMB=90.NMF=CBD.MFNBDC.8.【证明】(1)ABC与CDE都是等边三角形,AC=BC,CE=CD,ACB=DCE=60,ACB+ACD=DCE+ACD,即ACE=BCD,ACEBCD(SAS).(2)ABC与CDE都是等边三角形,AB=AC,CD=ED,ABC=DCE=60,ABCD=ACED,ABDC,ABG=GDC,BAG=GCD,ABGCDG,AGCG=ABCD.同理,AFFE=ACED.AGGC=AFFE.9.【解析】(1)CD是边AB上的高,ADC=CDB=90,ADCD=CDBD.ACDCBD.(2)ACDCBD,A=BCD,在ACD中,ADC=90,A+ACD=90,BCD+ACD=90,即ACB=90.10.【解析】(1)AB=AC,B=C.APD=B,APD=B=C.APC=BAP+B,APC=APD+DPC,BAP=DPC,ABPPCD,BPCD=ABCP,ABCD=CPBP.AB=AC,ACCD=CPBP.(2)PDAB,APD=BAP.APD=C,BAP=C.B=B,BAPBCA,BABC=BPBA.AB=10,BC=12,1012=BP10,BP=253.3.位似变换【跟踪训练】1.【解析】选A.线段AB的两个端点坐标分别为A(6,6),B(8,2),以原点O为位似中心,在第一象限内将线段AB缩小为原来的12后得到线段CD,端点C的坐标为(3,3).2.【解析】选B.OAB与OCD是以点O为位似中心的位似图形,相似比为12,OB=12OD,CO=CD,CBOD,B(1,0),OB=CB=1,点C的坐标为(1,1).3.【解析】选B.以点O为位似中心,将ABC放大得到DEF,AD=OA,OAOD=12,ABC与DEF的面积之比为:14.4.【解析】正方形OABC与正方形ODEF是位似图形,O为位似中心,相似比为12,OAOD=12,点A的坐标为(0,1),即OA=1,OD=2,四边形ODEF是正方形,DE=OD=2.E点的坐标为(2,2).答案:(2,2)5.【解析】ABC与DEF位似,位似中心为点O,ABCDEF,ABC的面积:DEF面积=ABDE2=49,ABDE=23.答案:236.【解析】(1)如图所示:(2)如图所示:(3)如图所示:CC1C2的面积为1236=9.
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